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@ -2,6 +2,68 @@
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- 编写小组
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(课前测)
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设$\{x_n\}$是数列，下列命题中不正确的是( )
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A. 若$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$，则$\lim\limits_{n \to \infty} x_{2n} = \lim\limits_{n \to \infty} x_{2n+1} = a$
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B. 若$\lim\limits_{n \to \infty} x_{2n} = \lim\limits_{n \to \infty} x_{2n+1} = a$，则$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$
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C. 若$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$，则$\lim\limits_{n \to \infty} x_{3n} = \lim\limits_{n \to \infty} x_{3n+1} = a$
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D. 若$\lim\limits_{n \to \infty} x_{3n} = \lim\limits_{n \to \infty} x_{3n+1} = a$，则$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$
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>[!example] **例1**（拉链定理）
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>设级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{2n-1}+a_{2n})$收敛于S，且$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=0$，证明：级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛于S。
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**解析**
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设$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$的部分和为$S_n$，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{2n-1}+a_{2n})$的部分和$T_n=S_{2n}$。
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因$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{2n-1}+a_{2n})$收敛于S，即有$\lim\limits_{n \to \infty}T_n=S$，所以$\lim\limits_{n \to \infty}S_{2n}=S$。
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又
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$$\lim\limits_{n \to \infty}S_{2n+1}=\lim\limits_{n \to \infty}(S_{2n}+a_{2n+1})=\lim\limits_{n \to \infty}S_{2n}+\lim\limits_{n \to \infty}a_{2n+1}=S$$
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于是由拉链原理知$\lim\limits_{n \to \infty}S_n=S$，所以由级数收敛定义知级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛于S。
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>[!example] **例2**（拉链定理）
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>设$$a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \cdot \sin\frac{n\pi}{2}$$
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>证明：数列$\{a_n\}$的极限不存在。
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>
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**解析**
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核心方法
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利用数列子列的性质：若数列$\{a_n\}$收敛，则其所有子列必收敛于同一极限；若存在两个子列收敛于不同值，则原数列极限不存在。
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步骤1：构造第一个子列$\{a_{4k}\}（k\in\mathbb{N_+}$
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当n=4k时，
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$$\sin\frac{4k\pi}{2} = \sin2k\pi = 0$$ 因此
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$$a_{4k} = \left(1 + \frac{1}{4k}\right) \cdot 0 = 0$$
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取极限得：
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$$\lim_{k \to \infty}a_{4k} = \lim_{k \to \infty}0 = 0$$
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步骤2：构造第二个子列$$\{a_{4k+1}\}（k\in\mathbb{N_+}）$$
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当n=4k+1时，
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$$\sin\frac{(4k+1)\pi}{2} = \sin\left(2k\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1$$
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因此
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$$a_{4k+1} = \left(1 + \frac{1}{4k+1}\right) \cdot 1 = 1 + \frac{1}{4k+1}$$
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取极限得：
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$$\lim_{k \to \infty}a_{4k+1} = \lim_{k \to \infty}\left(1 + \frac{1}{4k+1}\right) = 1$$
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步骤3：结论
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由于子列$\{a_{4k}\}$收敛于0，子列$\{a_{4k+1}\}$收敛于1，二者极限不相等，故数列$\{a_n\}$的极限不存在。
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>[!example] **例3**（海涅定理）
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> 证明狄利克雷函数
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$$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数时}\end{cases}$$
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在$(-\infty,+\infty)$上每一点都不存在极限。
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**解析**
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1. 构造第一个数列$\{x_n^{(1)}\}$：
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取$x_n^{(1)} = x_0 + \frac{1}{n}$（有理数），则$$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(1)} = x_0$$由于$x_n^{(1)}$是有理数，所以$D(x_n^{(1)}) = 1$，因此$$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1$$
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2. 构造第二个数列$\{x_n^{(2)}\}$：
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取$x_n^{(2)} = x_0 + \frac{\sqrt{2}}{n}$（无理数），则$$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(2)} = x_0$$由于x_n^{(2)}是无理数，所以$D(x_n^{(2)}) = 0$，因此$$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)}) = 0$$由于$$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1 \neq 0 = \lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)})$$根据海涅定理，$\lim\limits_{x \to x_0} D(x)$不存在。
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由于$x_0$是任意一点，所以狄利克雷函数在任何点处都不存在极限。
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## Vol. 9: 反函数求导
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易错：变量混淆。反函数的导数 = 原函数导数的倒数，但**自变量和因变量角色互换**。
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