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编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式.md

@@ -407,9 +407,9 @@ $$
 #### 2. 再证$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B)$
 
 - 考虑$C$的行向量：  
-  设$A = \begin{bmatrix} a_1^T \\ a_2^T \\ \vdots \\ a_m^T \end{bmatrix}$，则  
+  设$A = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m \end{bmatrix}$，则  
  $$
-  C = \begin{bmatrix} a_1^T B \\ a_2^T B \\ \vdots \\ a_m^T B \end{bmatrix}.
+  C = \begin{bmatrix} a_1 B \\ a_2 B \\ \vdots \\ a_m B \end{bmatrix}.
  $$
   因此$C$的每一行都是$B$的行向量的线性组合。  
 - 所以$C$的行空间是$B$的行空间的子空间，故  
@@ -490,15 +490,6 @@ $$
 $$
 这是因为$M$左上块为$A$，右下块为$B$，中间有单位矩阵，所以$A$和$B$的秩可以同时取到。
 
-更严格地，我们可以直接写：
-$$
-\operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-A \\
-I_n
-\end{bmatrix} + \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-I_n & B
-\end{bmatrix} - n
-$$
 但更简单的常用方法是利用：
 $$
 \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
@@ -511,16 +502,7 @@ $$
 ---
 
 #### 4. 从变换后的矩阵得到下界
-观察变换后的矩阵：
-$$
-\operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-A & -AB \\
-I_n & O
-\end{bmatrix}
-\ge \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-I_n & O
-\end{bmatrix} + \operatorname{rank}([-AB])
-$$
+
 实际上更直接的方法是注意到：
 $$
 \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
@@ -530,7 +512,7 @@ I_n & O
 = \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
 O & -AB \\
 I_n & O
-\end{bmatrix} \quad (\text{列变换})
+\end{bmatrix} \quad (\text{行变换})
 $$
 即：
 $$

编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md

@@ -519,15 +519,6 @@ $$
 $$
 这是因为$M$左上块为$A$，右下块为$B$，中间有单位矩阵，所以$A$和$B$的秩可以同时取到。
 
-更严格地，我们可以直接写：
-$$
-\operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-A \\
-I_n
-\end{bmatrix} + \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-I_n & B
-\end{bmatrix} - n
-$$
 但更简单的常用方法是利用：
 $$
 \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
@@ -540,16 +531,7 @@ $$
 ---
 
 #### 4. 从变换后的矩阵得到下界
-观察变换后的矩阵：
-$$
-\operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-A & -AB \\
-I_n & O
-\end{bmatrix}
-\ge \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-I_n & O
-\end{bmatrix} + \operatorname{rank}([-AB])
-$$
+
 实际上更直接的方法是注意到：
 $$
 \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
@@ -559,7 +541,7 @@ I_n & O
 = \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
 O & -AB \\
 I_n & O
-\end{bmatrix} \quad (\text{列变换})
+\end{bmatrix} \quad (\text{行变换})
 $$
 即：
 $$
@@ -645,33 +627,3 @@ D =
 0 & 1 & 0 & 0
 \end{pmatrix}$$
 **答案**： (B) 12  
-
->[!example] 例3
- 设 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内二阶可导，且 $f''(x) \neq 0$。
-（1）证明：对于任何非零实数 $x$，存在唯一的 $\theta(x)$ ($0<\theta(x)<1$)，使得
-   $$f(x) = f(0) + x f'(x\theta(x));$$
-   （2）求
-   $$\lim_{x \to 0} \theta(x).$$
-
-解：
-1. 证： 对于任何非零实数 $x$，由中值定理，存在 $\theta(x)$ $(0<\theta(x)<1)$，使得
-
-$$
-f(x)=f(0)+x f'(x\theta(x)).
-$$
-
-如果这样的 $\theta(x)$ 不唯一，则存在 $\theta_{1}(x)$ 与 $\theta_{2}(x)$ $(\theta_{1}(x)<\theta_{2}(x))$，使得 $f'(x\theta_{1}(x))=f'(x\theta_{2}(x))$，由罗尔定理，存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi)=0$，这与 $f''(x)\neq 0$ 矛盾。所以 $\theta(x)$ 是唯一的。
-
-2. 解 注意到 $f''(0)=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x\theta(x))-f'(0)}{x\theta(x)}$，又知
-
-$$
-\begin{aligned}
-\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x\theta(x))-f'(0)}{x} 
-&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)-f(0)}{x}-f'(0)}{x} \\
-&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)-x f'(0)}{x^{2}} \\
-&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x)-f'(0)}{2x} \\
-&= \frac{f''(0)}{2},
-\end{aligned}
-$$
-
-所以 $\lim_{x\rightarrow 0} \theta(x)=\frac{1}{2}$。