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## **聚点和上下极限**
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此知识点仅作为拓展了解，不要求掌握。
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### 一、聚点
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聚点是研究实数性质的重要概念，这里先下定义：
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>[!note] **定义：**
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>对于一集合$I\subset\mathbb{R}$，如果存在一点$x_0\in \mathbb{R}$,使得$\forall \delta>0$，有$\overset{\circ}{U}(x_0,\delta)\cap I\neq\varnothing$,则称$x_0$是$I$的一个**聚点**.
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**注：**
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1、$x_0$未必是$I$中的一个点；
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2、一个集合$I$存在聚点$x_0$与以下两个命题等价：
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（1）$\forall \delta>0$,在$U(x_0,\delta)$中有$I$中的无穷多个点；
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（2）存在$I$中互异的点组成的数列$\{x_n\}$使得$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0$;
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3、若$x_0\in I$，但它不是$I$的一个聚点，则称之为孤立点.
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对聚点有如下定理：
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>[!note] 聚点原理
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>$\mathbb{R}$的任何一个有界无穷子集至少有一个聚点.
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证明略，有兴趣的可以自己去查阅任何数学分析教材。需要指出的是，它与单调有界原理是等价的。实际上，有四五个与之等价的命题，它们之间互相等价，一般会取一个（一般是戴德金分割定理或者确界原理）作为公理，推出另外几个。它们描述的都是实数的连续性。
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### **二、上下极限**
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我们都知道有左右极限，但其实函数和数列都有一个上下极限。这里给出数列上下极限的定义，有兴趣的也同样可以去找数学分析教材。
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对数列$\{x_n\}$，定义$$l_n=\inf\{x_n,x_{n+1},\cdots\} , h_n=\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\}$$其中$\inf$和$\sup$分别表示下确界和上确界.显然有$$l_1\le l_2\le\cdots l_{n}\le\cdots\le h_n\le\cdots h_2\le\cdots h_1.$$于是数列$\{l_n\}$和$\{h_n\}$是单调有界数列，由单调有界原理，它们都存在极限，且$$\lim\limits_{n\to\infty}l_n=\sup\{l_n\},\lim\limits_{n\to\infty}h_n=\inf\{h_n\}.$$记$$\overset{\_\_\_\_}{\lim\limits_{n\to\infty}}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}h_n,\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}l_n$$
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分别为数列$\{x_n\}$的上、下极限。容易证明，$\{x_n\}$极限存在等价于其上下极限都存在且相等。
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