From 42bfcc66c2cb8da1c428d7ab78ef4e41d6998ea9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Wed, 28 Jan 2026 10:02:53 +0800 Subject: [PATCH 1/7] =?UTF-8?q?A=20=E7=B4=A0=E6=9D=90/=E6=95=B4=E5=90=88?= =?UTF-8?q?=E7=B4=A0=E6=9D=90/=E9=AB=98=E6=95=B0=E7=B4=A0=E6=9D=90/?= =?UTF-8?q?=E7=89=B9=E5=AE=9A=E7=BB=93=E6=9E=84=E5=AE=9A=E7=A7=AF=E5=88=86?= =?UTF-8?q?.md?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../高数素材/特定结构定积分.md | 24 +++++++++++++++++++ 1 file changed, 24 insertions(+) create mode 100644 素材/整合素材/高数素材/特定结构定积分.md diff --git a/素材/整合素材/高数素材/特定结构定积分.md b/素材/整合素材/高数素材/特定结构定积分.md new file mode 100644 index 0000000..ea3bbe3 --- /dev/null +++ b/素材/整合素材/高数素材/特定结构定积分.md @@ -0,0 +1,24 @@ +## 函数的奇偶性在定积分上的体现 +如果 $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数，那么： +$\int_{-a}^a f(x)\mathrm dx=0$，$\int_{-a}^a g(x)\mathrm dx=2\int_0^a g(x)\mathrm dx$ +合理运用上面的特性可以有效化简定积分（一般都是用 $\int_{-a}^a f(x)\mathrm dx=0$ 来简化积分），通常来说，在看到积分上下限互为相反数且被积函数较复杂时，可以试图“剥掉奇函数”来简化，用公式写，就是这样： +如果 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是其他函数，那么： +$\int_{-a}^a(f(x)+g(x))\mathrm dx=\int_{-a}^{a}f(x)\mathrm dx+\int_{-a}^{a}g(x)\mathrm dx=\int_{-a}^{a}g(x)\mathrm dx$ +>[!example] 例题 +>计算定积分 $$\int_{-1}^1\frac{1+x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}\mathrm dx$$ + +>[!note] 解答 +>不难发现，$\frac{x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是奇函数…… +>>[!faq] 这个“不难发现”是怎么发现的？ +>>这个靠主动寻找+奇偶函数的乘法性质，同奇偶相乘得偶函数，反之则为奇函数. +>>$1+x^2$ 是偶函数，$\mathrm e^\frac{-x^2}{2}$ 是偶函数，$\frac{\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是偶函数；$x$ 是奇函数，$\frac{x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是奇函数 +> +>因此 +>$$\int_{-1}^1\frac{1+x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}\mathrm dx=\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}\mathrm dx=\left[\arctan x\right]_{-1}^1=2\arctan1=\frac{\pi}{2}$$ + +## 三角函数的特殊性与华莱士公式 + +$\int_0^\pi xf(\sin x)\mathrm dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)\mathrm dx$ + +华莱士公式： +$$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\mathrm dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\mathrm dx=\begin{cases}\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k\\\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k+1\end{cases},k\in\mathbb{N}$$ From bfdaa6c2ebceeb32959a097927fe113df2000d3d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Wed, 28 Jan 2026 12:48:31 +0800 Subject: [PATCH 2/7] vault backup: 2026-01-28 12:48:31 --- 笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md | 60 ++++++++++++++++++- .../线代2010秋A.md | 33 +++++----- .../线代2011秋A.md | 2 +- 3 files changed, 75 insertions(+), 20 deletions(-) diff --git a/笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md b/笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md index 56ffae9..81ebbb4 100644 --- a/笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md +++ b/笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md @@ -27,4 +27,62 @@ $\displaystyle\int_1^5f(x)\text{d}x$ $\displaystyle\int\limits_{L}(x+y)\mathrm{d}s$ -下划线输入可以这样 $\underline{\qquad}$. \ No newline at end of file +下划线输入可以这样 $\underline{\qquad}$. + +**颜色文字:** +红色文字 +蓝色文字 +另一种红色 +加粗橘色 +$\color{red} x^2 + \color{blue} y^2 = 1$ +```text +只要查一下颜色的编号放进去就可以 +红色文字 +蓝色文字 +另一种红色 +加粗橘色 + +数学公式中的颜色文字（虽然大概用不到就是了） +\color{red} x^2 + \color{blue} y^2 = 1 +``` + +**章节符号** § + +**任务表格**： +- [ ] abc +- [x] def +- [?] asdf +```text +- [ ] abc +- [x] def +- [?] asdf +``` + + +**居中输入** +
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+12px - 小号 +14px - 默认大小 +16px - 稍大 +18px - 大号 +20px - 较大 +24px - 标题大小 +32px - 醒目标题 +``` + + diff --git a/试卷库/线性代数期末真题/线代2010秋A.md b/试卷库/线性代数期末真题/线代2010秋A.md index 0691872..22314ab 100644 --- a/试卷库/线性代数期末真题/线代2010秋A.md +++ b/试卷库/线性代数期末真题/线代2010秋A.md @@ -6,9 +6,9 @@ --- -## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） + 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） -1. 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是欧氏空间的标准正交基，则向量$2\alpha_{1} - \alpha_{2} + 3\alpha_{3}$的长度为 __________。 +1. 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是欧氏空间的标准正交基，则向量$2\alpha_{1} - \alpha_{2} + 3\alpha_{3}$的长度为 $\underline{\qquad}$。 2. 设矩阵 $$ A = \left[ \begin{array}{ccc} @@ -18,19 +18,16 @@ $$ \frac{2}{3} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \end{array} \right] $$ - 为正交矩阵，则$ab =$__________。 -3. 若实二次型 -$$ - f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 2\lambda x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2} -$$ - 为正定二次型，则$\lambda$的取值范围为 __________。 -4. 已知$\alpha_{1},\alpha_{2}$是非齐次线性方程组$A_{2\times 3}x = b$的两个线性无关的解，且$\mathrm{rank}A = 2$。若$\alpha = k\alpha_{1} + l\alpha_{2}$是方程组$Ax = b$的通解，则常数$k,l$须满足关系式 __________。 -5. 设$A$为$n$阶实对称矩阵，且$A^{2} + 2A - 3E = 0$，$\lambda = 1$是$A$的一重特征值，则行列式$|A + 2E| =$__________。 -6. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，且每一行元素之和都等于常数$a\neq 0$，则$A$的逆矩阵的每一行元素之和为 __________。 + 为正交矩阵，则$ab =$$\underline{\qquad}$。 +3. 若实二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 2\lambda x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2}$ + 为正定二次型，则$\lambda$的取值范围为 $\underline{\qquad}$。 +4. 已知$\alpha_{1},\alpha_{2}$是非齐次线性方程组$A_{2\times 3}x = b$的两个线性无关的解，且$\mathrm{rank}A = 2$。若$\alpha = k\alpha_{1} + l\alpha_{2}$是方程组$Ax = b$的通解，则常数$k,l$须满足关系式 $\underline{\qquad}$。 +5. 设$A$为$n$阶实对称矩阵，且$A^{2} + 2A - 3E = 0$，$\lambda = 1$是$A$的一重特征值，则行列式$|A + 2E| =$$\underline{\qquad}$。 +6. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，且每一行元素之和都等于常数$a\neq 0$，则$A$的逆矩阵的每一行元素之和为$\underline{\qquad}$。 --- -## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分） + 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，$A$的第二行乘以2为矩阵$B$，则（ ）。 - (A)$A^{-1}$的第二行乘以2为$B^{-1}$ @@ -74,7 +71,7 @@ $$ --- -## 三、（10分）计算$n$阶行列式 +三、（10分）计算$n$阶行列式 $$ D_n = \begin{vmatrix} @@ -89,7 +86,7 @@ $$ --- -## 四、（10分）设3阶方阵$A,B$满足方程$A^{2}B - A - B = E$，试求矩阵$B$，其中 +四、（10分）设3阶方阵$A,B$满足方程$A^{2}B - A - B = E$，试求矩阵$B$，其中 $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ @@ -100,7 +97,7 @@ $$ --- -## 五、（10分）判定向量组 +五、（10分）判定向量组 $$ \alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix},\ @@ -113,7 +110,7 @@ $$ --- -## 六、（10分）设线性方程组为 +六、（10分）设线性方程组为 $$ \left\{ @@ -129,7 +126,7 @@ $$ --- -## 七、（12分）已知实二次型 +七、（12分）已知实二次型 $$ f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}x_{3} + 2x_{3}x_{1}, @@ -139,7 +136,7 @@ $$ --- -## 八、（12分）设$A$是$m \times n$实矩阵，$\beta \neq 0$是$m$维实列向量，证明： +八、（12分）设$A$是$m \times n$实矩阵，$\beta \neq 0$是$m$维实列向量，证明： (1)$\mathrm{rank}A = \mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}}A)$； (2) 线性方程组$A^{\mathrm{T}}Ax = A^{\mathrm{T}}\beta$有解。 diff --git a/试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md b/试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md index f5481d7..f5382c4 100644 --- a/试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md +++ b/试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md @@ -32,7 +32,7 @@ $$ 4. 设$A = [a_{ij}]_{3\times 3}$是正交矩阵，且$b = (1,0,0)^T$，$a_{11} = 1$，则$Ax = b$有一个解是$\underline{\qquad}$。 -5. 设$n$阶实对称矩阵$A$的特征值为$\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots , 1$，则当$\lambda\underline{\qquad}$时，$A - \lambda E$为正定矩阵。 +5. 设$n$阶实对称矩阵$A$的特征值为$\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots , 1$，则当$\lambda\underline{\qquad}$时，$A - \lambda E$为正定矩阵$\underline{\qquad}$。 6. 线性空间$V = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A \text{ 为反对称矩阵} \}$的维数为$\underline{\qquad}$。 From 498f80eae38e12311e964aa944f5f138e4a25803 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Wed, 28 Jan 2026 13:15:54 +0800 Subject: [PATCH 3/7] vault backup: 2026-01-28 13:15:54 --- .../高数素材/特定结构定积分.md | 21 +++++++++++-------- 1 file changed, 12 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/素材/整合素材/高数素材/特定结构定积分.md b/素材/整合素材/高数素材/特定结构定积分.md index ea3bbe3..c94be71 100644 --- a/素材/整合素材/高数素材/特定结构定积分.md +++ b/素材/整合素材/高数素材/特定结构定积分.md @@ -1,24 +1,27 @@ ## 函数的奇偶性在定积分上的体现 如果 $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数，那么： -$\int_{-a}^a f(x)\mathrm dx=0$，$\int_{-a}^a g(x)\mathrm dx=2\int_0^a g(x)\mathrm dx$ +$\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\mathrm dx=0$，$\displaystyle\int_{-a}^a g(x)\mathrm dx=2\int_0^a g(x)\mathrm dx$ 合理运用上面的特性可以有效化简定积分（一般都是用 $\int_{-a}^a f(x)\mathrm dx=0$ 来简化积分），通常来说，在看到积分上下限互为相反数且被积函数较复杂时，可以试图“剥掉奇函数”来简化，用公式写，就是这样： 如果 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是其他函数，那么： -$\int_{-a}^a(f(x)+g(x))\mathrm dx=\int_{-a}^{a}f(x)\mathrm dx+\int_{-a}^{a}g(x)\mathrm dx=\int_{-a}^{a}g(x)\mathrm dx$ +$\displaystyle\int_{-a}^a(f(x)+g(x))\mathrm dx=\int_{-a}^{a}f(x)\mathrm dx+\int_{-a}^{a}g(x)\mathrm dx=\int_{-a}^{a}g(x)\mathrm dx$ >[!example] 例题 >计算定积分 $$\int_{-1}^1\frac{1+x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}\mathrm dx$$ >[!note] 解答 ->不难发现，$\frac{x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是奇函数…… +>不难发现，$\displaystyle\frac{x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是奇函数…… >>[!faq] 这个“不难发现”是怎么发现的？ >>这个靠主动寻找+奇偶函数的乘法性质，同奇偶相乘得偶函数，反之则为奇函数. ->>$1+x^2$ 是偶函数，$\mathrm e^\frac{-x^2}{2}$ 是偶函数，$\frac{\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是偶函数；$x$ 是奇函数，$\frac{x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是奇函数 +>>$1+x^2$ 是偶函数，$\displaystyle\mathrm e^\frac{-x^2}{2}$ 是偶函数，$\displaystyle\frac{\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是偶函数；$x$ 是奇函数，$\displaystyle\frac{x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是奇函数 > >因此 ->$$\int_{-1}^1\frac{1+x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}\mathrm dx=\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}\mathrm dx=\left[\arctan x\right]_{-1}^1=2\arctan1=\frac{\pi}{2}$$ +>$$\displaystyle\int_{-1}^1\frac{1+x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}\mathrm dx=\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}\mathrm dx=\arctan x|_{-1}^1=2\arctan1=\frac{\pi}{2}$$ -## 三角函数的特殊性与华莱士公式 +## 三角函数的特殊性 -$\int_0^\pi xf(\sin x)\mathrm dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)\mathrm dx$ +$\displaystyle\int_0^\pi xf(\sin x)\mathrm dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)\mathrm dx,$ -华莱士公式： -$$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\mathrm dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\mathrm dx=\begin{cases}\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k\\\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k+1\end{cases},k\in\mathbb{N}$$ +$\displaystyle\int_0^{\pi/2}f(\sin x)\text dx=\int_0^{\pi/2}f(\cos x)\text dx.$ + +## 华莱士公式： +$$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\mathrm dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\mathrm dx=\begin{cases}\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k,\\\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k+1,\end{cases}\qquad k\in\mathbb{N}$$ +其中 $m!!=\begin{cases}m(m-2)\cdots(4)(2),\ m\text{是偶数},\\m(m-2)\cdots(3)(1),\ m\text{是奇数}\end{cases}$ 称为双阶乘. \ No newline at end of file From ea569b2a32f2fe4f3c46796cdcb049d98f297746 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Wed, 28 Jan 2026 13:17:36 +0800 Subject: [PATCH 4/7] vault backup: 2026-01-28 13:17:36 --- 笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md | 2 +- 笔记分享/达布定理.md | 3 ++- 2 files changed, 3 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md b/笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md index 81ebbb4..1665c4e 100644 --- a/笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md +++ b/笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md @@ -43,7 +43,7 @@ $\color{red} x^2 + \color{blue} y^2 = 1$ 加粗橘色 数学公式中的颜色文字（虽然大概用不到就是了） -\color{red} x^2 + \color{blue} y^2 = 1 +$\color{red} x^2 + \color{blue} y^2 = 1$ ``` **章节符号** § diff --git a/笔记分享/达布定理.md b/笔记分享/达布定理.md index 8c1c529..91be38c 100644 --- a/笔记分享/达布定理.md +++ b/笔记分享/达布定理.md @@ -1,4 +1,5 @@ >[!note] 定理： >如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可导，则其导函数$f'(x)$在$[a,b]$上有介值性质，即若$f(x)$在$[a,b]$上的值域为$[m,M]$,则$\forall \xi\in[m,M]$，总$\exists \eta\in[a,b],$有$\xi=f'(\eta)$. -**证明**：若$m=M$，结论显然成立.若$m0.$$由零值定理，$\exists \eta\in(x_1,x_2) \subset(a,b),g'(\eta)=0\implies f'(\eta)=\xi$，证毕. \ No newline at end of file +**证明**：若$m=M$，结论显然成立.若$m0.$$由零值定理，$\exists \eta\in(x_1,x_2) \subset(a,b),g'(\eta)=0\implies f'(\eta)=\xi$，证毕. + From 816c2a3a2bea5f28a927befa8aa5bde418e468b6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Wed, 28 Jan 2026 13:19:01 +0800 Subject: [PATCH 5/7] vault backup: 2026-01-28 13:19:01 --- 素材/整合素材/高数素材/不定积分.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/素材/整合素材/高数素材/不定积分.md b/素材/整合素材/高数素材/不定积分.md index aabd036..fd40830 100644 --- a/素材/整合素材/高数素材/不定积分.md +++ b/素材/整合素材/高数素材/不定积分.md @@ -16,7 +16,7 @@ >[!note] >$\displaystyle \int xf'(x)\text dx=\int x\text df(x)=xf(x)-\int f(x)\text dx=xf(x)-\dfrac{\cos x}{x},$ >$\displaystyle f(x)=\left(\dfrac{\cos x}{x}\right)'=\dfrac{-x\sin x-\cos x}{x^2},$ ->于是原式 $=$ +>于是原式 $\displaystyle=\left(\dfrac{\cos x}{x}\right)'=\dfrac{-x\sin x-\cos x}{x}+\frac{\cos x}{x}=-\sin x.$ 换元加分部 >[!example] From e7566b5ac28a5e5132950ad00facc5981fb71b1d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Wed, 28 Jan 2026 13:21:42 +0800 Subject: [PATCH 6/7] vault backup: 2026-01-28 13:21:42 --- 素材/整合素材/高数素材/不定积分.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/素材/整合素材/高数素材/不定积分.md b/素材/整合素材/高数素材/不定积分.md index fd40830..526403c 100644 --- a/素材/整合素材/高数素材/不定积分.md +++ b/素材/整合素材/高数素材/不定积分.md @@ -16,7 +16,7 @@ >[!note] >$\displaystyle \int xf'(x)\text dx=\int x\text df(x)=xf(x)-\int f(x)\text dx=xf(x)-\dfrac{\cos x}{x},$ >$\displaystyle f(x)=\left(\dfrac{\cos x}{x}\right)'=\dfrac{-x\sin x-\cos x}{x^2},$ ->于是原式 $\displaystyle=\left(\dfrac{\cos x}{x}\right)'=\dfrac{-x\sin x-\cos x}{x}+\frac{\cos x}{x}=-\sin x.$ +>于是原式 $\displaystyle=\dfrac{-x\sin x-\cos x}{x}-\frac{\cos x}{x}=\dfrac{-x\sin x-2\cos x}{x}.$ 换元加分部 >[!example] From 352d90e59ada17f42f670bf971b0640a60d49471 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Wed, 28 Jan 2026 14:00:11 +0800 Subject: [PATCH 7/7] =?UTF-8?q?A=20=E7=BC=96=E5=86=99=E5=B0=8F=E7=BB=84/?= =?UTF-8?q?=E8=AE=B2=E4=B9=89/=E7=A7=AF=E5=88=86.md?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 编写小组/讲义/积分.md | 4 ++++ 1 file changed, 4 insertions(+) create mode 100644 编写小组/讲义/积分.md diff --git a/编写小组/讲义/积分.md b/编写小组/讲义/积分.md new file mode 100644 index 0000000..83cf325 --- /dev/null +++ b/编写小组/讲义/积分.md @@ -0,0 +1,4 @@ +--- +Todo: 整合他人素材，完成这个讲义。 +Requires: 先写点自己的理解和做题的感悟，有人提交时就整合，并审稿，特别是例题，需要自己做 +---