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@ -92,10 +92,11 @@ $$称矩阵 $\boldsymbol{K}$ 为基 $T_1$ 到基 $T_2$ 的**过渡矩阵**.由
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>[!note] **证明：**
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>加法$\oplus$交换律、结合律显然成立.
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>取常值映射$\text{c}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^+,x\mapsto 1$，有 $\forall f\in V,(f\oplus\text{c})(x)=f(x)\times\text c(x)=f(x)\times1=f(x),$ 故映射 $\text{c}$ 为零元.
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>对任意$f\in V$，取映射$\displaystyle g\in V:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^+,x\mapsto\frac{1}{f(x)}$，则 $(f\oplus g)(x)=f(x)\times g(x)=1=\text{c}(x)$，故$g$为$f$的负元. 显然负元唯一.
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>取常值映射$\text{c}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^+,\text{c}(x)=1$，有 $\forall f\in V,(f\oplus\text{c})(x)=f(x)\times\text c(x)=f(x)\times1=f(x),$ 故映射 $\text{c}$ 为零元.
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>对任意$f\in V$，取映射$\displaystyle g\in V:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^+,g(x)=\frac{1}{f(x)}$，则 $(f\oplus g)(x)=f(x)\times g(x)=1=\text{c}(x)$，故$g$为$f$的负元. 显然负元唯一.
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> 取$\lambda=1$，显然$1\odot f=f^1=f$，故存在数乘单位元.
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$V$显然对上述加法和乘法封闭. 故在上述运算下，$V$是实数域$\mathbb{R}$上的线性空间.
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> 任取 $\displaystyle f,g\in V,x\in[a,b],\lambda\in\mathbb{R}$，则 $(f\oplus g)(x)=f(x)\cdot g(x)>0,\lambda\odot f(x)=(f(x))^\lambda>0,$ 故 $(f\oplus g),(\lambda\odot f)\in V$，即 $V$ 对上述加法和数乘封闭.
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> 故在上述运算下，$V$是实数域$\mathbb{R}$上的线性空间.
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$V$ 中的向量之间具有内在联系，例如任意的向量都可以由一组基线性表示，不同基之间也具有基变换的计算公式等。向量之间的联系可以用线性变换来描述，线性变换是线性空间 $V$ 到自身的一种特定映射。
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用一个矩阵左乘一个向量，总能变成另一个向量。例如，用矩阵
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