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编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md

@@ -112,8 +112,8 @@ $$
 $$
 F(x) = \text{e}^{-x^2} f(x)
 $$
-则 $F(0) = 0$，$F(1) = \text{e}^{-1}$。  
-需进一步寻找另一个点 $c$ 使 $F(c)=0$，才可应用罗尔定理。通常需结合题目其他条件（如积分中值定理、零点定理等）找出该点。
+则 $F(0) = 0$，$F(1) = 0$。  
+于是由罗尔定理，存在$\xi\in(0,1)$，$F'(\xi)=0\Rightarrow f'(\xi)=2f(\xi)$.
 
 ---
 
@@ -157,7 +157,7 @@ $$
 ## **罗尔定理**
 
 ### **原理**
-若函数 f(x) 满足以下三个条件：
+若函数 $f(x)$ 满足以下三个条件：
 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
 区间端点函数值相等，即 $f(a)=f(b)$；
@@ -201,17 +201,6 @@ $$f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，$$
 由导数极限定理及 $f'_+(a)f'_-(b) > 0$，知在 $a$ 右侧和 $b$ 左侧，$f(x)$ 的符号相同，不妨设 $f'_+(a)>0$，$f'_-(b)>0$，则在 $a$ 右侧附近 $f(x)>0$，在 $b$ 左侧附近 $f(x)>0$。
 由于 $f(a)=f(b)=0$，由极值点的费马定理，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个极大值点，该点处导数为零。又因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，由罗尔定理至少存在一点 $c \in (a,b)$ 使 $f'(c)=0$。结合极大值点处的导数零点，可知至少有两个导数为零的点。
 
-
->[!example] 例3
-设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足
-$$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明：  
-(1)至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$；  
-(2)若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。
-
-**解析**：
-(1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。由极值点的费马定理及罗尔定理，$g(x)$ 在 $(0,1)$ 内存在极大值点 $\eta$，且 $g'(\eta)=0$，$g''(\eta) \leq 0$。即 $f'(\eta)=2\eta$，$f''(\eta) \leq 2$。若 $f''(\eta) < 2$，则取 $\xi=\eta$ 即可；若 $f''(\eta)=2$，则考虑在 $\eta$ 两侧应用拉格朗日中值定理，可找到另一个点 $\xi$ 使得 $f''(\xi)<2$。  
-(2) 用反证法。假设存在 $x_0 \in (0,1)$ 使 $f(x_0) \leq x_0^2$，结合 $f(0)=0$，$f(1)=1$ 和 $f(1/2)>1/4$，利用连续性及中值定理可推出存在 $\xi$ 使 $f''(\xi)=2$，矛盾。
-
 ## **拉格朗日中值定理**
 ### **原理**
 若函数 f(x) 满足两个条件: