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 ## 八、（12分）已知三元二次型$x^{\mathrm{T}}Ax$经正交变换化为$2y_{1}^{2} - y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$，矩阵$B$满足方程
 
 $$
-\left[\left(\frac{1}{2} A\right)^{\mathrm{T}}\right]^{-1}BA^{-1} = 2AB + 4E,
+\left[\left(\frac{1}{2} A\right)^{\mathrm{*}}\right]^{-1}BA^{-1} = 2AB + 4E,
 $$
 
 且$A^{*}\alpha = \alpha$，其中$\alpha = (1,1,-1)^{\mathrm{T}}$，$A^{*}$为$A$的伴随矩阵，求二次型$x^{\mathrm{T}}Bx$的表达式。