M 高数下/五一复习/DAY5.md 高数下/五一复习/高等数学期中试题分类汇编（一）原卷版.md

高数下/五一复习/DAY5.md

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 - **2022年 证明题18(2)**  
   设 $y=y(x)$ 的反函数满足 $\dfrac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}y^{2}} + (y+2xe^{x})\left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)^{3} = 0$。  
   (2) 求满足初始条件 $y(0)=0,\ y'(0)=\frac{3}{2}$ 的解。  
-
-  **解析**：  
-  (1) 已证 $y'' - y = 2xe^{x}$。  
-  特征方程 $r^{2}-1=0$，$r=\pm1$。设特解 $y^{*} = xe^{x}(ax+b) = e^{x}(ax^{2}+bx)$，代入得 $a=\frac{1}{2}, b=-\frac{1}{2}$，特解为 $y^{*}=e^{x}(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x)$。通解  
-  $$y = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x} + e^{x}\left(\frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x\right).$$  
-  由 $y(0)=0,\ y'(0)=\frac{3}{2}$ 得 $C_{1}=1,\ C_{2}=-1$，故特解为  
-  $$y = e^{x} - e^{-x} + e^{x}\left(\frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x\right).$$

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   $$\cos\theta = \frac{\vec{\tau_{1}}\cdot\vec{\tau_{2}}}{|\vec{\tau_{1}}||\vec{\tau_{2}}|} = \frac{x(x-y)+y(x+y)+z^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\sqrt{(x-y)^{2}+(x+y)^{2}+z^{2}}} = \frac{2z^{2}}{\sqrt{2z^{2}}\sqrt{3z^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{6}},$$
   故夹角恒定。
 
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+### 微分
+- **2022年 证明题18(2)**  
+  设 $y=y(x)$ 的反函数满足 $\dfrac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}y^{2}} + (y+2xe^{x})\left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)^{3} = 0$。  
+  (2) 求满足初始条件 $y(0)=0,\ y'(0)=\frac{3}{2}$ 的解。  
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+  **解析**：  
+  (1) 已证 $y'' - y = 2xe^{x}$。  
+  特征方程 $r^{2}-1=0$，$r=\pm1$。设特解 $y^{*} = xe^{x}(ax+b) = e^{x}(ax^{2}+bx)$，代入得 $a=\frac{1}{2}, b=-\frac{1}{2}$，特解为 $y^{*}=e^{x}(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x)$。通解  
+  $$y = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x} + e^{x}\left(\frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x\right).$$  
+  由 $y(0)=0,\ y'(0)=\frac{3}{2}$ 得 $C_{1}=1,\ C_{2}=-1$，故特解为  
+  $$y = e^{x} - e^{-x} + e^{x}\left(\frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x\right).$$