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index 774fd0d..9fa65cb 100644
--- a/素材/整合素材/二次型与合同题目.md
+++ b/素材/整合素材/线代素材/二次型与合同题目.md
@@ -43,6 +43,7 @@
>记 $\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T,\boldsymbol y=(y_1,y_2,y_3)^T,\boldsymbol z=(z_1,z_2,z_3)^T,\boldsymbol C=\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&2\\0&2&1\end{bmatrix}$，于是 $\boldsymbol x=\boldsymbol{Cy},\boldsymbol x=\boldsymbol C\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol z$，从而$$\boldsymbol x=\boldsymbol C\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}=\boldsymbol C\begin{bmatrix}-z_2\\-z_1\\z_3\end{bmatrix},$$于是此变换下标准型为$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=4(-z_2)^2-\frac{1}{2}(-z_1)^2=-\frac{1}{2}z_1^2+4z_2^2.$
**题后总结：** 此题关键在于理解可逆矩阵与初等变换之间的关系。如果能看到前一个线性变换和后一个线性变换之间只差了两次初等变换，把初等变换写成矩阵的形式，并运用矩阵乘法的结合律，就能够解出这道题了。
+**补充：** 如果两个变换矩阵之间的关系不那么明显，可以采用如下机械化的方法：记 $\boldsymbol x=C_1\boldsymbol y,\boldsymbol x=C_2\boldsymbol z$, 则 $C_1\boldsymbol y=C_2\boldsymbol z\Rightarrow \boldsymbol y=C_1^{-1}C_2\boldsymbol z$, 然后根据已有的标准型转化为要求的标准型。
>[!example] 例题
>把二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2^2+6x_2x_3+100x_3^2$ 通过配方法化为标准型。
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index 3c83637..66d8115 100644
--- a/素材/整合素材/正交及二次型.md
+++ b/素材/整合素材/线代素材/正交及二次型.md
@@ -22,7 +22,7 @@
>[!note] **解析**
解题思路
-正交矩阵的定义是：若矩阵 H 满足 $H^T H = E$（其中 $E$ 为单位矩阵），则 $H$ 为正交矩阵。我们从这个定义出发推导条件。
+正交矩阵的定义是：若矩阵 $H$ 满足 $H^T H = E$（其中 $E$ 为单位矩阵），则 $H$ 为正交矩阵。我们从这个定义出发推导条件。
>步骤1：写出 $H^T$
>已知 $H = E - l\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T$，转置得
$$H^T = (E - l\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T)^T = E^T - l(\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T)^T = E - l\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T$$
@@ -43,7 +43,7 @@ H^T H &= (E - l\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T)(E - l\boldsymbol \alpha\b
>若 $\boldsymbol \alpha \neq \boldsymbol 0（即 k \neq 0）$，则$\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T \neq O$，因此系数必须为$0$：
$$-2l + l^2 k^2 = 0 \implies l(l k^2 - 2) = 0$$
>解得$l = 0$ 或 $l = \dfrac{2}{k^2}$。
->若 $\boldsymbol \alpha = \boldsymbol 0（即 k = 0$），则 $H = E$，显然 ￥ 是正交矩阵，此时对任意$l \in \mathbb{R}$ 均成立。
+>若 $\boldsymbol \alpha = \boldsymbol 0（即 k = 0$），则 $H = E$，显然 $H$ 是正交矩阵，此时对任意$l \in \mathbb{R}$ 均成立。
>最终结论$$\begin{aligned}
&1.\ \text{当}\ k = 0\ \text{时，对任意实数}\ l,\ H\ \text{为正交矩阵；} \\
&2.\ \text{当}\ k \neq 0\ \text{时，}l = 0\ \text{或}\ l = \dfrac{2}{k^2}\ \text{时，}H\ \text{为正交矩阵。}
@@ -52,7 +52,6 @@ $$-2l + l^2 k^2 = 0 \implies l(l k^2 - 2) = 0$$
>[!example] 例题2
>已知 $A$ = $[a_{ij}]_{n \times n}$为 $n\,(n \ge 2)$ 阶正交矩阵，证明：$A_{ij} = \pm a_{ij}\;(i,j=1,2,\dots,n)$，其中 $A_{ij}$ 为行列式 $|A|$ 中 $a_{ij}$ 的代数余子式。
-
>[!note] **解析**
>设 $A$为 $n$阶正交矩阵（$n\ge2$），则 ${A}^T{A}={E}$
>又由伴随矩阵与逆矩阵的关系：$A^{-1} = \frac{1}{|A|}{A}^*$
@@ -61,19 +60,19 @@ $$-2l + l^2 k^2 = 0 \implies l(l k^2 - 2) = 0$$
>由伴随矩阵的定义，其第 $(j,i)$ 元为 $a_{ij}$ 的代数余子式 $A_{ij}$，而 $\pm A^T$ 的第 $(j,i)$ 元为 $±a_{ij}$。比较对应元素得$A_{ij}=±a_{ij},i,j=1,2,…,n.$
>证毕
## 施密特正交化法
-### **定理**
-设$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_p$ 是向量空间 $V$ 中的线性无关向量组，则
-如下方法所得向量组$\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_p$
-施密特正交化与单位化公式
-正交化过程
+
+设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_p$ 是向量空间 $V$ 的一组基，则用如下方法所得向量组 $\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_p$ 为 $V$ 的一组标准正交基
$$\begin{align*}
\boldsymbol{u}_1 &= \boldsymbol{\alpha}_1, \\
\boldsymbol{u}_k &= \boldsymbol{\alpha}_k - \sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle\boldsymbol{\alpha}_k,\boldsymbol{u}_i\rangle}{\langle\boldsymbol{u}_i,\boldsymbol{u}_i\rangle}\boldsymbol{u}_i,\quad k=2,3,\dots,p.
\end{align*}$$
-单位化过程
+单位化得
$$\boldsymbol{\varepsilon}_k = \frac{\boldsymbol{u}_k}{\|\boldsymbol{u}_k\|},\quad
k=1,2,3,\dots,p$$
-
+还有另一个更加常用的正交化法：$$\begin{aligned}
+\boldsymbol u_1&=\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\varepsilon_1=\dfrac{\boldsymbol u_1}{\|\boldsymbol u_1\|},\\
+\boldsymbol u_k&=\boldsymbol\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\langle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\alpha_k\rangle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\varepsilon_k=\dfrac{\boldsymbol u_k}{\|\boldsymbol u_k\|}(k=2,3,\cdots,p).
+\end{aligned}$$
### **例子**
>[!example] **例3**
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_5$ 为欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad
@@ -91,17 +90,15 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3
>$$\boldsymbol{\gamma}_3=\boldsymbol{\beta}_3-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}\boldsymbol{\gamma}_1-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_2,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}\boldsymbol{\gamma}_2$$
>$$\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=3,\quad
\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle=0$$
->$$\boldsymbol{\gamma}_3=\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_3$$
+>$$\boldsymbol{\gamma}_3=-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4$$
>步骤2：单位化
$$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\dfrac{\boldsymbol{\gamma}_1}{\|\boldsymbol{\gamma}_1\|}=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}}$$
-$$\|\boldsymbol{\gamma}_2\|=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$$
-$$\boldsymbol{\varepsilon}_2=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}}$$
-$$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$$
-$$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{6}}$$
+$$\|\boldsymbol{\gamma}_2\|=\sqrt{\dfrac{5}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_2=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}}$$
+$$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4}{\sqrt{19}}$$
>$U$ 的标准正交基为
>$$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}},\quad
\boldsymbol{\varepsilon}_2=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}},\quad
-\boldsymbol{\varepsilon}_3=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{6}}$$
+\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4}{\sqrt{19}}$$
>[!example] **例4**
>已知 $A$ $=$ $[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3\ \boldsymbol{\alpha}_4]$ 为正交矩阵，其中
@@ -109,9 +106,8 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2
\boldsymbol{\alpha}_4 = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}2\sqrt{6}\\0\\-\sqrt{6}\\-\sqrt{6}\end{bmatrix}$$
试求一个$\boldsymbol{\alpha}_1$ 和一个 $\boldsymbol{\alpha}_2$。
-
>[!note] **解析**
->$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$必须与 $\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$都正交，且$\boldsymbol{\alpha}_1 与 \boldsymbol{\alpha}_2$ 也正交，模长为1。
+>$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$必须与 $\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$都正交，且$\boldsymbol{\alpha}_1 与 \boldsymbol{\alpha}_2$ 也正交，模长为 $1$。
>设 $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$，正交条件等价于方程组：
>$$\begin{cases}
\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{\alpha}_3\rangle = x_1 - 2x_2 + 2x_4 = 0\\
@@ -119,16 +115,10 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2
\end{cases}$$
>解上述齐次方程组,得到两个线性无关的解：
>$$\boldsymbol{\xi}_1=(2,1,4,0)^T,\quad
-\boldsymbol{\xi}_2=(0,1,0,1)^T$$
->正交化
->$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\xi}_1 = (2,1,4,0)^T$$
->$$\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\xi}_2 - \frac{\langle\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\beta}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1\rangle}\boldsymbol{\beta}_1
-= (0,1,0,1)^T - \frac{1}{21}(2,1,4,0)^T
-= \left(-\frac{2}{21},\frac{20}{21},-\frac{4}{21},1\right)^T$$
->单位化$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \frac{\boldsymbol{\beta}_1}{\|\boldsymbol{\beta}_1\|}=\frac{1}{\sqrt{21}}(2,1,4,0)^T$$
->$$\boldsymbol{\alpha}_2 = \frac{\boldsymbol{\beta}_2}{\|\boldsymbol{\beta}_2\|}
-=\frac{1}{3\sqrt{105}}(-2,20,-4,21)^T$$
->满足条件的一组标准正交向量为：$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \frac{1}{\sqrt{21}}\begin{bmatrix}2\\1\\4\\0\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{\alpha}_2 = \frac{1}{3\sqrt{105}}\begin{bmatrix}-2\\20\\-4\\21\end{bmatrix}$$
+\boldsymbol{\xi}_2=(0,1,-1,1)^T$$
+>用施密特正交化法得 $$\boldsymbol u_1=\boldsymbol \xi_1,\boldsymbol\varepsilon_1=\dfrac{\boldsymbol u_1}{\|\boldsymbol u_1\|}=\dfrac{1}{\sqrt{21}}(2,1,4,0)^\text{T},$$
+>$$\boldsymbol u_2=\boldsymbol \xi_2-\langle\boldsymbol \xi_2,\boldsymbol \varepsilon_1\rangle\boldsymbol \varepsilon_1=\dfrac{1}{7}(2,8,-3,7)^\text{T},\boldsymbol \varepsilon_2=\dfrac{\boldsymbol u_2}{\|\boldsymbol u_2\|}=\dfrac{1}{4\sqrt 5}(2,0,-3,7)^\text T$$
+>满足条件的一组标准正交向量为：$$\boldsymbol{\varepsilon}_1 = \frac{1}{\sqrt{21}}\begin{bmatrix}2\\1\\4\\0\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{\varepsilon}_2 = \frac{1}{4\sqrt{5}}\begin{bmatrix}2\\0\\-3\\7\end{bmatrix}.$$
# Section 2 实对称矩阵的正交变换与二次型
@@ -179,19 +169,19 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2
合同变换法直接对实对称矩阵 $A$ 进行初等变换，通过“初等行变换+同步初等列变换”，将 $A$ 化为对角阵 $\Lambda$ ，同步记录初等列变换得到可逆矩阵 $C$，本质是直接构造 $C^TAC=\Lambda$ 。
>[!tip] 核心步骤：
->1. 构造分块矩阵 $\begin{bmatrix}A\\I\end{bmatrix}$ （I为单位矩阵）；
+>1. 构造分块矩阵 $\begin{bmatrix}A\\E\end{bmatrix}$ （$E$为单位矩阵）；
>2. 对 $A$ 施行初等行变换的同时，对整个分块矩阵的列施行相同的初等列变换，使 $A$ 化为对角阵 $\Lambda$ ；
->3. 此时下方单位矩阵I同步化为可逆矩阵 $C$，满足 $C^TAC=\Lambda$ ，对应线性代换 $X=CY$ ，二次型化为标准型 $f=\Lambda_{11}y_1^2+\Lambda_{22}y_2^2+...+\Lambda_{nn}y_n^2$ 。
+>3. 此时下方单位矩阵 $E$ 同步化为可逆矩阵 $C$，满足 $C^TAC=\Lambda$ ，对应线性代换 $X=CY$ ，二次型化为标准型 $f=\lambda_{11}y_1^2+\lambda_{22}y_2^2+...+\lambda_{nn}y_n^2$ 。
**特点**：直接关联矩阵合同关系，**直观体现二次型化标准型的本质**；标准型系数不唯一，C由初等变换直接得到；适用于需明确合同矩阵的场景，计算量介于配方法与正交变换法之间。
#### （三）**正交变换法（特殊可逆代换，保几何度量）**
-正交变换法利用实对称矩阵可正交对角化的性质，构造正交矩阵Q（满足 $Q^T=Q^{-1}$ ），使 $Q^TAQ=\Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 的对角元为A的特征值，对应的线性代换 $X=QY$ 为正交变换。
+正交变换法利用实对称矩阵可正交对角化的性质，构造正交矩阵 $Q$（满足 $Q^T=Q^{-1}$ ），使 $Q^TAQ=\Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 的对角元为 $A$ 的特征值，对应的线性代换 $X=QY$ 为正交变换。
>[!tip] 核心步骤：
->1.求二次型对应实对称矩阵 $A$ 的全部特征值 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$
+>1. 求二次型对应实对称矩阵 $A$ 的全部特征值 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$
>对每个特征值，求对应的特征向量，并将属于同一特征值的特征向量正交化；
->2.将所有正交化后的特征向量单位化，得到正交矩阵 $Q$；
->3作正交变换 $X=QY$ ，二次型化为标准型$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n^2$ 。
+>2. 将所有正交化后的特征向量单位化，得到正交矩阵 $Q$；
+>3. 作正交变换 $X=QY$ ，二次型化为标准型$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n^2$ 。
**特点**：标准型系数为 $A$ 的特征值，具有唯一性（不计顺序）；正交变换保持向量长度、夹角不变，几何意义明确（如旋转、反射变换）；但计算量较大，需求解特征值和特征向量。
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new file mode 100644
index 0000000..aabd036
--- /dev/null
+++ b/素材/整合素材/高数素材/不定积分.md
@@ -0,0 +1,35 @@
+>[!example]
+>求 $\displaystyle I_n=\int\dfrac{\text{d}x}{(x^2+a^2)^n}$. （递推公式）
+
+>[!example]
+>证明 $$\displaystyle I_n=\int\tan^nx\text{d}x=\dfrac{\tan^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2}.$$
+
+>[!note]
+>证明： $\displaystyle I_n=\int\tan^{n-2}x(\sec^2x-1)\text{d}x=\int\tan^{n-2}x\text{d}(\tan x)-I_{n-2}=\dfrac{\tan^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2}.$
+
+分部积分法：多次使用时，记住每次一定要把同一种函数放到 $\text d$ 里面去.
+
+抽象函数积分
+>[!example]
+>已知 $f(x)$ 的一个原函数是 $\dfrac{\cos x}{x}$, 求 $\displaystyle \int xf'(x)\text dx$.
+
+>[!note]
+>$\displaystyle \int xf'(x)\text dx=\int x\text df(x)=xf(x)-\int f(x)\text dx=xf(x)-\dfrac{\cos x}{x},$
+>$\displaystyle f(x)=\left(\dfrac{\cos x}{x}\right)'=\dfrac{-x\sin x-\cos x}{x^2},$
+>于是原式 $=$
+
+换元加分部
+>[!example]
+>求 $\displaystyle I=\int\dfrac{\text e^{\arctan x}}{(1+x^2)^{3/2}}\text dx.$
+
+>[!note]
+>令 $u=\arctan x$, 则 $\text dx=\sec^2u\text du.$ 则 $$\begin{aligned}
+>\displaystyle I&=\int \text e^u\cos u\text du\\
+>&=\int \text e^u\text d\sin u\\
+>&=\int \text e^u\text d\sin u\\
+>&=\text e^u\sin u-\int\text e^u\sin u\text du\\
+>&=\text e^u\sin u+\int \text e^u\text d\cos u\\
+>&=\text e^u\sin u+(\text e^u\cos u-\int\text e^u\cos u\text du)\\
+>&=\text e^u\sin u+\text e^u\cos u-I
+>\end{aligned},$$于是 $\displaystyle I=\dfrac{1}{2}\text e^u(\sin u+\cos u)=\dfrac{(x+1)\text e^{\arctan x}}{2\sqrt{x^2+1}}+C.$
+
diff --git a/素材/整合素材/微分中值定理部分题目汇总.md b/素材/整合素材/高数素材/微分中值定理部分题目汇总.md
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diff --git a/素材/整合素材/拐点是一个点.md b/素材/整合素材/高数素材/拐点是一个点.md
similarity index 100%
rename from 素材/整合素材/拐点是一个点.md
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diff --git a/素材/整合素材/洛必达法则-注意事项.md b/素材/整合素材/高数素材/洛必达法则-注意事项.md
similarity index 100%
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diff --git a/素材/整合素材/谏学高数者十思疏.md b/素材/谏学高数者十思疏.md
similarity index 100%
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diff --git a/编写小组/试卷/积佬卷.md b/编写小组/试卷/积佬卷.md
index 4cd21db..13f63f9 100644
--- a/编写小组/试卷/积佬卷.md
+++ b/编写小组/试卷/积佬卷.md
@@ -21,42 +21,39 @@
(D)$2f(a)$
2. 设$y = f(x)$为区间$[0,1]$上单调增加的连续函数，且$f(0) = 0$，$f(1) = 2$，$x = g(y)$为
-$y = f(x)$的反函数。若$\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{3}$，则$\int_{0}^{2} g(y) \, dy$的值为（ ）。
+$y = f(x)$的反函数。若$\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{3}$，则$\displaystyle\int_{0}^{2} g(y) \, dy$的值为（ ）。
(A)$\frac{1}{3}$
(B)$\frac{2}{3}$
(C)$\frac{4}{3}$
(D)$\frac{5}{3}$
-3. 已知函数$f(x), g(x)$在$(-\infty, +\infty)$内可导，且$f'(x) > 0, g'(x) < 0$，则（ ）。
+3. 已知函数$\displaystyle f(x), g(x)$在$\displaystyle(-\infty, +\infty)$内可导，且$f'(x) > 0, g'(x) < 0$，则（ ）。
-(A)$$\int_0^1 f(x) dx > \int_1^2 f(x) dx$$
+(A)$\displaystyle\int_0^1 f(x) \text{d}x > \int_1^2 f(x) \text{d}x$
-(B)$$\int_0^1 |f(x)| dx > \int_1^2 |f(x)| dx$$
+(B)$\displaystyle\int_0^1 |f(x)| dx > \int_1^2 |f(x)| dx$
-(C)$$\int_0^1 f(x)g(x) dx > \int_1^2 f(x)g(x) dx$$
+(C)$\displaystyle\int_0^1 f(x)g(x) dx > \int_1^2 f(x)g(x) dx$
-(D)$$\int_0^1 f[g(x)] dx > \int_1^2 f[g(x)] dx$$
+(D)$\displaystyle\int_0^1 f[g(x)] dx > \int_1^2 f[g(x)] dx$
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## 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
-4. 不定积分$$\int \frac{1}{x(1+2\ln x)} \, dx =$$
+4. 不定积分$\displaystyle\int \frac{1}{x(1+2\ln x)} \, dx =\underline{\qquad}$
-5. 定积分$$\int_{-1}^{1} \frac{x\left(\cos x + x\right)}{1+x^2} \, dx$$的值为
+5. 定积分$\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{x\left(\cos x + x\right)}{1+x^2} \, dx$的值为$\underline{\qquad}.$
-6. 已知$$\int f(x) \, dx = \arctan x + C$$则$f'(x) =$
+6. 已知$\displaystyle\int f(x) \, dx = \arctan x + C$则 $f'(x) =\underline{\qquad}.$
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## 三、解答题（共8小题，共54分）
-7. （6分）计算极限
-$$
- \lim_{x\to 0}\frac{x\int_{0}^{x}\sqrt{1 + t^{4}}\mathrm{d}t}{x - \ln(1 + x)}.
-$$
+7. （6分）计算极限 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x\int_{0}^{x}\sqrt{1 + t^{4}}\mathrm{d}t}{x - \ln(1 + x)}.$
-8. （6分）计算不定积分
+8. （6分）计算不定积分
$$
\int \frac{2 - \sqrt{2x + 1}}{2 + \sqrt{2x + 1}}\mathrm{d}x
$$
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@@ -16,7 +16,7 @@ $$
1 & 0 & 1
\end{bmatrix},
$$
- 且正整数$n \geq 2$，则$A^n - 2A^{n - 1} =$__________。
+ 且正整数$n \geq 2$，则$A^n - 2A^{n - 1} =\underline{\qquad}$。
2. 已知矩阵$A$的逆矩阵
$$
@@ -26,15 +26,15 @@ $$
5 & 2 & 0
\end{bmatrix},
$$
- 则$\left(\dfrac{1}{2} A^*\right)^{-1} =$__________。
+ 则$\left(\dfrac{1}{2} A^*\right)^{-1} =\underline{\qquad}$__________。
-3. 已知4阶矩阵$A$和$B$的列向量组分别为$a_1, a_2, a_3, a_4$和$\beta , a_2, a_3, a_4$，且$|A| = 4$，$|B| = 1$，则$|A + B| =$__________。
+3. 已知4阶矩阵$A$和$B$的列向量组分别为$a_1, a_2, a_3, a_4$和$\beta , a_2, a_3, a_4$，且$|A| = 4$，$|B| = 1$，则$|A + B| =$$\underline{\qquad}$。
-4. 设$A = [a_{ij}]_{3\times 3}$是正交矩阵，且$b = (1,0,0)^T$，$a_{11} = 1$，则$Ax = b$有一个解是 __________。
+4. 设$A = [a_{ij}]_{3\times 3}$是正交矩阵，且$b = (1,0,0)^T$，$a_{11} = 1$，则$Ax = b$有一个解是$\underline{\qquad}$。
-5. 设$n$阶实对称矩阵$A$的特征值为$\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots , 1$，则当$\lambda$__________ 时，$A - \lambda E$为正定矩阵。
+5. 设$n$阶实对称矩阵$A$的特征值为$\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots , 1$，则当$\lambda\underline{\qquad}$时，$A - \lambda E$为正定矩阵。
-6. 线性空间$V = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A \text{ 为反对称矩阵} \}$的维数为 __________。
+6. 线性空间$V = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A \text{ 为反对称矩阵} \}$的维数为$\underline{\qquad}$。
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