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高数下/五一复习/DAY5.md

@@ -3,10 +3,44 @@
 - **2023年 解答题12**  
   求微分方程 $xy\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x^{2}+y^{2}$ 满足条件 $y(e)=2e$ 的特解，其中 $x>0,y>0$。  
 
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 - **2024年 解答题11**
   求微分方程 $y' = \sin^{2}(x-y+1)$ 的通解。  
 
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 - **2025年 填空题8**  
   微分方程 $y' = \dfrac{y}{x} - \left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}$ 的通解为 \_\_\_\_\_\_  
@@ -22,16 +56,67 @@
   设函数 $f \in C[0,1]$，当 $x\in[0,1]$ 时 $f(x)\geq0$，并满足 $xf'(x) = f(x) + \dfrac{3a}{2}x^{2}$（$a$ 为常数），又曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1$ 及 $x$ 轴所围图形面积为2。  
   (1) 求函数 $f(x)$。  
 
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 - **2021年 解答题17**（伯努利方程）  
   求微分方程 $y' - y = y^{2}\cos x$ 的通解。  
 
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 - **2025年 解答题15**（伯努利方程）  
   求微分方程 $y' - \dfrac{1}{\cos x} y = y^{2}(\sin x - 1)$ 的通解。  
 
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 ### 二阶常系数线性微分方程
@@ -68,26 +153,91 @@
 
 - **2023年 解答题17**  
   求微分方程 $y'' - 6y' + 9y = e^{3x}$ 的通解。  
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 - **2025年 解答题16**  
   求微分方程 $y'' - 6y' + 9y = (x+1)e^{3x}$ 的通解。  
 
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 - **2021年 解答题12**  
   求微分方程 $y'' + 5y' + 6y = 2e^{-x}$ 的通解。  
 
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 - **2024年 解答题14**  
   求微分方程 $y'' + y'^{2} = y'e^{-2y}$ 的积分曲线，使其通过原点且在该点处的切线斜率为 $-1$。  
 
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 - **2024年 单选题2**  
   若曲线 $y=y(x)$ 上任一点的次切线均等于4，则该曲线应满足的微分方程为（ ）  
   (A) $y' = \frac{1}{4}y$ (B) $y' = \pm\frac{1}{4}y$ (C) $y' = \pm\frac{1}{4}y^{2}$ (D) $y' = \frac{1}{4}y^{2}$  
@@ -101,8 +251,42 @@
 
 - **2024年 解答题18**  
   已知 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x) = \sin x - \displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\mathrm{d}t$，求 $f(x)$。  
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 - **2022年 证明题18(2)**  
   设 $y=y(x)$ 的反函数满足 $\dfrac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}y^{2}} + (y+2xe^{x})\left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)^{3} = 0$。  
   (2) 求满足初始条件 $y(0)=0,\ y'(0)=\frac{3}{2}$ 的解。  
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