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编写小组/课前测/课前测解析版4.md

@@ -27,6 +27,13 @@ $$
 对于任意趋于 0 的序列 $x_n$，无论其项是有理数还是无理数，都有 $|f(x_n)| = x_n^2 \to 0$。因此，由夹逼定理可得极限为 0。
 
 
+3.设函数$f(x)=\begin{cases}ax+b,x\ge1,\\ e^{\frac{1}{x}},0<x<1\end{cases}$在$x=1$处可导，则$a、b$的取值分别为$\_\_\_,\_\_\_$.
+
+解：首先$f(x)$得在$x=1$处连续，故$a+b=e$.
+其次，$f(x)$在$x=1$处的左右导数相等，则 $f(1)=a+b,f'_-(1)=\lim\limits_{x\to1^-}\frac{ax+b-(a+b)}{x-1}=a$,
+$$f'_+(1)=\lim\limits_{x\to1^+}\frac{e^{\frac{1}{x}}-(a+b)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1^+}\frac{e^{\frac{1}{x}}-e}{x-1}=\lim\limits_{x\to1^+}\frac{e(e^{\frac{1}{x}-1}-1)}{x-1}=e\lim\limits_{x\to1^+}\frac{\frac{1}{x}-1}{x-1}=-e$$
+于是$a=-e,b=2e.$
+
 4.设$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{|x|^{\alpha}}sin\frac{1}{x} \ \ ,x\neq0 \\ 0,\ \ \ x=0\end{cases}$在$x=0$处可导，则$\alpha$的取值范围是[   ].
 （A）$\alpha>-1$   （B）$\alpha<-1$   （C）$0<\alpha<1$    （D）$\alpha>1$