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@ -2,7 +2,7 @@
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>[!note] 定理1：
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>设$V$是在数域$\mathbb{P}$上的线性空间，$T$是线性空间$V$上的一个线性变换，若$V$上的一组基为$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,$$则$\forall\alpha\in V$,有$$T(\alpha)=[T(\alpha_1),T(\alpha_2),\cdots,T(\alpha_r)]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\cdots\\x_r\end{bmatrix}=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r]A\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\cdots\\x_r\end{bmatrix}$$其中$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\cdots\\x_r\end{bmatrix}$是$\alpha$在这组基下的坐标，方阵$A$称为$T$在这组基下的方阵.
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我们考虑较为熟悉的情形，不妨令$\mathbb{P}=\mathbb{R},V=\mathbb{R}^n$，那么我们就可以认为方阵$A$与一个从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^n$的线性映射相对应.自然可以想到：如果考虑线性映射$$\sigma:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$$我们是否也可以得到一个矩阵呢？而且我们会设想它是一个$m\times n$或者$n\times m$的矩阵.为使表述简单，我们取标准正交基$$\varepsilon_i=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^m,其中1在第i行.$$设$$\sigma(\varepsilon_i)=\mathcal{A}_i\in\mathbb{R}^n.$$取$\alpha\in\mathbb{R}^m$,设$\alpha=\begin{bmatrix}a_1 \\a_2\\ \vdots \\a_m\end{bmatrix}=a_1\varepsilon_1+a_2+\varepsilon_2+\cdots+a_m\epsilon_m$,则$$\sigma(\alpha)=\sigma(a_1\varepsilon_1+a_2\varepsilon_2+\cdots+a_m\varepsilon_m)=a_1\sigma(\varepsilon_1)+a_2\sigma(\varepsilon_2)+\cdots+a_m\sigma(\varepsilon_m)$$带入得$$\sigma(\alpha)=a_1\mathcal{A}_1+a_2\mathcal{A}_2+\cdots+a_m\mathcal{A}_m=\begin{bmatrix}\mathcal{A}_1\ \mathcal{A}_2\ \cdots\ \mathcal{A}_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}$$也就是说，对$\alpha$作用$\sigma$等价于对$\alpha$的坐标左乘一个$n$行$m$列的矩阵$$A=\begin{bmatrix}\mathcal{A}_1\ \mathcal{A}_2\ \cdots\ \mathcal{A}_m\end{bmatrix},$$也就是说，一个线性映射对应一个矩阵.反过来，一个矩阵能否对应一个从$\mathbb{R}^m$到$\mathbb{R}^n$的线性映射呢？
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我们考虑较为熟悉的情形，不妨令$\mathbb{P}=\mathbb{R},V=\mathbb{R}^n$，那么我们就可以认为方阵$A$与一个从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^n$的线性映射相对应.自然可以想到：如果考虑线性映射$$\sigma:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$$我们是否也可以得到一个矩阵呢？而且我们会设想它是一个$m\times n$或者$n\times m$的矩阵.为使表述简单，我们取标准正交基$$\varepsilon_i=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^m,其中1在第i行.$$设$$\sigma(\varepsilon_i)=\mathcal{A}_i\in\mathbb{R}^n.$$取$\alpha\in\mathbb{R}^m$,设$\alpha=\begin{bmatrix}a_1 \\a_2\\ \vdots \\a_m\end{bmatrix}=a_1\varepsilon_1+a_2\varepsilon_2+\cdots+a_m\varepsilon_m$,则$$\sigma(\alpha)=\sigma(a_1\varepsilon_1+a_2\varepsilon_2+\cdots+a_m\varepsilon_m)=a_1\sigma(\varepsilon_1)+a_2\sigma(\varepsilon_2)+\cdots+a_m\sigma(\varepsilon_m)$$带入得$$\sigma(\alpha)=a_1\mathcal{A}_1+a_2\mathcal{A}_2+\cdots+a_m\mathcal{A}_m=\begin{bmatrix}\mathcal{A}_1\ \mathcal{A}_2\ \cdots\ \mathcal{A}_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}$$也就是说，对$\alpha$作用$\sigma$等价于对$\alpha$的坐标左乘一个$n$行$m$列的矩阵$$A=\begin{bmatrix}\mathcal{A}_1\ \mathcal{A}_2\ \cdots\ \mathcal{A}_m\end{bmatrix},$$也就是说，一个线性映射对应一个矩阵.反过来，一个矩阵能否对应一个从$\mathbb{R}^m$到$\mathbb{R}^n$的线性映射呢？
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取$A\in\mathbb{R}^{n\times m}$,设$A=[\mathcal{A}_1\ \mathcal{A}_2\ \cdots\ \mathcal{A}_m\ ]$,取线性映射$\sigma:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$，满足$$\sigma(\varepsilon_i)=\mathcal{A_i}$$于是若$\alpha=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^m$,有$$\begin{aligned}\sigma(\alpha)&=\sigma(a_1\varepsilon_1+a_2\varepsilon_2+\cdots+a_m\varepsilon_m)\\&=a_1\sigma(\varepsilon_1)+a_2\sigma(\varepsilon_2)+\cdots+a_m\sigma(\varepsilon_m)\\&=a_1\mathcal{A}_1+a_2\mathcal{A}_2+\cdots+a_m\mathcal{A}_m\\&=A\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}\\&=A\alpha\end{aligned}$$于是一个矩阵也对应一个线性映射.从而有如下定理：
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>[!note] 定理2：
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>从$\mathbb{R}^m$到$\mathbb{R}^n$的线性映射全体与$\mathbb{R}^{n\times m}$中的矩阵一一对应.
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