From a53297d5345deaf30c57cf1a25413f8d2aeafff0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Sat, 3 Jan 2026 20:12:18 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2026-01-03 20:12:18 --- 编写小组/试卷/0103高数模拟试卷.md | 4 ++-- .../试卷/0103高数模拟试卷（解析版）.md | 8 ++++---- 2 files changed, 6 insertions(+), 6 deletions(-) diff --git a/编写小组/试卷/0103高数模拟试卷.md b/编写小组/试卷/0103高数模拟试卷.md index a2fb50a..bd29779 100644 --- a/编写小组/试卷/0103高数模拟试卷.md +++ b/编写小组/试卷/0103高数模拟试卷.md @@ -24,9 +24,9 @@ D$\frac{1}{6}$ (C) $a = 2, \, b = 1$ (D) $a = 2, \, b = 2$ -4.下列级数中收敛的是（ ）。 +4.下列级数中绝对收敛的是（ ）。 -(A) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^n}}$ +(A) $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^n}}$ (B) $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ diff --git a/编写小组/试卷/0103高数模拟试卷（解析版）.md b/编写小组/试卷/0103高数模拟试卷（解析版）.md index 5a3ea54..d4437d3 100644 --- a/编写小组/试卷/0103高数模拟试卷（解析版）.md +++ b/编写小组/试卷/0103高数模拟试卷（解析版）.md @@ -123,9 +123,9 @@ $$ 先考虑两者之比的极限$$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim\limits_{x\to0}\frac{2\mathrm{e}^x(\sin x+\cos x)-2a-2bx}{\arctan x^2}$$由麦克劳林公式得$$\begin{aligned}\mathrm{e}^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+O(x^3)\\\sin x&=x-\frac{x^3}{6}+O(x^3)\\\cos x&=1-\frac{x^2}{2}+O(x^3)\end{aligned}$$于是（把所有大于3次的项都放在高阶无穷小里面，这样可以简化计算）$$\mathrm{e}^x(\sin x+\cos x)=1+2x+x^2+O(x^3)$$从而极限式的分子等于$$2-2a+(4-2b)+2x^2+O(x^3).$$又由麦克劳林公式得$$\arctan x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^3)$$故分母为$$x^2-\frac{x^6}{6}+O(x^6)=x^2+O(x^3).$$上面的分子分母带入极限式中得$$\lim\limits_{x\to0}\frac{2-2a+(4-2b)+2x^2+O(x^3)}{x^2+O(x^3)}$$要让上式为有限值且不为$0$,只有$$\begin{cases}2-2a&=0\\4-2b&=0\end{cases}\implies\begin{cases}a&=1\\b&=2\end{cases}$$故选(B) **答案：** (B) -4.下列级数中收敛的是（ ）。 +4.下列级数中绝对收敛的是（ ）。 -(A) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^n}}$ +(A) $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^n}}$ (B) $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ @@ -134,8 +134,8 @@ $$ (D) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+1/n}}$ **解析** -- **(A)** 当 $n=1$ 时，分母 $\sqrt{1+(-1)^1}=0$，项无定义，即便忽略此项，级数条件收敛，但整体不收敛。 -- **(B)** 由于 $(\ln n)^{\ln n} = n^{\ln \ln n}$，当 $n$ 足够大时，$\ln \ln n > 2$，故 $\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}} < \frac{1}{n^2}$，由 $p$-级数收敛知原级数收敛。 +- **(A)** g根据莱布尼兹判别法，级数条件收敛，但其绝对值接近于$p-$级数（$p=\frac{1}{2}$）的情形，故不绝对收敛。 +- **(B)** 由于 $(\ln n)^{\ln n} = n^{\ln \ln n}$，当 $n$ 足够大时，$\ln \ln n > 2$，故 $\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}} < \frac{1}{n^2}$，由 $p$-级数收敛知原级数绝对收敛。 - **(C)** 用比值判别法：$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{3}{(1+1/n)^n} = \frac{3}{e} > 1$，发散。 - **(D)** 由于 $n^{1/n} \to 1$，故 $\frac{1}{n^{1+1/n}} \sim \frac{1}{n}$，与调和级数比较，发散。