合并：一元积分学

笔记美观计划.md

@@ -1,6 +1,6 @@
 我们正在通过CSS建立更加美观的前端！
 启用方法：点击左下角的齿轮，在最左边选中外观（①），滑倒最底下，启用math-note代码片段（②）。
-<span class='emphasize'>如果你想在自己的笔记里也能使用这些功能</span>，那就点击启用按钮上方的文件夹（③），进去把里面的文件用文本文档（或者VSCode）打开，把里面的东西复制出；然后回到自己的仓库，同样的步骤走一遍，不过最后需要自己在那个文件夹（③）中创建一个文本文档，把后缀改成.css，然后把代码粘贴进去，保存，出来刷新一下，再启用就可以了。![[图片解释启用CSS.png]]
+<span class='emphasize'>如果你想在自己的笔记里也能使用这些功能</span>，那就点击启用按钮上方的文件夹（③），进去把里面的文件用文本文档（或者VSCode）打开，把里面的东西复制出；然后回到自己的仓库，同样的步骤走一遍，不过最后需要自己在那个文件夹（③）中创建一个文本文档，把后缀改成.css，然后把代码粘贴进去，保存，出来刷新一下（③左边那个），再启用就可以了。![[图片解释启用CSS.png]]
 已经完成的部分：
 
 'emphasize'：使字体变成橙色加粗，如：

素材/谏学高数者十思疏.md

@@ -38,5 +38,6 @@ flowchart TD
 ##### 拐所及，则思无因x而漏y。
 >[!error] 考试必考点！拐点是一个二维的点，零点、驻点等是一个一维的 $x$ 值！
 
-##### 总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽数分之乐，可以养高代之寿。
-只要易错点不错，你就放心去考吧，我们已经帮你找好关系了——找的是牛顿、莱布尼兹，我说服了他们望你的大脑注入一点他们的智慧，考试当天生效。
+##### 总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽春节之乐，可以养寒假之寿。
+只要易错点不错，你就放心去考吧，我们已经帮你找好关系了——找的是牛顿、莱布尼兹、泰勒和柯西，我说服了他们往你的大脑注入一点他们的智慧，考试当天生效。
+<span class="emphasize">最后提前祝大家过个好年！</span> 

编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）（解析版）.md

@@ -95,10 +95,10 @@ $\displaystyle\frac{M(x)}{N(x)}=S(x)+\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $S(x)$ 为整
 >[!todo] 示例
 >求不定积分$\displaystyle\int \frac{dx}{(x^2+a^2)\sqrt{a^2-x^2}}$
 >解：令 $\sqrt{a^2-x^2}=t(a-x)$，则
->$\displaystyle t^2=\frac{a+x}{a-x},\quad x=a\frac{t^2-1}{t^2+1},\quad\mathrm dx=\frac{4at}{(t^2+1)^2}\mathrm dt$
->$\displaystyle x^2+a^2=\frac{2a^2(t^4+1)}{(t^2+1)^2}$
+>$$\displaystyle t^2=\frac{a+x}{a-x},\quad x=a\frac{t^2-1}{t^2+1},\quad\mathrm dx=\frac{4at}{(t^2+1)^2}\mathrm dt$$
+>$$\displaystyle x^2+a^2=\frac{2a^2(t^4+1)}{(t^2+1)^2}$$
 >于是
->$\begin{align}\int \frac{\mathrm dx}{(x^2+a^2)\sqrt{a^2-x^2}} &= \int \frac{\frac{4at}{(t^2+1)^2}\mathrm dt}{\frac{2a^2(t^4+1)}{(t^2+1)^2}\cdot\frac{2at}{t^2+1}} \\&= \frac{1}{2a^2}\int \frac{2t^2+2}{t^4+1}\mathrm dt\end{align}$
+>$$\begin{align}\int \frac{\mathrm dx}{(x^2+a^2)\sqrt{a^2-x^2}} &= \int \frac{\frac{4at}{(t^2+1)^2}\mathrm dt}{\frac{2a^2(t^4+1)}{(t^2+1)^2}\cdot\frac{2at}{t^2+1}} \\&= \frac{1}{2a^2}\int \frac{2t^2+2}{t^4+1}\mathrm dt\end{align}$$
 >之后可以按照有理式的方法继续积分下去。
 
 >[!Bug] 待补充
@@ -199,7 +199,7 @@ a_n &= \int_0^1 x (1-x)^n\mathrm dx = \int_0^1 (1-t) t^n\mathrm dt \\
 >[!hint] 提示
 >对于含有多个次数不同的根式时，换元时要换元为根指数的最小公倍数。
 >若被积函数中含有 $\sqrt[n_1]{ax+b}$,$\sqrt[n_2]{ax+b}$,$\dots$,$\sqrt[n_k]{ax+b}$，可考虑代换 $t = \sqrt[n]{ax+b}$（$n$ 为 $n_1$,$n_2$,$\dots,n_k$ 的最小公倍数）
->若被积函数中含有 $\sqrt[n_1]{\frac{ax+b}{cx+d}}$,$\sqrt[n_2]{\frac{ax+b}{cx+d}}$,$\dots$,$\sqrt[n_k]{\frac{ax+b}{cx+d}}$，可考虑代换 $t = \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$（$n$ 为 $n_1$,$n_2$,$\dots$,$n_k$ 的最小公倍数）
+>若被积函数中含有 $\displaystyle\sqrt[n_1]{\frac{ax+b}{cx+d}},\sqrt[n_2]{\frac{ax+b}{cx+d}},\dots,\sqrt[n_k]{\frac{ax+b}{cx+d}}$，可考虑代换 $\displaystyle t = \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$（$n$ 为 $n_1$,$n_2$,$\dots$,$n_k$ 的最小公倍数）
 
 >[!solution] 解析
 >令 $t=\sqrt[6]{x+1}$，则 $x=t^6-1$，$\mathrm dx=6t^5\mathrm dt$，则 
@@ -207,9 +207,8 @@ a_n &= \int_0^1 x (1-x)^n\mathrm dx = \int_0^1 (1-t) t^n\mathrm dt \\
 
 >[!bug] 待决策
 >##### 高次幂多项式与三角函数的转化
->$$\int \frac{\sqrt{\arctan x}}{1+x^2}\mathrm dx$$
->原式
 >$$\begin{align*}
+>\int \frac{\sqrt{\arctan x}}{1+x^2}\mathrm dx
 &= \int \sqrt{\arctan x}\mathrm d(\arctan x) \\
 &= \frac{2}{3}(\arctan x)^{\frac{3}{2}} + C
 \end{align*}$$
@@ -232,6 +231,8 @@ a_n &= \int_0^1 x (1-x)^n\mathrm dx = \int_0^1 (1-t) t^n\mathrm dt \\
 3. **幂**：幂函数，$x,x^2,x^3,...$ 
 4. **指**：指数函数，通常特指 $\mathrm e^x$ 
 5. **三**：三角函数家族 $\sin,\cos,\tan,\cot,\sec,\csc$ 
+<br>
+
 >[!todo] 示例
 >求不定积分 $\int x\cos x\mathrm dx$
 
@@ -252,10 +253,10 @@ a_n &= \int_0^1 x (1-x)^n\mathrm dx = \int_0^1 (1-t) t^n\mathrm dt \\
 
 >[!solution] 解析
 >最先匹配的是“**对**”（对数函数 $\ln x$），取 $u=\ln x,\mathrm dv=x^3\mathrm dx$，则：
->$\begin{align}\int x^3 \ln x\mathrm dx&= \int \ln x d\left(\frac{x^4}{4}\right) \\&= \frac{1}{4}x^4 \ln x - \frac{1}{4}\int x^3\mathrm dx \\&= \frac{1}{4}x^4 \ln x - \frac{1}{16}x^4 + C\end{align}$
+>$\begin{align}\int x^3 \ln x\mathrm dx&= \int \ln x \mathrm d\left(\frac{x^4}{4}\right) \\&= \frac{1}{4}x^4 \ln x - \frac{1}{4}\int x^3\mathrm dx \\&= \frac{1}{4}x^4 \ln x - \frac{1}{16}x^4 + C\end{align}$
 
 >[!example] 例题
->求不定积分 $\int\mathrm e^{\sqrt{x}}\mathrm dx$
+>求不定积分 $\displaystyle\int\mathrm e^{\sqrt{x}}\mathrm dx$
 
 >[!solution] 解析
 >我们可以提前代换变量，将根式消去。
@@ -271,12 +272,13 @@ a_n &= \int_0^1 x (1-x)^n\mathrm dx = \int_0^1 (1-t) t^n\mathrm dt \\
 >[!solution] 解析
 >$$\begin{aligned}
 >\int x\tan^2x\text dx
->&=\int x(sec^2x-1)\text dx\\
+>&=\int x(\sec^2x-1)\text dx\\
 >&=\int x\text d(\tan x)-\int x\text dx\\
 >&=x\tan x-(-\ln|\cos x|)-\frac{x^2}{2}+C\\
 >&=x \tan x + \ln |\cos x| - \dfrac{x^2}{2} + C
 >\end{aligned}$$
 
+<br>
 然而，不少积分不能直接积出来。对于部分情况，需要用到**循环式**和**递推式**求解。
 #### 2. 依靠循环式求解的积分
 **循环式**是指在进行分部积分的时候，多次循环会出现**同一积分式**：
@@ -357,7 +359,7 @@ I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^n x \mathrm dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^
 >故$\displaystyle I_3=\frac{2^{\frac{3-2}{2}}}{3-1} + \frac{3-2}{3-1} I_{3-2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} I_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln(\sqrt{2} + 1).$
 
 >[!summary] 题后总结
->因为要证明的式子中是 $I_n$ 和 $I_{n-2}$，中间隔了两项，所以在凑的时候也要凑一个 $\sec^2x$ 出来；而且 $\text d(\tan x)=\sec^2x\text dx$，用平方也更好凑一点。
+>因为要证明的式子中是 $I_n$ 和 $I_{n-2}$，中间隔了两项，所以在凑的时候也要凑一个 $\tan^2x$和$\sec^2x$ 出来；而且 $\tan^2x=\sec^2x-1,\text d(\tan x)=\sec^2x\text dx$，用平方也更好凑一点。
 
 #### 4. 连续分部积分（选学？）
 >[!bug] 需要斟酌该内容是否重要。
@@ -399,10 +401,14 @@ I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^n x \mathrm dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^
 上面两种类型并没有穷尽所有的可能，只是抛砖引玉，实际可能的变形是有很多的。
 <br>
 先来两道简单的题目热热身。
+
 >[!example] 例题
 >计算极限  
 >$$\lim_{x\to 0}\frac{x - \large\int_{0}^{x}\cos t^{2}\mathrm{d}t}{x^{3}\ln(1 + \tan^{2}x)}。$$
 
+>[!hint] 提示
+>观察一下上下的极限分别是多少
+
 >[!solution] 解析：
 >用等价无穷小代换和洛必达法则$$\begin{aligned}
 >\text{原式}&=\lim_{x\to0}\frac{x-\large\int_0^x\cos t^2\text dt}{x^5}\\
@@ -417,7 +423,11 @@ I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^n x \mathrm dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^
 >x = \large\int_{0}^{t} \frac{\sin u}{u} \text du, \\ 
 >y = \large\int_{0}^{t} \sin u^2 \text du, 
 >\end{cases}$$ 
->求$\dfrac{\text dy}{\text dx}$和$\dfrac{\text d^2 y}{\text dx^2}$。 
+>求 $\dfrac{\text dy}{\text dx}$ 和 $\dfrac{\text d^2 y}{\text dx^2}$。 
+
+>[!hint] 提示
+>还记得参数方程的二阶导怎么求吗？
+>$$\displaystyle\frac{\text d^2y}{\text dx^2}=\frac{\text d}{\text dx}\left(\frac{\text dy}{\text dx}\right)=\frac{\text d}{\text dt}\left(\frac{\text dy}{\text dx}\right)\bigg/\frac{\text dx}{\text dt}.$$
 
 >[!solution] 解析
 >$x$ 和 $y$ 分别对 $t$ 求导得$$\frac{\text dx}{\text dt}=\frac{\sin t}{t},\frac{\text dy}{\text dt}=\sin t^2.$$
@@ -429,7 +439,7 @@ I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^n x \mathrm dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^
 >[!example] 例题
 >已知函数 $$f_n(x)=\int_0^xt^2(1-t)\sin^{2n}t\text dt,\qquad x\in(-\infty,+\infty),$$其中 $n$ 为正整数。
 >（1）证明：对任意正整数 $n$，函数 $f_n(x)$ 在 $x=1$ 处取得最大值；
->（2）记 $a_n=f_n(1),n=1,2,\cdots$，试判断级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ 的敛散性。
+>（2）记 $a_n=f_n(1),n=1,2,\cdots$，试判断级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ 的敛散性。
 
 >[!solution] 解析
 >（1）$f'_n(x)=x^2(1-x)\sin^{2n}x$，令 $f'_n(x)=0$，得 $x=0,1,\pm n\pi(n=1,2,\cdots)$
@@ -491,8 +501,8 @@ $$于是$$\begin{aligned}
 由于定积分确定了上下限，因此定积分在不定积分的基础上多了不少有趣的性质，比如之前提到的在 $[-a,a]$ 有定义的奇函数在 $[-a,a]$ 的定积分为 $0$ ；
 除此之外还有很多性质，有些会为积分的化简提供便利，有些会给你挖个大坑。
 
-1. 周期函数每个周期内的定积分相同
-简单来说，如果 $T$ 是 $f(x)$ 的周期，那么 $\int_a^{a+T}f(x)\mathrm dx=\int_{a+T}^{a+2T}f(x)\mathrm dx$.
+1. **周期函数每个周期内的定积分相同**
+简单来说，如果 $T$ 是 $f(x)$ 的周期，那么 $\displaystyle\int_a^{a+T}f(x)\mathrm dx=\int_{a+T}^{a+2T}f(x)\mathrm dx$.
 >[!example] 例题
 >定积分 $\int_{-2026}^{2026} (x-[x])\mathrm dx$（其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）的值为\_\_\_\_\_\_\_\_。
 
@@ -500,7 +510,7 @@ $$于是$$\begin{aligned}
 >$f(x)=x-[x]$ 是周期为 $1$ 的函数，那么 $\displaystyle\int_{-2026}^{2026} (x-[x])\mathrm dx=5052\int_0^1(x-[x])\mathrm dx=5052\int_0^1x\mathrm dx=5052 \left[\frac{x^2}{2} \right]_0^1=2026$
 
 >[!example] 例题
->已知 $a_n = \int_0^{n\pi} |\cos x| \mathrm dx,\ n=1,2,\cdots$，则下列级数收敛的是（ ）。
+>已知 $\displaystyle a_n = \int_0^{n\pi} |\cos x| \mathrm dx,\ n=1,2,\cdots$，则下列级数收敛的是（ ）。
 (A) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n}$
 (B) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^2}$
 (C) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{a_n}{n}$
@@ -519,7 +529,7 @@ $$于是$$\begin{aligned}
 
 ![[cosx的绝对值.png]]
 
->[!bug] 待审查
+
 
 2. 除此之外，还可以把定积分的上下限劈开：$\int_a^bf(x)\mathrm dx=\int_a^cf(x)\mathrm dx+\int_c^bf(x)\mathrm dx$，这在 $f(x)$ 是分段函数（如绝对值）的情况下特别有用：
 >[!example] 例题
@@ -538,13 +548,12 @@ $$于是$$\begin{aligned}
   &= 3 \int_0^1 \left( t - 1 + \frac{1}{1+t} \right)\mathrm dt = 3 \left[ \frac{1}{2} t^2 - t + \ln |1+t| \right]_0^1 \\
   &= 3 \left( \frac{1}{2} - 1 + \ln 2 \right) = 3 \ln 2 - \frac{3}{2}.
   \end{aligned}$$
->故$$
-I = \int_{-1}^1 f(x)\mathrm dx = \int_{-1}^0 f(x)\mathrm dx + \int_0^1 f(x)\mathrm dx = -\frac{\pi^2}{32} + 3 \ln 2 - \frac{3}{2}.
-$$
+>故$$I = \int_{-1}^1 f(x)\mathrm dx = \int_{-1}^0 f(x)\mathrm dx + \int_0^1 f(x)\mathrm dx = -\frac{\pi^2}{32} + 3 \ln 2 - \frac{3}{2}.$$
+
 
->[!bug] 待审查
 
-而且，有不少定积分的应用<span class="emphasize">超乎你的想象</span>。
+而且，有不少定积分的应用 <span class="emphasize"> 超乎你的想象</span>。
+
 >[!example] 例题
 >(1) 设 $\displaystyle a_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} - 2\sqrt{n}$。证明：数列 $\{a_n\}$ 收敛；
 >(2) 求极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{\sqrt{n+2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n}} \right)$。
@@ -558,14 +567,15 @@ $$
 >**解1：**
 >$\displaystyle a_{2n}-a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{\sqrt{n+2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n}}+2(\sqrt{2n}-\sqrt n),$ 故 $$\frac{a_{2n}-a_n}{\sqrt n}=\frac{1}{\sqrt{n}} \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{\sqrt{n+2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n}} \right)-2(\sqrt2-1).$$因为 $\{a_n\}$ 收敛，所以 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{2n}-a_n)=0$，故$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{\sqrt{n+2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n}} \right)=2(\sqrt2-1).$$
 >**解2：**
->利用定积分的定义：$$
-\begin{aligned}
+>利用定积分的定义：
+>$$\begin{aligned}
 \lim_{n \to \infty} &\frac{1}{\sqrt{n}} \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{\sqrt{n+2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n}} \right) \\
 &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} + \frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{1+\frac{n}{n}}} \right)\\
 &= \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x}} \mathrm dx \\
 &= 2\sqrt{1+x} \bigg|_0^1 \\
 &= 2\sqrt{2} - 2.
-\end{aligned}$$故所求极限为 $2\sqrt{2} - 2$。
+>\end{aligned}$$
+>故所求极限为 $2\sqrt{2} - 2$。
 
 >[!summary] 题后总结
 >这道题相当地难！如果没有见过类似的题目，根本想不到第一问要用单调有界定理，第二问要用第一问的数列作差。当然为了呼应这次的标题，我们也提供了用定积分定义的解决方法。
@@ -581,10 +591,10 @@ $$
 >[!example] 例题
 >已知函数 $f(x), g(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x) > 0$，则极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_a^b g(x) \sqrt[n]{f(x)}\mathrm dx$ 的值为$\underline{\qquad}.$
 
->[!faq] 这是正解吗？
+>[!solution] 解析（？）
 >由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，由最值定理，存在 $m,M>0$，使得 $m\leqslant f(x)\leqslant M,$ 故$$\sqrt[n]{m} \int_a^b g(x)\mathrm dx \leqslant \int_a^b g(x) \sqrt[n]{f(x)}\mathrm dx \leqslant \sqrt[n]{M} \int_a^b g(x)\mathrm dx.$$又有 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{m} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{M} = 1$，所以由夹逼定理知$$\lim_{n \to \infty} \int_a^b g(x) \sqrt[n]{f(x)}\mathrm dx = \int_a^b g(x)\mathrm dx.$$
 
->[!summary] 题后总结
+>[!summary] 题后反思
 >这道题很妙，妙在想到用夹逼定理。但是这是怎么想到的呢？
 >我们观察一下极限的形式：有一个开 $n$ 次根号。这会让我们想到这样一个极限：$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]a=1,a\gt0.$$从而可以用放缩和夹逼定理做出这道题……吗？
 >不对，我们再看一下这个不等式：$$\sqrt[n]{m} \int_a^b g(x)\mathrm dx \leqslant \int_a^b g(x) \sqrt[n]{f(x)}\mathrm dx \leqslant \sqrt[n]{M} \int_a^b g(x)\mathrm dx,$$它真的成立吗？并不，题中没有给出 $g(x)\gt0$ 的条件，甚至连 $g(x)$ 保持同号的条件都没有，所以并不成立。那么应该怎么做呢？下面给出一种思路。
@@ -600,7 +610,7 @@ $$
 >>[!note] 补充证明
 >>由于 $f(x)$ 是连续的，所以 $\sqrt[n]{f(x)}-1$ 也是连续的，从而由积分中值定理可知，存在 $\xi\in(a,b),$ 使得 $\displaystyle \int_a^b\sqrt[n]{f(x)}-1\text dx=\sqrt[n]{f(\xi)}-1\to0\,(n\to\infty).$ 
 >
->实际上，只有函数“一致连续”才能得出极限和积分号可以互换的结论；就上面这道题而言，就是我们可以先求 $\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt[n]f(x)-1)$ 再求这个积分。有兴趣的可以自行去了解一致连续是什么意思。
+>实际上，只有函数“一致连续”才能得出极限和积分号可以互换的结论；就上面这道题而言，就是我们可以先求 $\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt[n]f(x)-1)$ 再求这个积分。有兴趣的可以自行去了解一致连续是什么意思。实际上，在闭区间上一致连续和连续是等价的，所以这里可以这样做。
 >有趣的是，这道题的第一个解析是原卷的解析，也就是说，出卷老师也没有意识到这个地方不能用夹逼定理。大家不能忘记夹逼定理的方法，但是也要注意具体情形下到底能不能用夹逼定理，<span style='color: blue'>这个不等式究竟是否成立</span>。
 
 定积分的大坑主要是换元时要换上下限。
@@ -608,7 +618,15 @@ $$
 >单纯把 $f'(x)\mathrm dx$ 换成 $\mathrm df(x)$ 不需要改变上下限，因为后者也是在对 $x$ 求积分，此时上下限仍然针对 $x$；当你使用<span class="danger">全新的变量</span>，如令 $t=f(x)$，且你决定设置 $t$ 为新积分变量而非单纯的关于 $x$ 的函数时，你必须更换成新的上下限。
 >即：上下限是根据变量设置的，而非仅仅根据微分算子后面的表达式
 
->[!bug] 请补充其他容易犯错的点
+而不定积分的大坑就是换元之后要记得再还原。
+>[!warning] 注意！
+>不定积分和定积分的换元法是相当类似的，但也并非完全一样。定积分只要考虑积分上下限就可以了，因为定积分的结果和积分变量无关，只与函数本身和上下限有关；但不定积分最后得出的表达式<span class="danger">和积分变量是有关的</span>，不同的变量不定积分就是不一样。所以一定要记得把换过去的变量再换回来！
+
+
+>[!bug] 请自行补充你自己容易犯错的点
+
+<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
+
 # Extra. 常用积分公式速记
  
 ### 一、三角函数积分