From d5d36efe593a50f52f135b43283ab7f68872d0fd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Fri, 23 Jan 2026 21:26:37 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2026-01-23 21:26:37 --- 编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md | 6 +++--- 1 file changed, 3 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md b/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md index c742c56..d02fdb4 100644 --- a/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md @@ -75,10 +75,10 @@ k=1,2,3,\dots,p$$ \end{aligned}$$ ### **例子** >[!example] **例3** -已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_5$ 为欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad +已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_4$ 为欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad \boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4,\quad \boldsymbol{\beta}_3 = 2\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3,$$ -$U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$求 $U$ 的一个标准正交基。 +$U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$, 求 $U$ 的一个标准正交基。 >[!note] **解析**： >施密特正交化 @@ -94,7 +94,7 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 >步骤2：单位化 $$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\dfrac{\boldsymbol{\gamma}_1}{\|\boldsymbol{\gamma}_1\|}=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}}$$ $$\|\boldsymbol{\gamma}_2\|=\sqrt{\dfrac{5}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_2=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}}$$ -$$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4}{\sqrt{19}}$$ +$$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{15},\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4}{\sqrt{19}}$$ >$U$ 的标准正交基为 >$$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}},\quad \boldsymbol{\varepsilon}_2=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}},\quad