From eee4a072b348380869d03cfd2ba360193ab37c62 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= <wkn339224@qq.com>
Date: Mon, 29 Dec 2025 20:55:52 +0800
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E5=A2=9E=E5=8A=A0=E4=BA=86=E4=B8=80=E9=81=93?=
 =?UTF-8?q?=E9=A2=98?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md | 9 ++++++++-
 1 file changed, 8 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md
index 6b3f91d..c4f8714 100644
--- a/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md
+++ b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md
@@ -240,4 +240,11 @@ $$\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\0&0&-(1-t)^2&-(1-t)^2\end{bmatrix}\to\begi
 要使$\text{rank}A=2$，则必有t=1。
 此时，与Ax=0同解的方程组为$\begin{cases}x_1=x_3\\x_2=-x_3-x_4\end{cases}$，得基础解系为
 $$\boldsymbol{\xi}_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\end{bmatrix},\ \boldsymbol{\xi}_2=\begin{bmatrix}0\\-1\\0\\1\end{bmatrix}$$
-方程组的通解为$$\boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2，（k_1,k_2为任意常数）$$
\ No newline at end of file
+方程组的通解为$$\boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2，（k_1,k_2为任意常数）$$
+设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.
+(1)证明：方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解；
+(2)若方程组$Ax=\alpha$与方程组$Bx=\beta$不同解，求$a$的值.
+解析：
+(1)证明：$[A\ \ \alpha] \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & 0\end{bmatrix}$,于是$Ax=\alpha$的通解为$$x=k\begin{bmatrix}-1\\-2\\-1\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\end{bmatrix},$$把方程$Bx=\beta$还原成方程组得$$\begin{cases}x_1&+x_2&+x_3&+2x_4&=1\\x_1&-x_2&+ax_3&+(a-1)x_4&=1\\2x_1&-3x_2&+2x_3&-2x_4&=-1\end{cases}$$把$Ax=\alpha$的解带入上方程组，显然符合，故方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解.
+
+(2)方程组$Bx=\beta$与方程组$Ax=\alpha$不同解，而由上一题，方程组$Ax=\alpha$的解是$Bx=\beta$的解的真子集，于是$\dim N(A)<\dim N(B),r(A)=3>r(B),r(B)\le2$.对$B$进行初等行变换得$$B\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&1&2\\0&1&0&2\\0&0&a-1&a-1\end{bmatrix},$$于是$a=1$.