From 0398deb6fa5240df1a0f3bb14bc6c25bf3b9d53e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Fri, 23 Jan 2026 12:50:24 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2026-01-23 12:50:24 --- 笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md | 2 ++ 素材/整合素材/线代素材/正交及二次型.md | 8 ++++---- 2 files changed, 6 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md b/笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md index c05450f..56ffae9 100644 --- a/笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md +++ b/笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md @@ -26,3 +26,5 @@ $\displaystyle\int_1^5f(x)\text{d}x$ 积分符号的上下记号，用limits套： $\displaystyle\int\limits_{L}(x+y)\mathrm{d}s$ + +下划线输入可以这样 $\underline{\qquad}$. \ No newline at end of file diff --git a/素材/整合素材/线代素材/正交及二次型.md b/素材/整合素材/线代素材/正交及二次型.md index 66d8115..d7a66b8 100644 --- a/素材/整合素材/线代素材/正交及二次型.md +++ b/素材/整合素材/线代素材/正交及二次型.md @@ -329,10 +329,10 @@ $$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfra ##### 正定性 -通常而言，我们目前能接触到的正定性相关题目需要从正定性的定义出发 +通常而言，我们目前能接触到的正定性相关题目需要从正定性的定义出发。 正定/负定的定义及相关的反映 -对于对称矩阵 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$： +对于实对称矩阵 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$： | 正定性 | 定义 | 二次型 | 特征值（惯性） | | :-: | :---------------------------------------------------------------------------------: | :----: | :-----: | @@ -341,8 +341,8 @@ $$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfra | 半负定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, x^\mathrm TAx\le0$ | 恒小于等于零 | 全非正 | | 负定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, x^\mathrm TAx<0$ | 恒小于零 | 全负 | | 不定 | 上述都不满足 | 不定 | 有正有负 | -在正定性的判别中，还有顺序主子式判别法.....%%TODO: COMPLETE THIS%% - +在正定性的判别中，还有顺序主子式判别法。所谓顺序主子式，可以认为就是矩阵左上角的若干元素按照原来顺序排成的行列式。比如 $A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}$，它的各阶顺序主子式就是 $$\Delta_1=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix},\quad\Delta_2=\begin{vmatrix}1&2\\5&6\end{vmatrix},\quad\Delta_3=\begin{vmatrix}1&2&3\\5&6&7\\9&10&11\end{vmatrix},\quad\Delta_4=\begin{vmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{vmatrix}.$$ +一个实对称矩阵，如果它的所有顺序主子式都大于零，那么它就是正定的。 >[!example] 例题 >证明：已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol A$ 的特征值全大于 $0$, $\boldsymbol B$ 为 $n$ 半正定矩阵，则对任意 $k>0,l\ge0$，$k\boldsymbol A+l\boldsymbol B$ 正定.