@ -5,8 +5,7 @@ aliases:
- Integrate
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# Section 1 积分基础
（ ： ）
（ ）
>[!bug] 待补充
# Section 2 积分方法
## 预处理
拿到一个积分，最忌讳的是直接被那一团复杂的被积函数吓倒。先尝试着逐步拆解简化这个积分，然后进行求解。
@ -22,36 +21,109 @@ aliases:
>>$\int\cos^2x\sin x\mathrm dx=-\int u^2\mathrm du=-\dfrac{u^3}{3}+C=-\dfrac{\cos^3 x}{3}+C$
>>如果你对整个过程很熟练，可以写成 $\int\cos^2x\sin x\mathrm dx=\int\cos^2x\mathrm d(\cos x)=-\dfrac{\cos^3 x}{3}+C$
除此之外还有第二类换元法
>[!bug] 待补充
换元法有下列几种情况：
#### 1. 三角形式
#### 1. 三角函数 式
>[!example] 例2.1
>求不定积分 $\int \sin^2 x \cos^5 x dx$.
>求不定积分 $\int \sin^2 x \cos^5 x\mathrm dx$.
>[!tip] 提示
>利用 $\cos x$ 来凑微分而不是 $\sin x$，这样你就能得到偶数次方的三角函数——如果最后剩下奇数次方的 $\sin x,\cos x$，那么可能还要多花一点心思去做换元或用别的技巧，但是偶数次方的可操作性强很多，你可以用 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 来升降次，用诸如 $\cos^2x=\dfrac{1+\cos^2x}{2}$ 来换角，比奇数次更加便捷。
>这 也是万能代换 $x=\tan\frac{t}{2}$ 背后的逻辑。
>“化偶数次” 也是万能代换 $x=\tan\frac{t}{2}$ 背后的逻辑。
>[!note] 解析
>$\begin{align}\text{原式}& = \int \sin^2 x \cos^4 x (\cos x) dx \\& = \int \sin^2 x \cos^4 x d\sin x \\& = \int \sin^2 x (1-\sin^2 x)^2 d\sin x \\& = \int \sin^2 x (\sin^4 x - 2\sin^2 x + 1) d\sin x \\& = \int (\sin^6 x - 2\sin^4 x + \sin^2 x) d\sin x \\& = \frac{1}{7}\sin^7 x - \frac{2}{5}\sin^5 x + \frac{1}{3}\sin^3 x + C\end{align}$
#### 2. 高次幂
>[!example] 例2.2
>求不定积分 $\int\dfrac{x\mathrm dx}{(x-1)^{100}}$.
>$\begin{align}\text{原式}& = \int \sin^2 x \cos^4 x (\cos x)\mathrm dx \\& = \int \sin^2 x \cos^4 x\mathrm d\sin x \\& = \int \sin^2 x (1-\sin^2 x)^2\mathrm d\sin x \\& = \int \sin^2 x (\sin^4 x - 2\sin^2 x + 1)\mathrm d\sin x \\& = \int (\sin^6 x - 2\sin^4 x + \sin^2 x) \mathrm d\sin x \\& = \frac{1}{7}\sin^7 x - \frac{2}{5}\sin^5 x + \frac{1}{3}\sin^3 x + C\end{align}$
#### 2. 三角代换式
三角代换并不是绝对的，需要根据被积函数的情况来定。然而，当出现类似 $x^2\pm a^2$ 的结构，尤其是在根号内的时候，可以根据 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 和 $\tan^2x+1=\sec^2x$ 适当选择代换式
一般规律如下：当被积函数中含有
${\sqrt{a^2 - x^2}}$ 可令 $x = a\sin t$
${\sqrt{a^2 + x^2}}$ 可令 $x = a\tan t$
${\sqrt{x^2 - a^2}}$ 可令 $x = a\sec t$
>[!fail] 不应当死记硬背上面的代换，这样很容易记错
>[!done] 你应当结合 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 和 $\tan^2x+1=\sec^2x$ 来辅助记忆，并强化运用能力
>[!example] 例题2.
>求不定积分 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+a^2}} \quad (a>0)$
>[!note] 解析
>令 $x = a\tan t$ ，则$\mathrm dx = a\sec^2 t\mathrm dt$，
$\sqrt{x^2+a^2} = \sqrt{a^2\tan^2 t + a^2} = a\sec t$
>$\begin{align}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} & = \int \frac{a\sec^2 t dt}{a\sec t} \\& = \int \sec t dt \\& = \ln|\sec t + \tan t| + C_1 \\& = \ln\left|\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a} + \frac{x}{a}\right| + C_1 \\& = \ln\left|x + \sqrt{x^2+a^2}\right| + C\end{align}$
#### 3. 有理式
>[!example] 例2.
>求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{x\mathrm dx}{(x-1)^{100}}$.
>[!note] 解析
>$\begin{align}\text{原式}& =\int\frac{(x-1)+1}{(x-1)^{100}}\mathrm d(x-1)\\& =\int\frac{\mathrm d(x-1)}{(x-1)^{99}}+\int\frac{\mathrm d(x-1)}{(x-1)^{100}}\\& =-\frac{1}{98(x-1)^{98}} - \frac{1}{99(x-1)^{99}} + C\end{align}$
>[!tip] !!!
>（等待添加，有什么想法吗？）
>[!example] 例2.
>求不定积分 $\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[6]{x+1} - \sqrt[3]{x+1}}$
>[!hint] 提示
>对于含有多个次数不同的根式时，换元时要换元为根指数的最小公倍数。
>若被积函数中含有 $\sqrt[n_1]{ax+b}$,$\sqrt[n_2]{ax+b}$,$\dots$,$\sqrt[n_k]{ax+b}$，可考虑代换 $t = \sqrt[n]{ax+b}$（
>若被积函数中含有 $\sqrt[n_1]{\frac{ax+b}{cx+d}}$,$\sqrt[n_2]{\frac{ax+b}{cx+d}}$,$\dots$,$\sqrt[n_k]{\frac{ax+b}{cx+d}}$，可考虑代换 $t = \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$（
>[!note] 解析
>令 $t=\sqrt[6]{x+1}$，则 $x=t^6-1$，
>$\begin{align}\int \frac{dx}{\sqrt[6]{x+1} - \sqrt[3]{x+1}} & = \int \frac{6t^5 dt}{t - t^2} \\& = 6\int \frac{t^4}{1-t} dt \\& = 6\int \left(-t^3 - t^2 - t - 1 + \frac{1}{1-t}\right) dt \\& = 6\left(-\frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - t - \ln|1-t|\right) + C \\& = -\frac{3}{2}\sqrt[3]{(x+1)^2} - 2\sqrt{x+1} - 3\sqrt[3]{x+1} - 6\sqrt[6]{x+1} - 6\ln|\sqrt[6]{x+1} -1| + C\end{align}$
>[!error] 待决策
>### 3. 高次幂多项式与三角函数的转化
>$$\int \frac{\sqrt{\arctan x}}{1+x^2} dx$$
>##### 高次幂多项式与三角函数的转化
>$$\int \frac{\sqrt{\arctan x}}{1+x^2}\mathrm dx$$
>原式
>$$\begin{align*}
& = \int \sqrt{\arctan x} d(\arctan x) \\
& = \int \sqrt{\arctan x}\mathrm d(\arctan x) \\
& = \frac{2}{3}(\arctan x)^{\frac{3}{2}} + C
\end{align*}$$
#### 4. 倒代换
在拆解有理式的时候，对于 $\dfrac{1}{ax+b},\dfrac{1}{ax^2+bx+c}$ 等一次、二次分式，我们可以从容应对；但是如果次数再高一点，就很难办了。
然而，对于一些较为简单的高次幂函数，我们可以使用**倒代换**：把 $x$ 倒过来！
令 $x=\frac1t,\mathrm dx=-\frac{1}{t^2}\mathrm dt$
>[!example] 例题
>求不定积分 $\displaystyle\int\frac{1}{x(x^7+2)}\mathrm dx$
>[!note] 解析
>令 $x=\frac{1}{t}$，
>$\begin{align}\int\frac{1}{x(x^7+2)}\mathrm dx& =\int\frac{t\mathrm dt}{(t^{-7}+2)(-t^2)}\\& =-\int\frac{t^6\mathrm dt}{1+2t^7}\\& =-\frac{1}{14}\ln|1+2t^7|+C\\& =-\frac{1}{14}\ln|2+x^7|+\frac{1}{2}\ln|x|+C\end{align}$
## 分部积分法
分部积分法的基本公式：$\int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du$
分部积分法的要点是通过合理选择 $u,\mathrm dv$ 使得 $\int v\mathrm du$ 比 $\int u\mathrm dv$ 更容易求。那么如何选择呢？按照教员上课提到的“< span style = "color:#ff7700;font-weight:bold;" > 反对幂指三</ span > ”，我们这样选择 $u$，十有八九能成功（实在不行再调换顺序）：
1. ** 反**：反三角函数家族 $\arcsin,\arccos,\arctan,...$
2. ** 对**：对数函数，通常特指 $\ln x$
3. ** 幂**：幂函数，$x,x^2,x^3,...$
4. ** 指**：指数函数，通常特指 $\mathrm e^x$
5. ** 三**：三角函数家族 $\sin,\cos,\tan,\cot,\sec,\csc$
>[!todo] 示例
>求不定积分 $\int x\cos x\mathrm dx$
>[!done] 正确示例
>解：按照顺序，匹配到“**幂**”，那么我们取 $u=x$，
>$\int x \cos x\mathrm dx = \int x\mathrm d\sin x = x \sin x - \int \sin x\mathrm dx = x \sin x + \cos x + C$
>[!fail] 错误示例
>解：我们尝试取 $u=\cos x$， ，
>$\displaystyle\int x\cos x\mathrm dx=\frac{1}{2}\int\cos x\mathrm dx^2=x^2\cos x+\int x^2\sin x\mathrm dx$ ……
>你还愿意继续积下去吗？我是不愿意了。
#### 常见特征：
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#### 反对幂指三
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# Section 5 与积分相关的不等式证明
# Extra. 常用积分公式速记
### 一、基本初等函数积分
$\int 0 \, \mathrm dx =C$
$\int k \, \mathrm dx = kx + C$ （
$\int x^\mu \, \mathrm {d}x = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C$ （ ）
$\int \sqrt{x} \mathrm {d}x = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$
$\int \frac{1}{x} \, \mathrm {d}x = \ln|x| + C$
$\int a^x \, \mathrm {d}x = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （ ）
$\int e^x \, \mathrm {d}x = e^x + C$
### 二、三角函数积分
$\int \sin x \, \mathrm {d}x = -\cos x + C$
$\int \cos x \, \mathrm {d}x = \sin x + C$
$\int \tan x \, \mathrm {d}x = -\ln|\cos x| + C$
$\int \cot x \, \mathrm {d}x = \ln|\sin x| + C$
$\int \sec x \, \mathrm {d}x = \ln|\sec x + \tan x| + C$
$\int \csc x \, \mathrm {d}x = \ln|\csc x - \cot x| + C$
$\int \sec^2 x \, \mathrm {d}x = \tan x + C$
$\int \csc^2 x \, \mathrm {d}x = -\cot x + C$
$\int \sec x \tan x \, \mathrm {d}x = \sec x + C$
$\int \csc x \cot x \, \mathrm {d}x = -\csc x + C$
$\int \sin^2 x \, \mathrm {d}x = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$
$\int \cos^2 x \, \mathrm {d}x = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$
### 三、反三角函数积分
$\int \arcsin x \, \mathrm {d}x = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$
$\int \arccos x \, \mathrm {d}x = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$
$\int \arctan x \, \mathrm {d}x = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$
$\int \text{arccot } x \, \mathrm {d}x = x\text{arccot } x + \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$
### 四、含根式的积分（ $a>0$ ）
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, \mathrm {d}x = \arcsin\frac{x}{a} + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, \mathrm {d}x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, \mathrm {d}x = \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C$
$\int \sqrt{a^2 - x^2} \, \mathrm {d}x = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$
$\int \sqrt{x^2 + a^2} \, \mathrm {d}x = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C$
$\int \sqrt{x^2 - a^2} \, \mathrm {d}x = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C$
### 五、含分式的积分（ $a\neq0$ ）
$\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, \mathrm {d}x = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$
$\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, \mathrm {d}x = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x - a}{x + a}\right| + C$
$\int \frac{1}{ax + b} \, \mathrm {d}x = \frac{1}{a}\ln|ax + b| + C$
### 六、指数与对数结合积分
$\int x e^x \, \mathrm {d}x = (x-1)e^x + C$
$\int x \ln x \, \mathrm {d}x = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$
$\int e^x \sin x \, \mathrm {d}x = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C$
$\int e^x \cos x \, \mathrm {d}x = \frac{e^x}{2}(\sin x + \cos x) + C$
### 七、常用凑微分积分
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, \mathrm {d}x = \arcsin x + C = -\arccos x + C$
$\int \frac{1}{1 + x^2} \, \mathrm {d}x = \arctan x + C = -\text{arccot } x + C$
$\int \frac{1}{x\ln x} \, \mathrm {d}x = \ln|\ln x| + C$
$\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, \mathrm {d}x = 2e^{\sqrt{x}} + C$
$\int \frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, \mathrm {d}x = -2\cos\sqrt{x} + C$
>[!abstract] 练习
>尝试推导上述公式
Trivia: 魔法六边形
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