diff --git a/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md index 645fe8b..a874a1f 100644 --- a/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md +++ b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md @@ -2,191 +2,91 @@ tags: - 编写小组 --- +# 线性代数适应性调研 ## 一、选择题，共六道，每题3分，共18分 -1. 设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是【 】 - +1. 设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是 (A) $AB - BA$; (B) $AB + BA$; (C) $BAB$; (D) $(AB)^2$. -2.  设 $e_1, e_2$ 和 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是线性空间 $\mathbb{R}^2$ 的两组基，并且已知关系式 -$$ -\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\quad \varepsilon_2 = e_2, -$$ -则由基 $e_1, e_2$ 到基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 的过渡矩阵是 - -$$ -(A) \begin{bmatrix} --1 & 0 \\ -5 & -1 -\end{bmatrix} \quad -(B) \begin{bmatrix} -0 & -1 \\ --6 & 0 -\end{bmatrix} \quad -(C) \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ --5 & -1 -\end{bmatrix} \quad -(D) \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ --5 & 1 -\end{bmatrix}. -$$ - ---- - -解析： - -$$ -\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\quad \varepsilon_2 = 0e_1 + 1e_2. -$$ - -把它们按列排成矩阵形式： - -$$ -[\varepsilon_1, \varepsilon_2] = [e_1, e_2] -\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -5 & 1 -\end{bmatrix}. -$$ - -基变换矩阵为： - -$$ -T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}. -$$ -$$ -\quad -T^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}. -$$ -$\quad T^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$是坐标变换矩阵，即为过渡矩阵，选D - ---- - -3. 设向量组 - $$ - \alpha_1 = (0, 0, c_1)^T,\quad - \alpha_2 = (0, 1, c_2)^T,\quad - \alpha_3 = (1, -1, c_3)^T,\quad - \alpha_4 = (-1, 1, c_4)^T, - $$ - 其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是【 】 - +>答案：**B** +>解析：$A$ 为 $n$ 阶对称矩阵 $\Rightarrow$ $A^T=A$ ， $B$ 为 $n$ 阶反称矩阵 $\Rightarrow$ $B^T=-B$ ； +>逐个选项分析： +>(A) $(AB-BA)^T=(AB)^T-(BA)^T=B^TA^T-A^TB^T=-BA+AB$，故 $AB-BA$ 是对称矩阵 +>(B) $(AB+BA)^T=(AB)^T+(BA)^T=B^TA^T+A^TB^T=-BA-AB$，故 $(AB+BA)$ 是反称矩阵 +>(C) $(BAB)^T=B^TA^TB^T=BAB$，故 $BAB$ 是对称矩阵 +>(D) $((AB)^2)^T=(ABAB)^T=B^TA^TB^TA^T=(BA)^2$，故 $(AB)^2$ 不一定有对称性 + +2.  设 $e_1, e_2$ 和 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是线性空间 $\mathbb{R}^2$ 的两组基，并且已知关系式 $\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\ \varepsilon_2 = e_2,$ 则由基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 到基 $e_1, e_2$ 到基的过渡矩阵是 + (A) $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ -6 & 0\end{bmatrix}$ + (B) $\begin{bmatrix}-1 & 0 \\5 & -1\end{bmatrix}$ + (C) $\begin{bmatrix}1 & 0 \\-5 & -1\end{bmatrix}$ + (D) $\begin{bmatrix}1 & 0 \\-5 & 1\end{bmatrix}$ + +>答案：**D** +>解析：$\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\quad \varepsilon_2 = 0e_1 + 1e_2.$ +>把它们按列排成矩阵形式：$[\varepsilon_1, \varepsilon_2] = [e_1, e_2] \begin{bmatrix}1 & 0 \\5 & 1\end{bmatrix}.$ +>而由基 $e_1, e_2$ 到基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 的过渡矩阵 $T$ 应该满足$\begin{bmatrix}e_1&e_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\varepsilon_1&\varepsilon_2\end{bmatrix}T$，即： +>$\begin{bmatrix}e_1&e_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e_1&e_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 5 & 1\end{bmatrix}T$，所以 $T=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 5 & 1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ -5 & 1\end{bmatrix}$ + +3. 设向量组 $\alpha_1 = (0, 0, c_1)^T,\quad \alpha_2 = (0, 1, c_2)^T,\quad \alpha_3 = (1, -1, c_3)^T,\quad \alpha_4 = (-1, 1, c_4)^T,$ + 其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是 (A) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$; (B) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$; (C) $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$; (D) $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$. -4. 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则【 】 +>答案：**C** +>解析：逐选项分析： +>A. $\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&-1\\c_1&c_2&c_3\end{bmatrix}$，当$c_1\ne 0$时，作初等列变换，$\text{rank}\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}=\text{rank}\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}=3$，故线性无关； +>B. $\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&1&1\\c_1&c_2&c_4\end{bmatrix}$，当$c_1\ne 0$时，作初等列变换，$\text{rank}\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&1&1\\c_1&c_2&c_4\end{bmatrix}=\text{rank}\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}=3$，故线性无关； +>C. $\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_3&\alpha_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&-1\\0&-1&1\\c_1&c_3&c_4\end{bmatrix}\cong\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&0&1\\c_1&c_3+c_4&c_4\end{bmatrix}\cong\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\c_1&c_3+c_4&c_4\end{bmatrix}$，故其必定线性相关； +>D. $\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&-1\\1&-1&1\\c_2&c_3&c_4\end{bmatrix}\cong\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&1\\c_2&c_3+c_4&c_4\end{bmatrix}$，当$c_3+c_4\ne 0$时，作初等列变换，$\text{rank}\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&1\\c_2&c_3+c_4&c_4\end{bmatrix}=\text{rank}\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}=3$，故线性无关； +4. 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则 (A) $\text{rank}[A \ AB] = \text{rank} A$; (B) $\text{rank}[A \ BA] = \text{rank} A$; (C) $\text{rank}[A \ B] = \max\{\text{rank} A, \text{rank} B\}$; (D) $\text{rank}[A \ B] = \text{rank}[A^T \ B^T]$. -5. 设 $A$ 可逆，将 $A$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B$，则 $A^*$ 与 $B^*$ 满足【 】 +>答案：**A** +>重点：$AB$的每一列都是 $A$ 的列向量的线性组合，因此，$\text{rank}[A \quad AB]=\text{rank}A$ ，因为 $AB$ 的列都在 $A$ 的列空间中 +5. 设 $A$ 可逆，将 $A$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B$，则 $A^*$ 与 $B^*$ 满足 (A) 将 $A^*$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B^*$; (B) 将 $A^*$ 的第一行加上第二行的 2 倍得到 $B^*$; (C) 将 $A^*$ 的第二列加上第一列的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$; (D) 将 $A^*$ 的第二行加上第一行的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$. -6. 已知方程组 - $$ - \text{(I)} \quad - \begin{cases} - x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\ - 2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\ - x_1 + x_2 + ax_3 = 0, - \end{cases} - $$ - 与 - $$ - \text{(II)} \quad - \begin{cases} - x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\ - 2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0 - \end{cases} - $$ - 同解，则【 】 +>答案：**D** +>解析：$B=AP(2,1(2))$，故$B^{-1}=P(2,1(-2))A^{-1}$， +>又$|A|=|B|$，$A^*=|A|A^{-1}$， +>可得$B^*=|B|B^{-1}=|A|P(2,1(-2))A^{-1}=P(2,1(-2))A^*$，根据初等矩阵的性质，$B^*$应该是$A^*$的第一行乘以$(-2)$加到第二行的结果。 +6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$与$\text{(II)} \quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则 (A) $a = 1, b = 0, c = 1$; (B) $a = 1, b = 1, c = 2$; (C) $a = 2, b = 0, c = 1$; (D) $a = 2, b = 1, c = 2$. -## 二、填空题，共六道，每题3分，共18分 - -7. 已知向量 $\alpha_1 = (1,0,-1,0)^T$，$\alpha_2 = (1,1,-1,-1)^T$，$\alpha_3 = (-1,0,1,1)^T$，则向量 $\alpha_1 + 2\alpha_2$ 与 $2\alpha_1 + \alpha_3$ 的内积 - $$ - \langle \alpha_1 + 2\alpha_2,\, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle = \underline{\qquad\qquad}. - $$ - -8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\quad\quad}$。 - ---- - -解析： -先计算$A^2$： - -$$A^2 -= \begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} $$ -$$= \begin{bmatrix}3\times3 + (-1)\times(-9)&3\times(-1) + (-1)\times3\\-9\times3 + 3\times(-9)&-9\times(-1) + 3\times3\end{bmatrix} -$$$$= \begin{bmatrix}18&-6\\-54&18\end{bmatrix} $$ -$$= 6\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = 6A$$ - -由此递推： -- $$A^3 = A^2 \cdot A = 6A \cdot A = 6A^2 = 6\times6A = 6^2A$$ -- 归纳可得当$n \geq 1$时，$A^n = 6^{n-1}A$ - - - -将A代入得： -$$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} $$ - --- +>答案：**D** +>解析：$\text{(I)}:\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&5\\1&1&a\end{bmatrix}x=0$，$\text{(II)}: \begin{bmatrix}1&b&c\\2&b^2&c+1\end{bmatrix}x=0$，对方程做初等行变换： +>$\text{(I)}:\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&a-2\end{bmatrix}x=0$，$\text{(II)}: \begin{bmatrix}1&b&c\\0&b^2-2b&1-c\end{bmatrix}x=0$，记系数矩阵分别为$A,B$ +>因为方程(I),(II)同解，所以$\text{rank}A=\text{rank}B$，而$\text{rank}A\ge 2,\text{rank}B\le 2$，故$\text{rank}A=\text{rank}B=2$，故$a-2=0 \to a=2$；所以方程组(I)的解为$x=k(1,1,-1)^T$； +>令$k=1,x=(1,1,-1)^T$代入方程组(II)得$\begin{bmatrix}1&b&c\\0&b^2-2b&1-c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+b-c\\b^2-2b+c-1\end{bmatrix}=0$，解得$\begin{cases}b=0\\c=1\end{cases}$或$\begin{cases}b=1\\c=2\end{cases}$；然而，当$\begin{cases}b=0\\c=1\end{cases}$时，$\begin{bmatrix}1&b&c\\0&b^2-2b&1-c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}$，不符合$\text{rank}B=2$的约束，故舍去； +>综上，$\begin{cases}a=2\\b=1\\c=2\end{cases}$ +## 二、填空题，共六道，每题3分，共18分 -9. 若向量组 - $$ - \alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T - $$ - 不能由向量组 - $$ - \beta_1 = (1,1,1)^T,\quad \beta_2 = (1,2,3)^T,\quad \beta_3 = (3,4,a)^T - $$ - 线性表示，则 - $$ - a = \underline{\qquad\qquad}. - $$ - ---- +7. 已知向量 $\alpha_1 = (1,0,-1,0)^T$，$\alpha_2 = (1,1,-1,-1)^T$，$\alpha_3 = (-1,0,1,1)^T$，则向量 $\alpha_1 + 2\alpha_2$ 与 $2\alpha_1 + \alpha_3$ 的内积$\langle \alpha_1 + 2\alpha_2,\, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle = \underline{\qquad\qquad}.$ -10. 设矩阵 - $$ - A = \begin{bmatrix} - 1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\ - 1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\ - 1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\ - 1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3 - \end{bmatrix},\quad - x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix},\quad - b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, - $$ - 其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为 - $$ - \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}. - $$ ---- -解析： +8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\qquad\qquad\quad\quad}$。 -一眼顶针，鉴定为： $$ - x = (1,0,0,0)^T$$ ---- +9. 若向量组$\alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T$不能由向量组$\beta_1 = (1,1,1)^T,\quad\beta_2 = (1,2,3)^T,\quad\beta_3 = (3,4,a)^T$线性表示，则$a = \underline{\qquad\qquad}.$ +10. 设矩阵$A = \begin{bmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3\end{bmatrix},x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix},b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},$其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$ 11. 矩阵(陈峰华原创题)$$A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1 \\ @@ -202,19 +102,12 @@ $$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} $$ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(mn) \times (mn)}$$其中第一行有$m$个$0$.若$A^k=O$，则 $k$ 的最小值为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$ ---- -解析： - - 12. 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$ - ## 三、解答题，共五道，共64分 ---- 13. （20 分）计算 下面的两个$n$阶行列式 - - $$ +$$ K_n = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\ @@ -224,8 +117,6 @@ $$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} $$ n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1 \end{vmatrix}. $$ - - $$ M_n =\begin{vmatrix} 1+x_1 & 1+x_1^2 & \cdots & 1+x_1^n \\ @@ -233,392 +124,14 @@ $$ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1+x_n & 1+x_n^2 & \cdots & 1+x_n^n \end{vmatrix} - -$$ - ---- - -解析 -（1）$K_n$： -从第 $n-1$ 行开始，依次乘以 $(-1)$ 加到下一行，再把第 $n$ 列加到前面各列，得 - -$$ -\begin{aligned} -K_n &= -\begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ -2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\ -3 & 2 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\ -\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ -n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 2 \\ -n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1 -\end{vmatrix} \\[4pt] -&= -\begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & \cdots & -1 & -1 \\ -\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ -1 & 1 & 1 & \cdots & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & -1 -\end{vmatrix} - -\end{aligned} -$$ - -继续化简： - -$$ -\begin{aligned} -&= -\begin{vmatrix} -n+1 & n+2 & n+3 & \cdots & 2n-1 & n \\ -0 & -2 & -2 & \cdots & -2 & -1 \\ -0 & 0 & -2 & \cdots & -2 & -1 \\ -\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ -0 & 0 & 0 & \cdots & -2 & -1 \\ -0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 -\end{vmatrix} - -\end{aligned} -$$ - -这是一个上三角行列式，因此 - -$$ -D_n = (-1)^{n-1} \cdot 2^{n-2} \cdot (n+1) - -$$ ---- -（2）加边 - - -$$ -\tilde{D} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 1 + x_1 & 1 + x_1^2 & \cdots & 1 + x_1^n \\ -1 & 1 + x_2 & 1 + x_2^2 & \cdots & 1 + x_2^n \\ -\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & 1 + x_n & 1 + x_n^2 & \cdots & 1 + x_n^n -\end{vmatrix} - -$$ - -$$ -\tilde{D} = -\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ -1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ -\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n -\end{vmatrix} -$$ - -将第一行拆为 $(2,0,0,\dots,0)$ 与 $(-1,-1,\dots,-1)$ 之和： - -$$ -\tilde{D} = -\begin{vmatrix} -2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ -1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ -\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n -\end{vmatrix} -+ -\begin{vmatrix} --1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ -1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ -\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n -\end{vmatrix} -$$ - -令左边为 $A$，右边为 $B$。 - -计算 $A$，按第一行展开： - -$$ -A = 2 \cdot -\begin{vmatrix} -x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ -x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ -\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n -\end{vmatrix} -= 2 \cdot \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right) \cdot -\begin{vmatrix} -1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} \\ -1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ -\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1} -\end{vmatrix} -$$ - -右边为范德蒙德行列式： - -$$ -A = 2 \prod_{i=1}^{n} x_i \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) -$$ - -计算 $B$，提出第一行的因子 $-1$： - -$$ -B = (-1) \cdot -\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ -1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ -1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ -\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n -\end{vmatrix} -$$ - -该行列式为 $n+1$ 阶范德蒙德行列式，变量为 $1, x_1, x_2, \dots, x_n$： - -$$ -B = (-1) \cdot \prod_{i=1}^{n} (x_i - 1) \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) -$$ - -因此： - -$$ -\tilde{D} = A + B = \left( 2 \prod_{i=1}^{n} x_i - \prod_{i=1}^{n} (x_i - 1) \right) \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) -$$ - -$$ -\boxed{\tilde{D} = \left(2\prod\limits_{i=1}^{n}x_i - \prod\limits_{i=1}^{n}(x_i-1)\right) \prod\limits_{1\leq ir(B),r(B)\le2$.对$B$进行初等行变换得$$B\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&1&2\\0&1&0&2\\0&0&a-1&a-1\end{bmatrix},$$于是$a=1$. - ---- - -15. （10 分）设 - $$ - \alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T - $$ - 和 - $$ - \beta_1 = (0,1,1)^T,\quad \beta_2 = (-1,1,0)^T,\quad \beta_3 = (0,2,1)^T - $$ - 是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量 - $$ - u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3 - $$ - 在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。 - ---- - -解析： - -已知： - -$$ -A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = -\begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -0 & 1 & 1 \\ --1 & 1 & 1 -\end{bmatrix}, -$$ - -$$ -B = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) = -\begin{bmatrix} -0 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 -\end{bmatrix}. -$$ - -设 $u$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标为 $x = (1, 2, -3)^T$，在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标为 $y$，则 - -$$ -u = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) x = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) y, -$$ - -即 - -$$ -Ax = By. -$$ - -因为 $B$ 可逆，所以 - -$$ -y = B^{-1} A x. $$ - -用增广矩阵求解 $y$： - -$$ -(B, Ax) = -\begin{bmatrix} -0 & -1 & 0 & \vert & 2 \\ -1 & 1 & 2 & \vert & -1 \\ -1 & 0 & 1 & \vert & -2 -\end{bmatrix} -$$ - -作行初等变换： - -$$ -\begin{aligned} -&\rightarrow -\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & \vert & -2 \\ -0 & 1 & 1 & \vert & 1 \\ -0 & -1 & 0 & \vert & 2 -\end{bmatrix} \\[1em] -&\rightarrow -\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & \vert & -2 \\ -0 & 1 & 1 & \vert & 1 \\ -0 & 0 & 1 & \vert & 3 -\end{bmatrix} \\[1em] -&\rightarrow -\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & \vert & -5 \\ -0 & 1 & 0 & \vert & -2 \\ -0 & 0 & 1 & \vert & 3 -\end{bmatrix}. -\end{aligned} -$$ - -因此向量 - -$$ -u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3 -$$ - -在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标为 - -$$ -y = (-5, -2, 3)^T. -$$ - ---- - - +14. （10 分）设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$. + (1)证明：方程组 $Ax=\alpha$ 的解均为方程组 $Bx=\beta$ 的解； + (2)若方程组 $Ax=\alpha$ 与方程组 $Bx=\beta$ 不同解，求 $a$ 的值. +15. （10 分）设 $\alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T$和$\beta_1 = (0,1,1)^T,\quad \beta_2 = (-1,1,0)^T,\quad \beta_3 = (0,2,1)^T$是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量 $u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3$在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。 16. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。 - （1）证明 $A - E$ 可逆； - （2）证明 $AB = BA$； - （3）证明 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$； - - （4）若矩阵 - $$ - B = \begin{bmatrix} - 1 & -3 & 0 \\ - 2 & 1 & 0 \\ - 0 & 0 & 2 - \end{bmatrix}, - $$ - 求矩阵 $A$。 - - ---- - - -**【解】** - -**(1)** -由 $AB = A + B$ 得 $(A - E)(B - E) = E$，因此 $A - E$ 可逆。 -$$\text{……3 分}$$ - -**(2)** -由 $(A - E)(B - E) = E$ 得 $(B - E)(A - E) = E$，因此 $AB = BA$。 -$$\text{……6 分}$$ - -**(3)** -由 $AB = A + B$ 得 $A = (A - E)B$，而 $A - E$ 可逆，故 -$$ -\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B). -$$ -$$\text{……9 分}$$ - -**(4)** -由 $AB = A + B$ 得 $A(B - E) = B$，而 $B - E$ 可逆，故 -$$ -A = B(B - E)^{-1}. -$$ -已知 -$$ -B = \begin{bmatrix} -1 & -3 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -0 & 0 & 2 -\end{bmatrix}, -$$ -则 -$$ -B - E = \begin{bmatrix} -0 & -3 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ -0 & 0 & 1 -\end{bmatrix}. -$$ -求逆得 -$$ -(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix} -0 & \frac12 & 0 \\[2pt] --\frac13 & 0 & 0 \\[2pt] -0 & 0 & 1 -\end{bmatrix}. -$$ -于是 -$$ -A = B(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & -3 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -0 & 0 & 2 -\end{bmatrix} -\begin{bmatrix} -0 & \frac12 & 0 \\[2pt] --\frac13 & 0 & 0 \\[2pt] -0 & 0 & 1 -\end{bmatrix} -= \begin{bmatrix} -1 & \frac12 & 0 \\[2pt] --\frac13 & 1 & 0 \\[2pt] -0 & 0 & 2 -\end{bmatrix}. -$$ -$$\text{……12 分}$$ - ---- - -17. 设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有两个解向量，求Ax=0的通解。 - ---- - -解析： -因为n=4，$n-\text{rank}A=2$，所以$\text{rank}A=2$。 -对A施行初等行变换，得 -$$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\0&t-2&-1&-1\end{bmatrix}$$ - -$$\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\0&0&-(1-t)^2&-(1-t)^2\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&0&1-2t&2-2t\\0&1&t&t\\0&0&-(1-t)^2&-(1-t)^2\end{bmatrix}$$ - - -要使$\text{rank}A=2$，则必有t=1。 -此时，与Ax=0同解的方程组为$\begin{cases}x_1=x_3\\x_2=-x_3-x_4\end{cases}$，得基础解系为 -$$\boldsymbol{\xi}_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\end{bmatrix},\ \boldsymbol{\xi}_2=\begin{bmatrix}0\\-1\\0\\1\end{bmatrix}$$ -方程组的通解为$$\boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2，（k_1,k_2为任意常数）$$ \ No newline at end of file + （4）若矩阵$B = \begin{bmatrix}1 & -3 & 0 \\2 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$，求矩阵 $A$。 +17. （12 分）设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系中含有两个解向量，求 $Ax=0$ 的通解。 \ No newline at end of file