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编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md

@@ -5,13 +5,30 @@
    (C) $BAB$;  
    (D) $(AB)^2$.
 
-2. 设 $A, B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是【 】
-
-   (A) $A^T$ 与 $B^T$ 相似；  
-   (B) $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似；  
-   (C) $A + A^T$ 与 $B + B^T$ 相似；  
-   (D) $A + A^{-1}$ 与 $B + B^{-1}$ 相似。
+2.  设 $e_1, e_2$ 和 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是线性空间 $\mathbb{R}^2$ 的两组基，并且已知关系式  
+$$
+\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\quad \varepsilon_2 = e_2,
+$$  
+则由基 $e_1, e_2$ 到基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 的过渡矩阵是  
 
+$$
+(A) \begin{bmatrix}
+-1 & 0 \\
+5 & -1
+\end{bmatrix} \quad
+(B) \begin{bmatrix}
+0 & -1 \\
+-6 & 0
+\end{bmatrix} \quad
+(C) \begin{bmatrix}
+1 & 0 \\
+-5 & -1
+\end{bmatrix} \quad
+(D) \begin{bmatrix}
+1 & 0 \\
+-5 & 1
+\end{bmatrix}.
+$$
 3. 设向量组  
    $$
    \alpha_1 = (0, 0, c_1)^T,\quad 
@@ -73,6 +90,25 @@
 8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\quad\quad}$。
 
 
+
+解析：
+步骤1：分析矩阵A的幂次规律
+先计算$A^2$：
+
+$$A^2 = \begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\times3 + (-1)\times(-9)&3\times(-1) + (-1)\times3\\-9\times3 + 3\times(-9)&-9\times(-1) + 3\times3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}18&-6\\-54&18\end{bmatrix} = 6\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = 6A$$
+ 
+由此递推：
+- $$A^3 = A^2 \cdot A = 6A \cdot A = 6A^2 = 6\times6A = 6^2A$$
+- 归纳可得当$n \geq 1$时，$A^n = 6^{n-1}A$
+ 
+步骤2：写出最终表达式
+ 
+将A代入得：
+$$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\times6^{n-1}&-6^{n-1}\\-9\times6^{n-1}&3\times6^{n-1}\end{bmatrix}$$
+ 
+答案：$$\boldsymbol{6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}}$$
+
+
 9. 若向量组
    $$
    \alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T