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Date: Tue, 20 Jan 2026 13:01:11 +0800
Subject: [PATCH] vault backup: 2026-01-20 13:01:11

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 素材/正交矩阵和施密特正交化法.md           | 8 ++++----
 编写小组/讲义/矩阵相似变换.md                | 6 ++++++
 编写小组/讲义/矩阵相似变换（解析版）.md | 7 +++++++
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diff --git a/素材/正交矩阵和施密特正交化法.md b/素材/正交矩阵和施密特正交化法.md
index 45422d0..3b0c477 100644
--- a/素材/正交矩阵和施密特正交化法.md
+++ b/素材/正交矩阵和施密特正交化法.md
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 ## **正交矩阵**
 **定理**
-设$\boldsymbol{A}$为n阶实方阵，则$\boldsymbol{A}^\top\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$的充要条件是$\boldsymbol{A}$的列（行）向量组为标准正交向量组.
+设$\boldsymbol{A}$为n阶实方阵，则$\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$的充要条件是$\boldsymbol{A}$的列（行）向量组为标准正交向量组.
 定义
-若$\boldsymbol{A}$为n阶实矩阵，满足$\boldsymbol{A}^\top\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$，则称$\boldsymbol{A}$为正交矩阵.
+若$\boldsymbol{A}$为n阶实矩阵，满足$\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$，则称$\boldsymbol{A}$为正交矩阵.
 **性质 1**
-设$\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_n为\mathbb{R}^n的标准正交基，若记A_{n\times n}=[\boldsymbol{\varepsilon}_1\ \boldsymbol{\varepsilon}_2\ \dots\ \boldsymbol{\varepsilon}_n]$，则$\boldsymbol{A}^\top\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$.
+设$\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_n为\mathbb{R}^n的标准正交基，若记A_{n\times n}=[\boldsymbol{\varepsilon}_1\ \boldsymbol{\varepsilon}_2\ \dots\ \boldsymbol{\varepsilon}_n]$，则$\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$.
 **性质 2**
 若 A 为正交矩阵，则 |A|=1 或 |A|=-1。
 **性质 3** 
-若 A 为正交矩阵，则 $A^\top,\;A^{-1},\;A^*$ 也是正交矩阵。
+若 A 为正交矩阵，则 $A^T,\;A^{-1},\;A^*$ 也是正交矩阵。
 **性质 4**
 若 A,B 为 n 阶正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵。
 **性质 5**
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index 5c01cc7..1cdf8a0 100644
--- a/编写小组/讲义/矩阵相似变换.md
+++ b/编写小组/讲义/矩阵相似变换.md
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 >设$U,V$都是同一数域上的向量空间，若$U\subseteq V$，则称$U$为$V$的子空间.
 
 向量空间的**基**和**维数**等概念就不在这里具体定义，不然讲义会变得相当繁琐。但建议大家自己去看一看书上的相关定义，这是必要的。
+这里有一个小结论：
+>[!info] 定理
+>设空间 $V$ 有一个子空间 $W$ ，如果 $W$ 的维数等于 $V$ 的维数，那么 $W=V$.
+
+>[!note] 证明：
+>设维数等于 $n$ ，则空间 $W$ 中能取出 $n$ 个线性无关的向量作为基。而 $V$ 的维数也是 $n$，所以 $V$ 的基也只有 $n$ 个向量，所以刚刚取出来的那 $n$ 个向量也是$V$ 的基，故 $W=V$.
 >[!warning] 有以下几个点需要注意： 
 >1. 零空间$\displaystyle\{\boldsymbol{0}\}$没有基；
 >2. 一般来说，向量空间的基是不唯一的；
diff --git a/编写小组/讲义/矩阵相似变换（解析版）.md b/编写小组/讲义/矩阵相似变换（解析版）.md
index 0a912be..ef72602 100644
--- a/编写小组/讲义/矩阵相似变换（解析版）.md
+++ b/编写小组/讲义/矩阵相似变换（解析版）.md
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 >设$U,V$都是同一数域上的向量空间，若$U\subseteq V$，则称$U$为$V$的子空间.
 
 向量空间的**基**和**维数**等概念就不在这里具体定义，不然讲义会变得相当繁琐。但建议大家自己去看一看书上的相关定义，这是必要的。
+这里有一个小结论：
+>[!info] 定理
+>设空间 $V$ 有一个子空间 $W$ ，如果 $W$ 的维数等于 $V$ 的维数，那么 $W=V$.
+
+>[!note] 证明：
+>设维数等于 $n$ ，则空间 $W$ 中能取出 $n$ 个线性无关的向量作为基。而 $V$ 的维数也是 $n$，所以 $V$ 的基也只有 $n$ 个向量，所以刚刚取出来的那 $n$ 个向量也是$V$ 的基，故 $W=V$.
+
 >[!warning] 有以下几个点需要注意： 
 >1. 零空间$\displaystyle\{\boldsymbol{0}\}$没有基；
 >2. 一般来说，向量空间的基是不唯一的；