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@@ -88,6 +88,12 @@ $$称矩阵 $\boldsymbol{K}$ 为基 $T_1$ 到基 $T_2$ 的**过渡矩阵**.由
 上面第三个例子不要求大家掌握，但前两个还是得清楚的，这是书上明确给了的例子。
 
 >[!example] 例题3
+>证明多项式空间是线性空间。
+
+>[!note] 证明：
+>任取多项式 $f=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\in V$. 加法和数乘封闭性，加法交换律、结合律，数乘结合律和分配律显然成立. 考虑 $o=0$ ,有 $f+o=o+f=f$，故 $o$ 为零元；取 $g=(-a_n)x^n+\cdots+(-a_1)x+(-a_0)\in V$, 有 $f+g=o$, 故存在负元；显然 $1\in\mathbb{R}$ 为数乘单位元。故多项式空间是线性空间。
+
+>[!example] 例题3.5
 >设$V$是定义于区间$[a,b]$上取正值的所有函数的集合，我们定义$$f\oplus g=f\times g,\lambda \odot f=f^\lambda\qquad(f,g\in V,\lambda\in\mathbb{R}).$$证明：在上述运算下，$V$是实数域$\mathbb{R}$上的线性空间.
 
 >[!note] **证明：** 
@@ -111,7 +117,7 @@ $$
 则称 $T$ 为 $U$ 到 $V$ 的**线性映射**。
 特别地，若 $T$ 是线性空间 $V$ 到 $V$ 的一个线性映射，则称 $T$ 是 $V$ 上的一个**线性变换**。
 
-> **注**：可加性和齐次性可以合并为  $T(k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\beta})=kT(\boldsymbol{\alpha})+lT(\boldsymbol{\beta})$，其中 $k,l \in \mathbb{R}$。
+> **注**：可加性和齐次性可以合并为  $T(k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\beta})=kT(\boldsymbol{\alpha})+lT(\boldsymbol{\beta})$，其中 $k,l \in \mathbb{R}$. 证明 $T$ 是线性变换就等价于证明 $T(k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\beta})=kT(\boldsymbol{\alpha})+lT(\boldsymbol{\beta})$.
 
 >[!info] **定理**  
 >设 $V$ 是线性空间，$T$ 是 $V$ 上的线性变换，则有：
@@ -192,6 +198,7 @@ $$
 由 $\left[\boldsymbol{\beta}_1\;\boldsymbol{\beta}_2\;\dots\;\boldsymbol{\beta}_n\right]=\left[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;\dots\;\boldsymbol{\alpha}_n\right]C$，且  $$
 \left[T(\boldsymbol{\alpha}_1)\;T(\boldsymbol{\alpha}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\alpha}_n)\right]=\left[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;\dots\;\boldsymbol{\alpha}_n\right]A,$$  $$
 \left[T(\boldsymbol{\beta}_1)\;T(\boldsymbol{\beta}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\beta}_n)\right]=\left[\boldsymbol{\beta}_1\;\boldsymbol{\beta}_2\;\dots\;\boldsymbol{\beta}_n\right]B.$$
+由 $\boldsymbol \beta_i=$
 计算得：$$
 \begin{aligned}
 \left[T(\boldsymbol{\beta}_1)\;T(\boldsymbol{\beta}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\beta}_n)\right]&=\left[T(\boldsymbol{\alpha}_1)\;T(\boldsymbol{\alpha}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\alpha}_n)\right]C \\