From c194eb03ca5c479db8693e583df02c3537cde636 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Sat, 24 Jan 2026 00:40:20 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E6=AD=A3=E4=BA=A4=E5=8F=8A=E4=BA=8C=E6=AC=A1?= =?UTF-8?q?=E5=9E=8B=20=E6=A0=A1=E5=AF=B9?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../讲义/正交及二次型（解析版）.md | 10 +++++++++- 1 file changed, 9 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md b/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md index 56dd315..758b702 100644 --- a/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md @@ -129,6 +129,14 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 >合同：惯性相同（正惯性指数、负惯性指数、$0$数都相同）且本身也是**实对称矩阵** > $C$ 选项的特征值与 $A$ 相同，然而, $C$ 选项的矩阵不是对称矩阵 +>[!faq] 思考 +>如果一个合同变换不改变特征值，那么这个合同变换一定是正交变换吗？ + +>[!done] 思考结论 +>**不一定！** +>举个例子：椭圆 $f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_2^2$，其矩阵为 $A=\begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix}$，特征值为 $1,4$； +>取变换矩阵 $P=\begin{bmatrix}2&0\\0&\frac12\end{bmatrix}$，$B=P^\mathrm TAP=\begin{bmatrix}4&0\\0&1\end{bmatrix}$，$A$ 与 $B$ 特征值相同，但是显然 $P$ 不是正交矩阵； +>从几何意义来说，我们可以这样想象：这个坐标系的 $x_1$ 轴缩短至原来的 $\frac12$， $x_2$ 轴 拉长至原来的 $2$ 倍，得到的结果是 $4y_1^2+y_2^2$，形状与原来相同（在代数上体现为特征值不变） ## 二次型 二次型，顾名思义，就是二次函数，只不过是 $n$ 元函数，当元数比较小时，我们可以清楚地画出它的图像，判断其几何形状，推得相应对的性质，然而一旦维度升高，我们是无法想象其空间几何构型的，只能从代数的角度了解其性质。因此引入二次型矩阵的概念，通过描述矩阵性质，进而得出函数的性质。 @@ -294,7 +302,7 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 ##### 抽象二次型 >[!example] 例题 ->证明：已知实二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3,x_4)=\boldsymbol x^T\boldsymbol A \boldsymbol x$ 中，$\displaystyle \boldsymbol A^T=\boldsymbol A,\boldsymbol A$ 的各行元素之和等于 $6$ ，$\boldsymbol A$ 的秩等于 $1$,则 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)$ 在正交变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol{Cy}$ 作用下可得到标准型 $6y_1^2$. +>证明：已知实二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=\boldsymbol x^T\boldsymbol A \boldsymbol x$ 中，$\displaystyle \boldsymbol A^T=\boldsymbol A,\boldsymbol A$ 的各行元素之和等于 $6$ ，$\boldsymbol A$ 的秩等于 $1$,则 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)$ 在正交变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol{Cy}$ 作用下可得到标准型 $6y_1^2$. >[!note] 证明： >$\boldsymbol A$ 的各行元素之和等于 $6$，即 $\boldsymbol A\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\6\\6\end{bmatrix}=6\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$，于是 $6$ 是矩阵 $\boldsymbol A$ 对应向量 $\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ 的特征值，其代数重数至少为 $1$。