diff --git a/杂项/2026-03-22.md b/杂项/2026-03-22.md
deleted file mode 100644
index e69de29..0000000
diff --git a/素材/二阶线性微分方程.md b/素材/二阶线性微分方程.md
index 1d156a8..6faaa0a 100644
--- a/素材/二阶线性微分方程.md
+++ b/素材/二阶线性微分方程.md
@@ -36,10 +36,10 @@ $$
 
 根据特征根的不同情况，通解形式如下：
 
-| 特征根情况 | 通解形式 |
-|------------|----------|
-| 两个不等实根 $r_1 \neq r_2$ | $y_h = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$ |
-| 二重实根 $r_1 = r_2 = r$ | $y_h = (C_1 + C_2 x) e^{r x}$ |
+| 特征根情况                                   | 通解形式                                                     |
+| --------------------------------------- | -------------------------------------------------------- |
+| 两个不等实根 $r_1 \neq r_2$                   | $y_h = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$                    |
+| 二重实根 $r_1 = r_2 = r$                    | $y_h = (C_1 + C_2 x) e^{r x}$                            |
 | 一对共轭复根 $r = \alpha \pm \mathrm{i}\beta$ | $y_h = e^{\alpha x} (C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$ |
 
 ## 3. 非齐次方程的特解（待定系数法）
@@ -131,7 +131,7 @@ $$
   - 若 $\alpha + \mathrm{i}\beta$ **不是**特征根，则 $k=0$；
   - 若 $\alpha + \mathrm{i}\beta$ **是**特征根，则 $k=1$。
 
-> 注意：对于实系数常微分方程，特征根若为复数，则必成对出现。因此 $\alpha + \mathrm{i}\beta$ 是特征根时，其共轭 $\alpha - \mathrm{i}\beta$ 也是特征根，但此时重数相同，且 $k$ 只取 $1$（不会出现 $k=2$ 的情况，因为实系数方程中复根总是单根或成对出现，但若特征根为 $\alpha \pm \mathrm{i}\beta$ 且重数为 $2$（即二重共轭复根），则 $k$ 理论上应取 $2$，但工程上通常将此类情况归入 $f(x)$ 乘以多项式的情形，此处 $k=1$ 对应单根；若重数更高，需相应提高 $k$。在常见教学中，一般只讨论单根情况，故 $k$ 取 $0$ 或 $1$。）
+> 注意：对于实系数常微分方程，特征根若为复数，则必成对出现。因此 $\alpha + \mathrm{i}\beta$ 是特征根时，其共轭 $\alpha - \mathrm{i}\beta$ 也是特征根，但此时重数相同，且 $k$ 只取 $1$（不会出现 $k=2$ 的情况，因为实系数方程中复根总是单根或成对出现）。  
 
 ---
 
diff --git a/高数下/常微分方程讲义.md b/高数下/常微分方程讲义.md
new file mode 100644
index 0000000..754fc89
--- /dev/null
+++ b/高数下/常微分方程讲义.md
@@ -0,0 +1,307 @@
+
+本次考试失利的主要原因在于**对微分方程公式的不熟悉乃至根本不知道**，所以本讲义的主要目的在于让大家知道并熟悉已经讲过的微分方程解法，以及这些解法所对应的微分方程的不同特征。只有先能识别出不同微分方程的特征，才能选取恰当的方法快速得出解决思路。
+<br>
+
+### 1. 可分离变量的微分方程
+
+#### 1.1 定义与一般的解法
+
+形如$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x)g(y)$$的方程称为可分离变量的（一阶）微分方程，这里的 $f(x)$ 和 $g(y)$ 分别为连续函数。若 $g(y)\neq0$，则有$$\int\frac{\mathrm dy}{g(y)}=\int f(x)\mathrm dx+C.$$
+
+#### 1.2 例题
+
+> [!example] 例 1
+> 求微分方程 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=1+x+y^2+xy^2$ 的通解.
+
+> [!solution] 解
+> 初看这不是可分离变量的，但是能看到等式右边有 $y^2+xy^2$，能想到提出公因子 $y^2$，然后就能看出来得用分离变量的方法了。
+> 将原式变形为$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=(1+x)(1+y^2)\implies\frac{\mathrm dy}{1+y^2}=\frac{\mathrm dx}{1+x}$$两边积分得$$\arctan y=\ln |1+x|+C.$$
+
+关键在于“观察”与因式分解，这需要一定的刷题来积累经验，或者你有足够的注意力。
+<br>
+
+### 2. 齐次方程
+
+#### 2.1 定义与一般的解法
+
+形如 $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\varphi\left(\frac yx\right)\qquad\text或\qquad\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\varphi\left(\frac xy\right)$$的方程称为齐次微分方程。
+
+实际上，函数 $\varphi$ 可能不是以这样明确的形式给我们的. 更一般地，齐次微分方程可以这样给出：$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x,y),$$我们需要“观察”出 $f(x,y)$ 的性质，并判断它是否能被转化为 $\varphi\left(\dfrac yx\right)$. 而这种性质称为**伸缩不变性**：对于任意实数 $t$，有 $f(x,y)=f(tx,ty)$. 换句话说，如果函数 $f(x,y)$ 满足伸缩不变性，则它可以转化为 $\varphi\left(\dfrac yx\right)$. 
+
+解决了如何判断一个方程是否为齐次微分方程的问题，接下来我们一般地推导这类微分方程的解法。
+
+以 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\varphi\left(\dfrac yx\right)$ 为例，令 $u=\dfrac yx$，则 $y=ux, \mathrm dy = u\mathrm dx + x \mathrm du$. 故方程变为$$u+x\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=\varphi(u)\implies\frac{\mathrm du}{\varphi(u)-u}=\frac{\mathrm dx}{x}\implies\ln|x|=\int\frac{\mathrm du}{\varphi(u)-u}.$$故只需要算出不定积分 $\displaystyle \int\frac{\mathrm du}{\varphi(u)-u}$ 即可……吗？
+
+不对，还有可能 $\varphi(u)=u$. 如果这样，那么就有$$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\varphi\left(\dfrac yx\right)=\frac yx\implies y=Cx,$$其中 $C$ 为常数. 这是一种特殊情况，也得考虑到.
+<br>
+
+#### 2.2 例题
+
+>[!example] 例 2
+>求解方程$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{2x-5y+3}{2x+4y-6}.$$
+
+>[!solution] 解
+> 这是一个齐次方程吗？可以验证：并不是. 但它可以转化为齐次方程：因为右边分式上下都是一个直线方程，我们可以通过平移变化使它们经过原点，从而称为齐次方程.
+> 
+>令 $x=X+h, y=Y+k$，则原方程可以化为 $$\frac{\mathrm dY}{\mathrm dX}=\frac{2X-5Y+(2h-5k+3)}{2X+4Y+(2h+4k-6)}.$$
+>为了使等式右边称为齐次式，令 $$\begin{cases}2h-5k+3=0\\2h+4k-6=0\end{cases},$$解得 $h=k=1.$ 则原方程可以转化为 $$\frac{\mathrm dY}{\mathrm dX}=\frac{2-5\frac{Y}{X}}{2+4\frac{Y}{X}}.$$令 $z=\dfrac YX$, 则 $\displaystyle X\frac{\mathrm dz}{\mathrm dX}=\frac{2-7z-4z^2}{2+4z}\implies\frac{2+4z}{2-7z-4z^2}\mathrm dz=\frac{\mathrm dX}{X}，$ 积分得 $$(z+2)^2(4z-1)=\frac C{X^3}.$$带入 $z=\dfrac YX$ 得 $$(Y+2X)^2(4Y-X)=C$$即$$(y+2x-3)^2(4y-x-3)=C.$$
+
+<br>
+
+### 3. 一阶线性微分方程
+
+一阶线性微分方程具有如下标准形式：
+
+$$
+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = Q(x)
+$$
+
+其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是已知函数。当 $Q(x) \equiv 0$ 时，称为**齐次线性方程**；当 $Q(x) \not\equiv 0$ 时，称为**非齐次线性方程**。
+
+#### 3.1 常数变易法
+
+常数变易法分为两步：先解对应的齐次方程，再将齐次解中的任意常数变为函数，代入非齐次方程求解。
+
+对应的齐次方程为：
+
+$$
+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = 0
+$$
+
+这是一个变量可分离方程，解为：
+$$
+y_h = C \mathrm e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x}
+$$
+其中 $C$ 为任意常数。
+
+设非齐次方程的解具有形式 $\displaystyle y = u(x) \mathrm e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x}$，其中 $u(x)$ 是待定函数。将 $y$ 代入原方程：
+
+首先计算导数：
+
+$$
+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u'(x) \mathrm e^{-\int P\,\mathrm{d}x} + u(x) \cdot \left(-P(x)\right) \mathrm e^{-\int P\,\mathrm{d}x}
+$$
+
+代入 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y$：
+
+$$
+\left[ u' \mathrm e^{-\int P\,\mathrm{d}x} - P u \mathrm e^{-\int P\,\mathrm{d}x} \right] + P u \mathrm e^{-\int P\,\mathrm{d}x} = u' \mathrm e^{-\int P\,\mathrm{d}x}
+$$
+
+右边为 $Q(x)$，因此：
+
+$$
+u' \mathrm e^{-\int P\,\mathrm{d}x} = Q(x) \quad \Rightarrow \quad u'(x) = Q(x) \mathrm e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}
+$$
+
+积分得：
+
+$$
+u(x) = \int Q(x) \mathrm e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x + C
+$$
+
+从而非齐次方程的通解为：
+
+$$
+y = \mathrm e^{-\int P\,\mathrm{d}x} \left( \int Q \mathrm e^{\int P\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x + C \right)
+$$
+
+这是一个通用的公式，教员推荐我们去记住，当然能记住是最好的，记不住的话，就必须掌握常数变易法的基本步骤，即：
+
+**解题步骤**
+1. 将方程化为标准形式 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = Q(x)$。
+2. 写出齐次解 $\displaystyle y_h = C \mathrm e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x}$。
+3. 设 $y = u(x) \mathrm e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x}$，代入原方程，得到 $u'(x) = Q(x) \mathrm e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}$。
+4. 积分求出 $u(x)$，代回得通解。
+5. 若有初值条件，代入确定常数 $C$。
+
+<br>
+
+#### 3.2 伯努利方程
+
+伯努利方程不是一阶线性微分方程，但是可以化归为这种方程，因而也在此进行介绍。
+
+伯努利方程的基本形式为$$\frac {\mathrm dy}{\mathrm dx}+P(x)y=Q(x)y^n(n\neq0,1).$$对两边同除以 $y^n$ 得$$y^{-n}\frac {\mathrm dy}{\mathrm dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x).$$我们知道有公式 $\mathrm d(y^\alpha)=\alpha y^{\alpha-1}\mathrm dy\implies y^{\alpha-1}\mathrm dy=\dfrac1\alpha \mathrm d(y^\alpha)$，令 $\alpha-1=-n,z=y^{1-n}$，则有$$\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$$这就是我们熟悉的线性微分方程了。
+<br>
+
+#### 3.3 例题
+
+> [!example] 例 3
+> 设质量为 $m$ 的质点从液面有禁止开始下落，假定液体的阻力与速度 $v$ 成正比，比值系数为 $k$，试求质点下降时位移 $x$ 与时间 $t$ 的关系，并求 $\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)$ 的值。
+
+> [!solution] 解
+> 这题需要进行建模来确定微分方程。设质点加速度为 $a$，则根据牛顿第二定律得$$mg-kv=ma=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}.$$
+> 整理得$$\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}+\frac kmv=g.$$
+> 这是一个非齐次一阶线性微分方程，先考虑其对应的齐次方程的通解. 考虑方程$$\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}+\frac kmv=0,$$分离变量易得$$v_h=C\mathrm e^{-\frac kmt}.$$
+> 故设原方程通解为$$v=u(t)\mathrm e^{-\frac kmt},$$带入原方程得$$u'\mathrm e^{-\frac kmt}=g\implies u=\frac mkg\mathrm e^{\frac kmt}+C_1,$$故$$v=\frac{mg}k+C_1\mathrm e^{-\frac kmt}.$$由 $v(0)=0$ 得 $C_1=-\dfrac {mg}k$, 故 $\displaystyle v=\frac{mg}k\left(1-\mathrm e^{-\frac kmt}\right),\lim_{t\to+\infty}v(t)=\frac{mg}k.$
+> 另一方面，有 $v=\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}$，得$$x=\frac{mg}kt+\frac {m^2}{k^2}g\mathrm e^{-\frac kmt}+C_2,$$由 $x(0)=0$ 得 $C_2=-\frac {m^2}{k^2}g$，故 $$\displaystyle x=\frac{mg}kt+\frac {m^2}{k^2}g\mathrm e^{-\frac kmt}-\frac {m^2}{k^2}g.$$
+
+<br>
+
+> [!example] 例 4
+> 求微分方程 $\displaystyle\cos y\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-\frac 1x\sin y=\mathrm e^x\sin^2y$ 的通解。
+
+> [!solution] 解
+> 注意到三角函数有两个 $\sin$ 和一个 $\cos$，故应当尝试统一函数名——要么都化成 $\sin$ 或 $\cos$，要么都化成 $\tan$。大家可以自己尝试一下全部化成正切，最后会发现并不好算，所以应该尝试化成正弦或余弦。都化成余弦并不是很方便，但是因为有 $\cos y\ \mathrm dy=\mathrm d\sin y$，原式可以很方便地化成正弦，故令 $z = \sin y$，将原式化为$$\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}-\frac zx=\mathrm e^xz^2,$$这是伯努利方程，两边同除以 $z^2$ 得$$z^{-2}\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}-\frac 1{xz}=\mathrm e^x,$$令 $u=z^{-1}$ 得$$\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}+\frac ux=\mathrm e^x.$$
+> 易得其对应的齐次方程的通解为$$u=\frac Cx,$$故设非齐次方程的解为 $u=\dfrac{v(x)}x$，带入方程解得$$v=(x-1)\mathrm e^x+C,$$一步步带入可得原方程的解为$$\frac 1{\sin y}=\frac{(1-x)\mathrm e^x+C}{x}.$$
+
+上面这一题比较综合，既有积分里的凑微分法，又有伯努利方程，最后考察的是非齐次线性微分方程的求解，有一定的计算量，但是思维上是非常顺畅的。希望大家多多体悟这种题目的求解过程。
+<br>
+
+### 4. 特殊二阶方程的降阶法
+
+遇到高阶的问题，很自然的想法就是降阶。如果我们能把一个二阶方程转化为一阶的，那么问题自然会好解决很多。
+
+#### 4.1. $y''=f(x,y')$ 形
+
+此类方程的特征为方程右端不显含 $y$，可以设 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p$，则 $\displaystyle y''=\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}$，原式化为$$p'=f(x,p)$$即一个一阶的微分方程，解出来之后在积分达到 $y$ 的解. 这类题相对比较简单，就不出例题了.
+
+#### 4.2. $y''=f(y, y')$ 形
+
+此类方程的特征为方程的右端不显含 $x$，可以设 $y'=p(y)$，则 $$y''=\frac{\mathrm dy'}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=y'\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}=p\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy},$$则原方程转化为$$p'=\frac1pf(y,p).$$
+也是一个一阶方程。
+
+#### 4.3 例题
+
+> [!example] 例 5
+> 求解初值问题$$\begin{cases}y''+y'^2=1\\ y(0)=0,y'(0)=1\end{cases}.$$
+
+> [!solution] 解
+> 这是既不显含 $x$ 也不显含 $y$ 的微分方程，理论上两种方法都是可行的。接下来我只以不显含 $y$ 的方法演示。
+> 设 $y'=p(y)$，则 $y''=pp'$，若 $1-p^2\neq0$，带入得$$p'+p^2=1\implies \frac{\mathrm dp}{1-p^2}=\mathrm dy.$$两边积分得$$\frac{1+p}{1-p}=C_1\mathrm e^{2y}$$带入 $y(0)=0,y'(0)=1$ 得 $C_1$ 不存在，故 $1-p^2=0,p=\pm1$，又 $y'(0)=1$，知 $p=1$。
+> 故 $y=x$.
+
+<br>
+
+### 5. 线性方程解的结构
+
+$n$ 阶线性微分方程的一般形式是$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+a_2(x)y^{(n-2)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x).$$
+其中 $a_i(x)$ 为关于 $x$ 的函数。若 $f(x)=0$ ，则称为齐次线性方程。接下来只考虑二阶的线性方程，其余高阶的线性方程性质与二阶类似。
+
+#### 5.1 结构定理
+
+考虑二阶齐次线性微分方程 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$，若 $y_1,y_2$ 为它的两个**线性无关**的解，则原方程的通解为 $y=C_1y_1+C_2y_2$，其中 $C_1,C_2$ 为常数。
+
+对于二阶非齐次线性微分方程 $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$，若其对应的齐次方程的通解为 $y_h$，其有一特解为 $y^*$，则其通解为 $y=y_h+y^*.$ 
+
+上面两个命题称为结构定理，它们可以很自然地推广到高阶线性微分方程中。
+
+<br>
+
+#### 5.2 例题
+
+> [!example] 例 6
+> 在下列微分方程中，以 $y=C_1\mathrm e^x+C_2\cos2x+C_3\sin2x$ 为通解的是（）
+> $A. y'''+y''-4y'-4 y=0\qquad B. y'''+y''+4y'+4 y=0$
+> $C. y'''-y''-4y'+4 y=0\qquad D. y'''-y''+4y'-4 y=0$
+
+> [!solution] 解
+> 根据结构定理，只要 $\mathrm e^x,\cos2x,\sin2x$ 都是方程的解，则 $y=C_1\mathrm e^x+C_2\cos2x+C_3\sin2x$ 是方程的通解。故一个个带进去验证可得答案为 $D$.
+
+<br>
+
+> [!example] 例 7
+> 已知 $y_1,y_2,y_3$ 为方程 $y''+a_1(x)y'+a_2(x)y=f(x)$ 的三个线性无关的解，$C_1,C_2,C_3$ 为任意常数，则该方程的通解为（）
+> $A.C_1y_1+C_2y_2\qquad\qquad\qquad B.C_1y_1+C_2y_2+C_3y_3$
+> $C.C_1y_1+C_2y_2+y_3\qquad\qquad D.C_1(y_1-y_2)+C_2(y_1-y_3)+y_2$
+
+> [!solution] 解
+> 考虑 $y^*_1=y_1-y_2$，则有$$\begin{aligned}y^*_1{''}+a_1(x)y^*_1{'}+a_2(x)y^*_1&=(y_1{''}+a_1(x)y_1'+a_2(x)y_1)-(y_2{''}+a_1(x)y_2'+a_2(x)y_2)\\&=f(x)-f(x)=0\end{aligned}$$
+> 即 $y_1^*$ 是原方程对应齐次方程的一个解。同理有 $y_2^*=y_1-y_3$ 同样为齐次方程的一个解，且容易证明 $y_1^*$ 与 $y_2^*$ 线性无关，故齐次方程的通解为 $$y_h=C_1(y_1-y_2)+C_2(y_1-y_3).$$由结构定理知原方程的通解为 $D$.
+
+上面这道题揭示了相对应的齐次方程与非齐次方程解之间关系的另一面：非齐次方程两个解的差是其对应齐次方程的一个解。但是由上面的解题步骤可以看出，作**差**并不是本质的，只要能把等式右边配凑成 $0$，就可以构造出对应的齐次方程的一个解。比如，可以验证，对于上一题，函数 $y_3^*=2y_1-y_2-y_3$ 同样也是齐次方程的一个解。
+<br>
+
+#### 5.3 降阶法与刘维尔公式
+
+如果已知齐次方程的一个特解，我们还可以用降阶法求出其另一个线性无关的特解。
+
+> [!example] 例 8
+> 已知微分方程 $y''+a_1(x)y'+a_2(x)y=0$ 的一个非零特解 $y_1$，则另一个与 $y_1$ 线性无关的特解为（）
+
+> [!solution] 解
+> 设 $y_2=uy_1$ 为其另一特解，其中 $u(x)$ 为待定函数。带入方程得$$u(y_1''+a_1y'_1+a_2y_1)+u'(2y_1'+a_1y_1)+y_1u''=0$$由于 $y_1$ 为原方程的一个解，故 $y_1''+a_1y'_1+a_2y_1=0$，所以有 $$u'(2y_1'+a_1y_1)+y_1u''=0$$令 $z=u'$ 并分离变量解得$$z=\frac{\mathrm e^{\int a_1\mathrm dx}}{y_1}$$故$$u=\int\frac{\mathrm e^{\int a_1\mathrm dx}}{y_1^2}\mathrm dx$$从而 $$y_2=y_1\int\frac{\mathrm e^{\int a_1\mathrm dx}}{y_1^2}\mathrm dx.$$
+
+上述答案称为刘维尔公式——当然，也不是必须得记住的，但是必须掌握方法，这个方法与常数变易法比较相似。
+<br>
+
+### 6. 二阶常系数线性微分方程
+
+在 5. 中，如果 $a_i(x)$ 均为常数函数，则称对应的方程为常系数线性微分方程。这个方程与其对应的 $n$ 次方程有密切联系：对于方程 $$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny_n=0,$$若 $r$ 为方程 $$y^n+a_1y^{n-1}+\cdots+a_{n-1}y+a_n=0$$的一个解，则函数 $y=\mathrm e^{rx}$ 为微分方程的一个解，带入验证容易证明其正确性。我们仍然只考虑二阶的情形，高阶情形可以由二阶的结论很自然地推广出来。
+
+#### 6.1 齐次方程的情形
+
+对于二阶常系数齐次微分方程 $y''+py'+qy=0$，其特征方程为 $y^2+py+q=0$，其根有三种情况：
+1. 当 $p^2-4q\gt0$ 时，特征方程有 $2$ 个不相等的实根 $r_1,r_2$，则微分方程的通解为$$y=C_1\mathrm e^{r_1x}+C_2\mathrm e^{r_2x}.$$
+2. 当 $p^2-4q=0$，则有两个相等的实根 $r_1=r_2=r$，故有一个特解为 $y_1=\mathrm e^{rx}$，利用刘维尔公式可以求出其另外一个线性无关的特解$$y_2=\mathrm e^{rx}\int\frac{\mathrm e^{-\int p\mathrm dx}}{(\mathrm e^{rx})^2}\mathrm dx=x\mathrm e^{rx}.$$（请大家自行计算这个积分）故通解为 $$y=(C_1+C_2x)\mathrm e^{rx}.$$
+3. 当 $p^2-4q\lt0$，特征方程有两个共轭的复根 $r_{1,2}=\alpha\pm\mathrm i\beta$. 此时，复函数 $y_1=\mathrm e^{(\alpha+\mathrm i\beta)x}$ 与 $y_2=\mathrm e^{(\alpha-\mathrm i\beta)x}$ 为方程的两个复函数解。利用欧拉公式 $\mathrm e^{\mathrm i\theta}=\cos\theta+\mathrm i\sin\theta$，有 $$y_1=\mathrm e^{\alpha x}(\cos\beta x+\mathrm i\sin \beta x),\quad y_2=\mathrm e^{\alpha x}(\cos\beta x-\mathrm i\sin \beta x)$$可以把它们转化为实数形式$$\tilde{y}_1=\frac12(y_1+y_2)=\mathrm e^{\alpha x}\cos\beta x,\quad\tilde{y}_2=\frac1{2i}(y_1-y_2)=\mathrm e^{\alpha x}\sin\beta x.$$故通解为 $$y=\mathrm e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x).$$
+
+**上述结论务必记牢！**
+<br>
+
+#### 6.2 非齐次常系数线性微分方程的一些特殊情形
+
+非齐次的常系数线性微分方程没有统一的解法，但是对于特定的一些 $f(x)$，解法也是有规律可循的。显然，关键在于寻找一个特解。
+
+##### 6.2.1 $f(x)=\mathrm e^{rx}P_m(x)$ 的情形
+
+对于方程 $y''+py'+qy=f(x)$，若 $f(x)=\mathrm e^{rx}P_m(x)$，其中 $P_m(x)$ 为 $m$ 次多项式，我们可以设一个特解为$$y^*=x^k\mathrm e^{rx}Q_m(x)$$其中，$Q_m(x)$ 为次数不超过 $m$ 的多项式（注意 $P_m$ 与 $Q_m$ 含义表述的差异），$k$ 与 $r$ 有关：
+1. 若 $r$ 不为特征方程 $y^2+py+q=0$ 的根，则 $k=0$;
+2. 若 $r$ 为特征方程 $y^2+py+q=0$ 的一重根，则 $k=1$;
+3. 若 $r$ 为特征方程 $y^2+py+q=0$ 的二重根，则 $k=2$.
+
+##### 6.2.2 $f(x)=\mathrm e^{\alpha x}(P_m(x)\sin \beta x+Q_n(x)\cos\beta x)$ 的情形
+
+对于这种情形，我们可以设一个特解为$$y^*=x^k\mathrm e^{\alpha x}(S_l(x)\cos\beta x+T_l(x)\sin\beta x)$$其中 $l=\min\{m,n\}$，$S_l,T_l$ 为次数不超过 $l$ 的多项式，$k$ 由 $r=\alpha+\mathrm i\beta$ 决定：
+1. 若 $r$ 为特征方程的一个根，则 $k=1$;
+2. 否则，$k=0$.
+
+实际上，情形 6.2.2 就是情形 6.2.1 里 $r$ 为复数的情况。
+
+##### 6.2.3 欧拉方程
+
+欧拉方程的一般形式为：$$a_nx^ny^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1xy'+a_0y=f(x).$$
+一般的求解方法是这样的：令 $x=\mathrm e^t$，则有$$\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=x,\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac1x.$$
+则有 $$y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac1x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\implies xy'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}.$$（以下内容可以跳过到“当然……”）记微分算子（含义最后再讲）$D=x\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx},D^n=D(D^{n-1})$，则有 $$Dy=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}.$$
+考虑 $D^2y=D(Dy)=D(xy')=x\left(y'+x\dfrac{\mathrm dy'}{\mathrm dx}\right)=xy'+x^2y''=Dy+x^2y''$，故$$x^2y''=D^2y-Dy=D(D-1)y.$$
+类似地，可以用数学归纳法证明：$$x^ky^{(k)}=D(D-1)\cdots(D-k+1)y.$$则原方程可以写成$$(a_nD(D-1)\cdots(D-k+1)+a_{n-1}D(D-1)\cdots(D-k+2)+\cdots+a_1D+a_0)y=f(x).$$
+上述方程左侧 $y$ 的系数可以看作关于算子 $D$ 的一个多项式，记为 $P(D)$，则方程可进一步化简为$$P(D)y=f(x).$$
+由于 $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=xDy,$$若记 $D_t=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}$，则有 $D_t=D$，故可以将方程化为关于 $t$ 和 $y$ 的常系数线性微分方程$$P(D_t)y=f(\mathrm e^t).$$
+当然，我们主要考察二阶欧拉方程的求解。
+对于二阶欧拉方程 $x^2 y'' + \alpha x y' + \beta y = f(x)$，可以通过以上办法化为$$\ddot{y} + (\alpha - 1) \dot{y} + \beta y = g(t), \quad g(t) = f(\mathrm e^t),$$其中 $\dot y=\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt},\ddot y=\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}$。这样我们就可以用常系数线性微分方程的解法解出欧拉方程了。
+
+**最后讲讲微分算子的问题。**
+
+我们可以把微分算子看作一种自定义的**运算**，或者编程中的**宏**——直接无条件地把它的定义放到用它的位置上去。比如算子 $D$ 定义为 $D=x\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}$，则 $Dy$ 就是 $Dy=x\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}y=x\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$。而算子的 $n$ 次方就是它的 $n$ 次叠加，比如 $D^2y=D(Dy)=D\left(x\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)$。
+
+#### 6.3 例题
+
+> [!example] 例 9
+> 若二阶常系数线性微分方程 $y''+ay'+by=0$ 的通解为 $y=(C_1+C_2x)\mathrm e^x$，则非齐次方程 $y''+ay'+by=x$ 满足条件 $y(0)=2,y'(0)=0$ 的解为（）
+
+> [!solution] 解
+> 由齐次方程通解的形式可知，特征方程 $y^2+ay+b=0$ 有一个二重根 $r=1$，故 $a=-2,b=1$。
+> 此处 $f(x)=x$，且 $r=0$ 不为特征方程的根，故设方程特解为 $y^*=px+q$，带入得:$$p=1,q=2.$$故方程的通解为$$y=(C_1+C_2x)\mathrm e^x+x+2.$$带入初值条件得$$C_1=0,C_2=-1$$故初值问题的解为$$y=-x\mathrm e^x+x+2.$$
+
+本题告诉我们，也可以根据通解的形式反过来判断原方程的系数情况。
+<br>
+
+> [!example] 例 10
+> 求微分方程 $x^2\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}+4x\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+2y=0(x\gt0)$ 的通解。
+
+> [!solution] 解
+> 这是一个二阶的欧拉方程。设 $x=\mathrm e^t$，则有$$xy'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt},x^2y''=\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}-\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt},$$则原方程可以化为$$\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}+3\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt}+2y=0,$$容易求得其特征根为 $r_1=-1,r_2=-2$，故通解为 $$y=C_1\mathrm e^{-t}+C_2\mathrm e^{-2t}=\frac{C_1}{x}+\frac {C_2}{x^2}.$$
+
+欧拉方程不会考得很难，大家只要知道基本方法（换元 $x=\mathrm e^t$）即可自己推导出二阶的情况，更高阶的不会出现。
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+### 7. 写在最后
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+这大概率是我给大家出的最后一份讲义啦！除了一部分由 AI 生成之外，其余均为我自己手打的哦。
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+例题基本是本次考试当中的题，有一道是书本的例题，主要目的就是为大家回顾一下学过的微分方程解法——现阶段学的微分方程并没有十分高深莫测的技巧，毕竟我们也不是数学专业的，只要我们掌握了书中提到的这些方法，应对考试绝对没有问题。按理来讲，只要做好、理解好上面这些题目（和本次考试中的其他题目），考试中微分方程这一块就不会再有问题了，但如果你觉得还不保险，就去做做往年真题，或者上学期推荐的深蓝色的那本《典例》（例题和讲解都很不错！强烈推荐！），进一步巩固。
+
+知道方法之后最重要的就是计算了——不定积分和定积分方法熟练掌握了没有？这是求解微分方程和后续多元函数积分学的基础，要是还是掌握得不牢靠，一样，去做《典例》。往年真题固然有利于提升考试成绩，但是过于“有针对性”，且就知识点而言是不成体系、未必完整的，所以在学习巩固阶段，我更推荐大家做《典例》而不是真题。
+
+对于基础较弱的同学，看不明白书本就看视频，就问其他同学和教员，也可以问 AI，这是老生常谈了。但是，最根本地和最有效地，我认为仍然是自己看书、自己琢磨、自己推导、自己寻找记忆方法。在别人点播了一下之后，可以尝试一下自己能不能把对方的“想法”写下来，写成自己的“想法”，只有这样才算是真正的理解了、掌握了、巩固了。这也是黑马组现在推行翻转课堂的原因。反过来想想，这也是研讨组的意义，它“强迫”我们去寻找一些“想法”，去自己**写下**自己的“想法”，这也是我们自己学习、反思的的过程。
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+当这些想法有了一定的规模，你就会逐渐对数学产生兴趣，你就不会仅仅关注如何做题目，而会关注知识本身，对知识本身产生兴趣——这是最重要的学习动力之一。想法多了，很自然地你就会想把这些想法统合到一起去，你就可以写成自己的笔记，把自己的思考写进去。这是很花时间的事情，当然，也是很有成就感的事情。
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