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编写小组/讲义/单调有界准则与介值定理.md

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-## 单调有界准则
+# 单调有界准则
 
-### 原理
+## 原理
 
 - **单调有界数列必收敛**：
   1. 若数列 $\{a_n\}$ 单调递增且有上界 $M$，则 $\{a_n\}$ 收敛，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \sup\{a_n\} \leq M$。
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 - **函数单调有界性质**：
   若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且有界，则 $f(x)$ 在 $I$ 的端点或无穷远处存在单侧极限。
 
-### 适用情况
+## 适用情况
 
 适用于证明数列或函数极限的存在性，尤其是：
 
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 - 函数在某区间上的极限存在性；
 - 某些无法直接求极限但可判断单调性和有界性的情形。
 
-### 优势
+## 优势
 
 1. 不依赖于极限的具体值，只需判断单调性和有界性；
 2. 适用于很多递推定义的数列；
 3. 证明过程结构清晰，易于理解和操作。
 
-### 劣势
+## 劣势
 
 1. 只能证明极限存在，不能直接给出极限值（需另解方程）；
 2. 判断单调性和有界性有时需要一定的技巧；
 3. 对于非单调或没有明显界的序列不适用。
 
-### 例子
+## 例子
 
 > [!example] 例1  
 > 证明数列 $a_1 = \sqrt{2}, a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ 收敛，并求其极限。
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 2. **有界性**：显然 $0 < a_n \leq \frac{1}{2}$。  
 3. **由单调有界准则**，数列收敛。  
 4. **极限**：$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1} = 0$。## 介值定理
-### 介值定理
-### 原理
+# 介值定理
+## 原理
 
 - **介值定理（Intermediate Value Theorem, IVT）**：
   若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a) \neq f(b)$，则对于任意介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的实数 $C$，至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi) = C$。
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 - **零点定理（特殊情形）**：
   若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi) = 0$。
 
-### 适用情况
+## 适用情况
 
 适用于连续函数在区间上的值域问题，尤其是：
 
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 - 证明函数可取到某个中间值；
 - 确定函数值域或解的存在性。
 
-### 优势
+## 优势
 
 1. 不需求解方程，只需验证连续性和端点函数值；
 2. 可用于证明解的存在性，构造性证明中常用；
 3. 定理直观，易于理解和应用。
 
-### 劣势
+## 劣势
 
 1. 只能证明存在性，不能确定解的个数或具体位置；
 2. 要求函数在闭区间上连续，否则定理不适用；
 3. 对于非连续函数或开区间，需额外处理。
 
-### 例子
+## 例子
 
 > [!example] 例1  
 > 证明方程 $x^3 - 3x + 1 = 0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少有一个实根。