From b9830dc6b8e3dfc4d79e5a23409b61e2a888ee2c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Cym10x <Cym_em10x@outlook.com>
Date: Fri, 23 Jan 2026 19:40:41 +0800
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?M=20=E7=BC=96=E5=86=99=E5=B0=8F=E7=BB=84/?=
 =?UTF-8?q?=E8=AE=B2=E4=B9=89/=E6=AD=A3=E4=BA=A4=E5=8F=8A=E4=BA=8C?=
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 编写小组/讲义/正交及二次型.md                | 6 +++++-
 编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md | 5 ++++-
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diff --git a/编写小组/讲义/正交及二次型.md b/编写小组/讲义/正交及二次型.md
index 9dc9672..f43e186 100644
--- a/编写小组/讲义/正交及二次型.md
+++ b/编写小组/讲义/正交及二次型.md
@@ -309,9 +309,13 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3
 
 ```
 
+
 >[!done] 思考题结论
 >“保持几何度量”体现在代数中最直观常用的就是变换后向量长度不变。
->>证明：对于正交矩阵 $P$，若 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$ $\|\boldsymbol x\|$
+>>证明：对于正交矩阵 $P$，若 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$，
+>>则 $\left<\boldsymbol x,\boldsymbol x\right>=\boldsymbol x^\mathrm T\boldsymbol x=(P\boldsymbol y)^\mathrm T(P\boldsymbol y)=\boldsymbol y^\mathrm TP^\mathrm TP\boldsymbol y=\boldsymbol y^\mathrm T\boldsymbol y=\left<y,y\right>$
+>>即 $\|\boldsymbol x\|=\|\boldsymbol y\|$
+>除此之外还有向量夹角保持不变，在不学习空解的情况下基本用不到.
 
 配方法化标准形考察较少，此方法熟悉即可：
 >[!example] 例题
diff --git a/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md b/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md
index 10df7b7..b8af431 100644
--- a/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md
+++ b/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md
@@ -285,7 +285,10 @@ $$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfra
 
 >[!done] 思考题结论
 >“保持几何度量”体现在代数中最直观常用的就是变换后向量长度不变。
->>证明：对于正交矩阵 $P$，若 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$ $\|\boldsymbol x\|$
+>>证明：对于正交矩阵 $P$，若 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$，
+>>则 $\left<\boldsymbol x,\boldsymbol x\right>=\boldsymbol x^\mathrm T\boldsymbol x=(P\boldsymbol y)^\mathrm T(P\boldsymbol y)=\boldsymbol y^\mathrm TP^\mathrm TP\boldsymbol y=\boldsymbol y^\mathrm T\boldsymbol y=\left<y,y\right>$
+>>即 $\|\boldsymbol x\|=\|\boldsymbol y\|$
+>除此之外还有向量夹角保持不变，在不学习空解的情况下基本用不到.
 
 配方法化标准形考察较少，此方法熟悉即可：
 >[!example] 例题