diff --git a/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md index a874a1f..ee3669b 100644 --- a/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md +++ b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md @@ -82,11 +82,119 @@ tags: 7. 已知向量 $\alpha_1 = (1,0,-1,0)^T$，$\alpha_2 = (1,1,-1,-1)^T$，$\alpha_3 = (-1,0,1,1)^T$，则向量 $\alpha_1 + 2\alpha_2$ 与 $2\alpha_1 + \alpha_3$ 的内积$\langle \alpha_1 + 2\alpha_2,\, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle = \underline{\qquad\qquad}.$ -8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\qquad\qquad\quad\quad}$。 +【答】4 + +【解析】由内积的性质可知 $$ \begin{aligned} \langle \alpha_1 + 2\alpha_2, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle &= \langle \alpha_1, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle + \langle 2\alpha_2, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle \\[1em] &= \langle \alpha_1, 2\alpha_1 \rangle + \langle \alpha_1, \alpha_3 \rangle + \langle 2\alpha_2, 2\alpha_1 \rangle + \langle 2\alpha_2, \alpha_3 \rangle \\[1em] &= 2\langle \alpha_1, \alpha_1 \rangle + \langle \alpha_1, \alpha_3 \rangle + 4\langle \alpha_2, \alpha_1 \rangle + 2\langle \alpha_2, \alpha_3 \rangle, \end{aligned} $$ 再由题意，可知 $$ \langle \alpha_1, \alpha_1 \rangle = 2,\quad \langle \alpha_1, \alpha_3 \rangle = -2,\quad \langle \alpha_2, \alpha_1 \rangle = 2,\quad \langle \alpha_2, \alpha_3 \rangle = -3. $$ 从而 $$ \langle \alpha_1 + 2\alpha_2, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle = 4. $$ + +--- + +8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\quad\quad}$。 9. 若向量组$\alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T$不能由向量组$\beta_1 = (1,1,1)^T,\quad\beta_2 = (1,2,3)^T,\quad\beta_3 = (3,4,a)^T$线性表示，则$a = \underline{\qquad\qquad}.$ -10. 设矩阵$A = \begin{bmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3\end{bmatrix},x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix},b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},$其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$ +解析： + +先计算$A^2$： + +$$A^2 += \begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} $$ +$$= \begin{bmatrix}3\times3 + (-1)\times(-9)&3\times(-1) + (-1)\times3\\-9\times3 + 3\times(-9)&-9\times(-1) + 3\times3\end{bmatrix} +$$$$= \begin{bmatrix}18&-6\\-54&18\end{bmatrix} $$ +$$= 6\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = 6A$$ + +由此递推： +- $$A^3 = A^2 \cdot A = 6A \cdot A = 6A^2 = 6\times6A = 6^2A$$ +- 归纳可得当$n \geq 1$时，$A^n = 6^{n-1}A$ + + + +将A代入得： +$$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} $$ + --- + + +9. 若向量组 + $$ + \alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T + $$ + 不能由向量组 + $$ + \beta_1 = (1,1,1)^T,\quad \beta_2 = (1,2,3)^T,\quad \beta_3 = (3,4,a)^T + $$ + 线性表示，则 + $$ + a = \underline{\qquad\qquad}. + $$ +--- + +【答】5. + +【解析】（方法一）依题意知 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性相关，否则，若 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关，则 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 为向量空间 $R^3$ 的一组基，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 能由 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性表示，矛盾。记 $B = [\beta_1, \beta_2, \beta_3]$，则 $|B| = 0$，解得 $a = 5$。 + +（方法二）令 +$$A = [\beta_1, \beta_2, \beta_3, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & a & 1 & 1 & 5 \end{bmatrix}$$ +对其进行初等行变换 + +$$A \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & a-3 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & a-5 & 2 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_1 & \gamma_2 & \gamma_3 & \gamma_4 & \gamma_5 & \gamma_6 \end{bmatrix}$$ + +由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 不能由 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性表示可知 $\gamma_4, \gamma_5, \gamma_6$ 不能由 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 线性表示，从而 $a = 5$。 + +--- + +10. 设矩阵 + $$ + A = \begin{bmatrix} + 1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\ + 1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\ + 1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\ + 1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3 + \end{bmatrix},\quad + x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix},\quad + b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, + $$ + 其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为 + $$ + \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}. + $$ +--- + +**答**：$(1,0,0,0)^T$。 + +**解析**：由范德蒙行列式的性质可知 $|A| \neq 0$，从而线性方程组 $Ax = b$ 有唯一解。 + +又由 +$$ +\begin{bmatrix} +1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\ +1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\ +1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\ +1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3 +\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} +1 \\ +0 \\ +0 \\ +0 +\end{bmatrix} += +\begin{bmatrix} +1 \\ +1 \\ +1 \\ +1 +\end{bmatrix} +$$ +可知 $Ax = b$ 的解为 +$$ +\begin{bmatrix} +1 \\ +0 \\ +0 \\ +0 +\end{bmatrix} +$$ +--- + 11. 矩阵(陈峰华原创题)$$A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1 \\ @@ -102,12 +210,25 @@ tags: 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(mn) \times (mn)}$$其中第一行有$m$个$0$.若$A^k=O$，则 $k$ 的最小值为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$ +--- + +解析：观察得每乘一次第一行少 $m$ 个0，故最少进行 $n$ 次即可 + +--- + 12. 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$ +--- + +解析：由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得 +$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$ + +--- ## 三、解答题，共五道，共64分 13. （20 分）计算 下面的两个$n$阶行列式 -$$ + + $$ K_n = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\ @@ -117,6 +238,8 @@ $$ n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1 \end{vmatrix}. $$ + + $$ M_n =\begin{vmatrix} 1+x_1 & 1+x_1^2 & \cdots & 1+x_1^n \\ @@ -125,13 +248,387 @@ $$ 1+x_n & 1+x_n^2 & \cdots & 1+x_n^n \end{vmatrix} $$ -14. （10 分）设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$. - (1)证明：方程组 $Ax=\alpha$ 的解均为方程组 $Bx=\beta$ 的解； - (2)若方程组 $Ax=\alpha$ 与方程组 $Bx=\beta$ 不同解，求 $a$ 的值. -15. （10 分）设 $\alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T$和$\beta_1 = (0,1,1)^T,\quad \beta_2 = (-1,1,0)^T,\quad \beta_3 = (0,2,1)^T$是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量 $u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3$在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。 + +--- + +解析 +（1）$K_n$： +从第 $n-1$ 行开始，依次乘以 $(-1)$ 加到下一行，再把第 $n$ 列加到前面各列，得 + +$$ +\begin{aligned} +K_n &= +\begin{vmatrix} +1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ +2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\ +3 & 2 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\ +\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ +n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 2 \\ +n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1 +\end{vmatrix} \\[4pt] +&= +\begin{vmatrix} +1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ +1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & -1 \\ +1 & 1 & -1 & \cdots & -1 & -1 \\ +\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ +1 & 1 & 1 & \cdots & -1 & -1 \\ +1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & -1 +\end{vmatrix} + +\end{aligned} +$$ + +继续化简： + +$$ +\begin{aligned} +&= +\begin{vmatrix} +n+1 & n+2 & n+3 & \cdots & 2n-1 & n \\ +0 & -2 & -2 & \cdots & -2 & -1 \\ +0 & 0 & -2 & \cdots & -2 & -1 \\ +\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ +0 & 0 & 0 & \cdots & -2 & -1 \\ +0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 +\end{vmatrix} + +\end{aligned} +$$ + +这是一个上三角行列式，因此 + +$$ +D_n = (-1)^{n-1} \cdot 2^{n-2} \cdot (n+1) + +$$ +--- +（2）加边 + + +$$ +\tilde{D} = +\begin{vmatrix} +1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ +1 & 1 + x_1 & 1 + x_1^2 & \cdots & 1 + x_1^n \\ +1 & 1 + x_2 & 1 + x_2^2 & \cdots & 1 + x_2^n \\ +\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +1 & 1 + x_n & 1 + x_n^2 & \cdots & 1 + x_n^n +\end{vmatrix} + +$$ + +$$ +\tilde{D} = +\begin{vmatrix} +1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\ +1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ +1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ +\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n +\end{vmatrix} +$$ + +将第一行拆为 $(2,0,0,\dots,0)$ 与 $(-1,-1,\dots,-1)$ 之和： + +$$ +\tilde{D} = +\begin{vmatrix} +2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ +1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ +1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ +\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n +\end{vmatrix} ++ +\begin{vmatrix} +-1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\ +1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ +1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ +\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n +\end{vmatrix} +$$ + +令左边为 $A$，右边为 $B$。 + +计算 $A$，按第一行展开： + +$$ +A = 2 \cdot +\begin{vmatrix} +x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ +x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n +\end{vmatrix} += 2 \cdot \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right) \cdot +\begin{vmatrix} +1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} \\ +1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1} +\end{vmatrix} +$$ + +右边为范德蒙德行列式： + +$$ +A = 2 \prod_{i=1}^{n} x_i \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) +$$ + +计算 $B$，提出第一行的因子 $-1$： + +$$ +B = (-1) \cdot +\begin{vmatrix} +1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ +1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ +1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ +\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n +\end{vmatrix} +$$ + +该行列式为 $n+1$ 阶范德蒙德行列式，变量为 $1, x_1, x_2, \dots, x_n$： + +$$ +B = (-1) \cdot \prod_{i=1}^{n} (x_i - 1) \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) +$$ + +因此： + +$$ +\tilde{D} = A + B = \left( 2 \prod_{i=1}^{n} x_i - \prod_{i=1}^{n} (x_i - 1) \right) \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) +$$ + +$$ +\boxed{\tilde{D} = \left(2\prod\limits_{i=1}^{n}x_i - \prod\limits_{i=1}^{n}(x_i-1)\right) \prod\limits_{1\leq ir(B),r(B)\le2$.对$B$进行初等行变换得$$B\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&1&2\\0&1&0&2\\0&0&a-1&a-1\end{bmatrix},$$于是$a=1$. + +--- + +15. （10 分）设 + $$ + \alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T + $$ + 和 + $$ + \beta_1 = (0,1,1)^T,\quad \beta_2 = (-1,1,0)^T,\quad \beta_3 = (0,2,1)^T + $$ + 是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量 + $$ + u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3 + $$ + 在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。 + +--- + +解析： + +已知： + +$$ +A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = +\begin{bmatrix} +1 & 2 & 1 \\ +0 & 1 & 1 \\ +-1 & 1 & 1 +\end{bmatrix}, +$$ + +$$ +B = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) = +\begin{bmatrix} +0 & -1 & 0 \\ +1 & 1 & 2 \\ +1 & 0 & 1 +\end{bmatrix}. +$$ + +设 $u$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标为 $x = (1, 2, -3)^T$，在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标为 $y$，则 + +$$ +u = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) x = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) y, +$$ + +即 + +$$ +Ax = By. +$$ + +因为 $B$ 可逆，所以 + +$$ +y = B^{-1} A x. +$$ + +用增广矩阵求解 $y$： + +$$ +(B, Ax) = +\begin{bmatrix} +0 & -1 & 0 & \vert & 2 \\ +1 & 1 & 2 & \vert & -1 \\ +1 & 0 & 1 & \vert & -2 +\end{bmatrix} +$$ + +作行初等变换： + +$$ +\begin{aligned} +&\rightarrow +\begin{bmatrix} +1 & 0 & 1 & \vert & -2 \\ +0 & 1 & 1 & \vert & 1 \\ +0 & -1 & 0 & \vert & 2 +\end{bmatrix} \\[1em] +&\rightarrow +\begin{bmatrix} +1 & 0 & 1 & \vert & -2 \\ +0 & 1 & 1 & \vert & 1 \\ +0 & 0 & 1 & \vert & 3 +\end{bmatrix} \\[1em] +&\rightarrow +\begin{bmatrix} +1 & 0 & 0 & \vert & -5 \\ +0 & 1 & 0 & \vert & -2 \\ +0 & 0 & 1 & \vert & 3 +\end{bmatrix}. +\end{aligned} +$$ + +因此向量 + +$$ +u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3 +$$ + +在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标为 + +$$ +y = (-5, -2, 3)^T. +$$ + +--- + + 16. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。 （1）证明 $A - E$ 可逆； （2）证明 $AB = BA$； （3）证明 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$； - （4）若矩阵$B = \begin{bmatrix}1 & -3 & 0 \\2 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$，求矩阵 $A$。 -17. （12 分）设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系中含有两个解向量，求 $Ax=0$ 的通解。 \ No newline at end of file + + （4）若矩阵 + $$ + B = \begin{bmatrix} + 1 & -3 & 0 \\ + 2 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 2 + \end{bmatrix}, + $$ + 求矩阵 $A$。 + + +--- + + +**【解】** + +**(1)** +由 $AB = A + B$ 得 $(A - E)(B - E) = E$，因此 $A - E$ 可逆。 +$$\text{……3 分}$$ + +**(2)** +由 $(A - E)(B - E) = E$ 得 $(B - E)(A - E) = E$，因此 $AB = BA$。 +$$\text{……6 分}$$ + +**(3)** +由 $AB = A + B$ 得 $A = (A - E)B$，而 $A - E$ 可逆，故 +$$ +\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B). +$$ +$$\text{……9 分}$$ + +**(4)** +由 $AB = A + B$ 得 $A(B - E) = B$，而 $B - E$ 可逆，故 +$$ +A = B(B - E)^{-1}. +$$ +已知 +$$ +B = \begin{bmatrix} +1 & -3 & 0 \\ +2 & 1 & 0 \\ +0 & 0 & 2 +\end{bmatrix}, +$$ +则 +$$ +B - E = \begin{bmatrix} +0 & -3 & 0 \\ +2 & 0 & 0 \\ +0 & 0 & 1 +\end{bmatrix}. +$$ +求逆得 +$$ +(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix} +0 & \frac12 & 0 \\[2pt] +-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt] +0 & 0 & 1 +\end{bmatrix}. +$$ +于是 +$$ +A = B(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix} +1 & -3 & 0 \\ +2 & 1 & 0 \\ +0 & 0 & 2 +\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} +0 & \frac12 & 0 \\[2pt] +-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt] +0 & 0 & 1 +\end{bmatrix} += \begin{bmatrix} +1 & \frac12 & 0 \\[2pt] +-\frac13 & 1 & 0 \\[2pt] +0 & 0 & 2 +\end{bmatrix}. +$$ +$$\text{……12 分}$$ + +--- + +17. 设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有两个解向量，求Ax=0的通解。 + +--- + +解析： +因为n=4，$n-\text{rank}A=2$，所以$\text{rank}A=2$。 +对A施行初等行变换，得 +$$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\0&t-2&-1&-1\end{bmatrix}$$ + +$$\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\0&0&-(1-t)^2&-(1-t)^2\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&0&1-2t&2-2t\\0&1&t&t\\0&0&-(1-t)^2&-(1-t)^2\end{bmatrix}$$ + + +要使$\text{rank}A=2$，则必有t=1。 +此时，与Ax=0同解的方程组为$\begin{cases}x_1=x_3\\x_2=-x_3-x_4\end{cases}$，得基础解系为 +$$\boldsymbol{\xi}_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\end{bmatrix},\ \boldsymbol{\xi}_2=\begin{bmatrix}0\\-1\\0\\1\end{bmatrix}$$ +方程组的通解为$$\boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2，（k_1,k_2为任意常数）$$ \ No newline at end of file