From d4084e6a522aa491e300dedfa736dcefc1d5fd7e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: idealist999 <2974730459@qq.com> Date: Thu, 30 Apr 2026 09:06:32 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2026-04-30 09:06:32 --- 高数下/五一复习/DAY5.md | 103 ++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 49 insertions(+), 54 deletions(-) diff --git a/高数下/五一复习/DAY5.md b/高数下/五一复习/DAY5.md index 4b2be6c..29135b2 100644 --- a/高数下/五一复习/DAY5.md +++ b/高数下/五一复习/DAY5.md @@ -1,4 +1,49 @@ +- **2022年 单选题3** + 微分方程 $y'' + y = x^{2}+1+\sin x$ 的特解形式可设为（ ） + (A) $y^{*} = ax^{2}+bx+c + x(A\sin x + B\cos x)$ + (B) $y^{*} = x(ax^{2}+bx+c + A\sin x + B\cos x)$ + (C) $y^{*} = ax^{2}+bx+c + A\sin x + B\cos x$ + (D) $y^{*} = ax^{2}+bx+c + A\sin x$ + + +- **2023年 单选题3** + 微分方程 $y'' + 4y = x\cos 2x$ 的特解形式为（ ） + (A) $x[(ax+b)\cos 2x + (cx+d)\sin 2x]$ + (B) $(ax+b)\cos 2x + (cx+d)\sin 2x$ + (C) $x(ax\cos 2x + bx\sin 2x)$ + (D) $x(ax+b)\cos 2x$ + + +- **2021年 单选题3** + 设 $a,b$ 为待定常数，微分方程 $y'' - y = e^{x}+1$ 的一个特解应具有的形式为（ ） + (A) $ae^{x}+b$ (B) $axe^{x}+b$ (C) $ae^{x}+bx$ (D) $axe^{x}+bx$ + + +- **2025年 单选题3** + 已知 $y_{1}=3$，$y_{2}=3+x^{2}$，$y_{3}=3+x^{2}+e^{x}$ 都是方程 $y''-p(x)y'+q(x)y=f(x)$ 的解，则通解为（ ） + (A) $y = C_{1}e^{x} - C_{2}x^{2} + 3$ + (B) $y = C_{1}e^{x} + C_{2}x + 3$ + (C) $y = C_{1}e^{x} + C_{2}x^{2} - 3$ + (D) $y = C_{1}e^{x} + C_{2}x^{2} + 3$ + + +- **2024年 单选题2** + 若曲线 $y=y(x)$ 上任一点的次切线均等于4，则该曲线应满足的微分方程为（ ） + (A) $y' = \frac{1}{4}y$ (B) $y' = \pm\frac{1}{4}y$ (C) $y' = \pm\frac{1}{4}y^{2}$ (D) $y' = \frac{1}{4}y^{2}$ + + +- **2025年 填空题8** + 微分方程 $y' = \dfrac{y}{x} - \left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}$ 的通解为 \_\_\_\_\_\_ + + +- **2021年 填空题7** + 微分方程 $y' = \dfrac{1}{e^{y}+x}$ 的通解为 \_\_\_\_\_\_ + + +- **2023年 填空题7** + 设 $f(x)$ 满足方程 $f(x) = x^{2} - \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则 $f(x)$ 表达式为 \_\_\_\_\_\_ + - **2023年 解答题12** 求微分方程 $xy\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x^{2}+y^{2}$ 满足条件 $y(e)=2e$ 的特解，其中 $x>0,y>0$。 @@ -20,7 +65,8 @@ ``` - + + - **2024年 解答题11** 求微分方程 $y' = \sin^{2}(x-y+1)$ 的通解。 @@ -42,15 +88,6 @@ ``` -- **2025年 填空题8** - 微分方程 $y' = \dfrac{y}{x} - \left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}$ 的通解为 \_\_\_\_\_\_ - - - -- **2021年 填空题7** - 微分方程 $y' = \dfrac{1}{e^{y}+x}$ 的通解为 \_\_\_\_\_\_ - - - **2023年 解答题19(1)**（一阶线性） 设函数 $f \in C[0,1]$，当 $x\in[0,1]$ 时 $f(x)\geq0$，并满足 $xf'(x) = f(x) + \dfrac{3a}{2}x^{2}$（$a$ 为常数），又曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1$ 及 $x$ 轴所围图形面积为2。 @@ -119,38 +156,6 @@ ``` -### 二阶常系数线性微分方程 - -- **2022年 单选题3** - 微分方程 $y'' + y = x^{2}+1+\sin x$ 的特解形式可设为（ ） - (A) $y^{*} = ax^{2}+bx+c + x(A\sin x + B\cos x)$ - (B) $y^{*} = x(ax^{2}+bx+c + A\sin x + B\cos x)$ - (C) $y^{*} = ax^{2}+bx+c + A\sin x + B\cos x$ - (D) $y^{*} = ax^{2}+bx+c + A\sin x$ - - -- **2023年 单选题3** - 微分方程 $y'' + 4y = x\cos 2x$ 的特解形式为（ ） - (A) $x[(ax+b)\cos 2x + (cx+d)\sin 2x]$ - (B) $(ax+b)\cos 2x + (cx+d)\sin 2x$ - (C) $x(ax\cos 2x + bx\sin 2x)$ - (D) $x(ax+b)\cos 2x$ - - - -- **2021年 单选题3** - 设 $a,b$ 为待定常数，微分方程 $y'' - y = e^{x}+1$ 的一个特解应具有的形式为（ ） - (A) $ae^{x}+b$ (B) $axe^{x}+b$ (C) $ae^{x}+bx$ (D) $axe^{x}+bx$ - - -- **2025年 单选题3** - 已知 $y_{1}=3$，$y_{2}=3+x^{2}$，$y_{3}=3+x^{2}+e^{x}$ 都是方程 $y''-p(x)y'+q(x)y=f(x)$ 的解，则通解为（ ） - (A) $y = C_{1}e^{x} - C_{2}x^{2} + 3$ - (B) $y = C_{1}e^{x} + C_{2}x + 3$ - (C) $y = C_{1}e^{x} + C_{2}x^{2} - 3$ - (D) $y = C_{1}e^{x} + C_{2}x^{2} + 3$ - - - **2023年 解答题17** 求微分方程 $y'' - 6y' + 9y = e^{3x}$ 的通解。 ```text @@ -238,17 +243,6 @@ ``` -- **2024年 单选题2** - 若曲线 $y=y(x)$ 上任一点的次切线均等于4，则该曲线应满足的微分方程为（ ） - (A) $y' = \frac{1}{4}y$ (B) $y' = \pm\frac{1}{4}y$ (C) $y' = \pm\frac{1}{4}y^{2}$ (D) $y' = \frac{1}{4}y^{2}$ - - - - -- **2023年 填空题7** - 设 $f(x)$ 满足方程 $f(x) = x^{2} - \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则 $f(x)$ 表达式为 \_\_\_\_\_\_ - - - **2024年 解答题18** 已知 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x) = \sin x - \displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\mathrm{d}t$，求 $f(x)$。 ```text @@ -268,7 +262,8 @@ ``` - + + - **2022年 证明题18(2)** 设 $y=y(x)$ 的反函数满足 $\dfrac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}y^{2}} + (y+2xe^{x})\left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)^{3} = 0$。 (2) 求满足初始条件 $y(0)=0,\ y'(0)=\frac{3}{2}$ 的解。