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特征值.md

@@ -1,17 +1,15 @@
-# 第四章 方阵的相似化问题
+## 第四章 方阵的相似化问题
 
-## 4.1 特征值与特征向量
+### 4.1 特征值与特征向量
 
-### 4.1.1 基本概念与求法
+#### 4.1.1 基本概念与求法
 
-**定义 4.1**  
+>[!note] **定义 4.1**  
 设 $n$ 阶方阵 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{C}^{n \times n}$，若存在数 $\lambda$ 和非零向量 $\xi$ 使得
-$$
-A\xi = \lambda \xi,
-$$
+$$A\xi = \lambda \xi,$$
 则称 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个**特征值**，$\xi$ 是矩阵 $A$ 对应于 $\lambda$ 的一个**特征向量**。
 
-#### 特征值与特征向量的求法
+##### 特征值与特征向量的求法
 
 由定义可得：
 $$
@@ -41,26 +39,23 @@ $$
 
 #### 特征多项式与特征方程
 
-**定义 4.2**  
+>[!note] **定义 4.2**  
 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 是一个变量，则矩阵 $\lambda E - A$ 称为 $A$ 的**特征矩阵**，其行列式
-$$
-f_A(\lambda) = |\lambda E - A|
-$$
+$$f_A(\lambda) = |\lambda E - A|$$
 称为 $A$ 的**特征多项式**，方程 $|\lambda E - A| = 0$ 称为 $A$ 的**特征方程**。
 
 特征方程的根就是矩阵 $A$ 的特征值。
 
 ---
 
-### 4.1.2 特征值与特征向量的性质
+#### 4.1.2 特征值与特征向量的性质
 
-#### 特征值的积与和
+##### 特征值的积与和
 
-**定理 4.1**  
+>[!note] **定理 4.1**  
 设 $n$ 阶方阵 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 的 $n$ 个特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（重根按重数计算），则：
-
-1. $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |A|$（特征值的积等于矩阵的行列式）；
-2. $\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$（特征值的和等于矩阵的迹）。
+1.$\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |A|$（特征值的积等于矩阵的行列式）；
+2.$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$（特征值的和等于矩阵的迹）。
 
 **证明**  
 设特征多项式为 $f_A(\lambda) = |\lambda E - A|$。  
@@ -80,53 +75,35 @@ $$
 \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}.
 $$
 
-**推论**  
+>[!note] **推论**  
 方阵 $A$ 可逆的充要条件是 $A$ 的所有特征值均不为零。
 
 #### 迹、代数重数与几何重数
 
-**定义 4.3（迹）**  
+>[!note] **定义 4.3（迹）**  
 设 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{C}^{n \times n}$，则称 $a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$ 为 $A$ 的**迹**，记作 $\operatorname{tr}(A)$。由定理 4.1 知，$\operatorname{tr}(A)$ 等于 $A$ 的所有特征值之和。
 
-**定义 4.4（代数重数）**  
-设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其特征多项式可分解为
-$$
-|\lambda E - A| = (\lambda - \lambda_1)^{r_1} (\lambda - \lambda_2)^{r_2} \cdots (\lambda - \lambda_s)^{r_s},
-$$
+>[!note] **定义 4.4（代数重数）**  
+设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其特征多项式可分解为$$|\lambda E - A| = (\lambda - \lambda_1)^{r_1} (\lambda - \lambda_2)^{r_2} \cdots (\lambda - \lambda_s)^{r_s},$$
 其中 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s$ 是互不相同的特征值，且 $r_1 + r_2 + \cdots + r_s = n$。则称 $r_i$ 为特征值 $\lambda_i$ 的**代数重数**。
 
-**定义 4.5（几何重数）**  
-设 $\lambda_i$ 是方阵 $A$ 的特征值，则称特征子空间
-$$
-V_{\lambda_i} = \{ x \mid (A - \lambda_i E) x = 0 \}
-$$
+>[!note] **定义 4.5（几何重数）**  
+设 $\lambda_i$ 是方阵 $A$ 的特征值，则称特征子空间$$V_{\lambda_i} = \{ x \mid (A - \lambda_i E) x = 0 \}$$
 的维数 $\dim V_{\lambda_i}$ 为 $\lambda_i$ 的**几何重数**，即齐次线性方程组 $(A - \lambda_i E)x = 0$ 的基础解系所含向量的个数。
 
-**定理 4.2（几何重数不超过代数重数）**  
-设 $\lambda_k$ 是方阵 $A$ 的特征值，其代数重数为 $r_k$，几何重数为 $d_k$，则
-$$
-d_k \leq r_k, \quad k = 1, 2, \dots, s.
-$$
+>[!note] **定理 4.2（几何重数不超过代数重数）**  
+设 $\lambda_k$ 是方阵 $A$ 的特征值，其代数重数为 $r_k$，几何重数为 $d_k$，则$$d_k \leq r_k, \quad k = 1, 2, \dots, s.$$
 即属于特征值 $\lambda_k$ 的线性无关的特征向量的个数不超过其代数重数。
 
 
 
 #### 特征值与矩阵运算的关系
 
-**例 4.5**  
+>[!example] **例 4.5**  
 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，$\xi$ 是对应的特征向量（即 $A\xi = \lambda\xi$，$\xi \neq 0$）。则：
-
-1. 对于任意常数 $k$，$k\lambda$ 是矩阵 $kA$ 的特征值，且 $\xi$ 仍是 $kA$ 对应于 $k\lambda$ 的特征向量。
-2. 对于任意正整数 $l$（$l \geq 1$），$\lambda^l$ 是矩阵 $A^l$ 的特征值，且 $\xi$ 仍是 $A^l$ 对应于 $\lambda^l$ 的特征向量。
-3. 对于矩阵多项式
-   $$
-   g(A) = a_k A^k + a_{k-1} A^{k-1} + \cdots + a_1 A + a_0 E,
-   $$
-   数
-   $$
-   g(\lambda) = a_k \lambda^k + a_{k-1} \lambda^{k-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0
-   $$
-   是矩阵 $g(A)$ 的特征值，且 $\xi$ 仍是 $g(A)$ 对应于 $g(\lambda)$ 的特征向量。
+1.对于任意常数 $k$，$k\lambda$ 是矩阵 $kA$ 的特征值，且 $\xi$ 仍是 $kA$ 对应于 $k\lambda$ 的特征向量。
+2.对于任意正整数 $l$（$l \geq 1$），$\lambda^l$ 是矩阵 $A^l$ 的特征值，且 $\xi$ 仍是 $A^l$ 对应于 $\lambda^l$ 的特征向量。
+3.对于矩阵多项式$$g(A) = a_k A^k + a_{k-1} A^{k-1} + \cdots + a_1 A + a_0 E,$$和数$$g(\lambda) = a_k \lambda^k + a_{k-1} \lambda^{k-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0$$是矩阵 $g(A)$ 的特征值，且 $\xi$ 仍是 $g(A)$ 对应于 $g(\lambda)$ 的特征向量。
 
 **证明**  
 1. 由 $A\xi = \lambda\xi$，两边乘以 $k$ 得 $(kA)\xi = (k\lambda)\xi$，故结论成立。  
@@ -149,7 +126,7 @@ $$
 
 #### 不同特征值的特征向量线性无关
 
-**定理 4.3**  
+>[!note] **定理 4.3**  
 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s$ 是 $A$ 的 $s$ 个互不相同的特征值，$\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 分别是与之对应的特征向量（即 $A\xi_i = \lambda_i \xi_i,\ i=1,2,\dots,s$），则向量组 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_s$ 线性无关。
 
 **证明（数学归纳法）**  
@@ -182,10 +159,9 @@ $$
 
 ### 4.1.3 示例
 
-#### 例 4.3 求矩阵 $B$ 的特征值与特征向量
-
-设
-$$
+>[!example] 例 4.3 
+>求矩阵 $B$ 的特征值与特征向量
+其中$$
 B = \begin{bmatrix}
 -3 & 1 & -1 \\
 -7 & 5 & -1 \\
@@ -219,7 +195,7 @@ $$
 \lambda_1 = 4,\quad \lambda_2 = \lambda_3 = -2.
 $$
 
-**对于 $\lambda_1 = 4$**，解方程组 $(4E - B)x = 0$：
+对于 $\lambda_1 = 4$，解方程组 $(4E - B)x = 0$：
 $$
 4E - B = \begin{bmatrix}
 7 & -1 & 1 \\
@@ -239,7 +215,7 @@ $$
 $$
 因此对应于 $\lambda_1 = 4$ 的全部特征向量为 $k_1\xi_1$（$k_1 \neq 0$）。
 
-**对于 $\lambda_2 = \lambda_3 = -2$**，解方程组 $(-2E - B)x = 0$：
+对于 $\lambda_2 = \lambda_3 = -2$，解方程组 $(-2E - B)x = 0$：
 $$
 -2E - B = \begin{bmatrix}
 1 & -1 & 1 \\
@@ -268,11 +244,10 @@ $$
 
 ---
 
-### 例 4.4（幂等矩阵的特征值）
-
+>[!example] 例 4.4（幂等矩阵的特征值）
 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且满足 $A^2 = A$（即 $A$ 是幂等矩阵）。证明：$A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $1$。
 
-#### 证明
+**证明：**
 
 设 $\lambda$ 是 $A$ 的任意一个特征值，$\xi$ 是对应的特征向量（$\xi \neq 0$），则有  
 $$