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编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.10线代限时练.md

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+一、填空题
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+二、解答题
+7. 计算$n$阶行列式 $D_n=\begin{vmatrix}2+a_1^2 & a_1a_2 & \cdots&a_1a_n \\ a_2a_1& 2+a_2^2 & \cdots & a_2a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_na_1&a_na_2&\cdots& 2+a_n^2\end{vmatrix}$.
+8. 已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解.
+9. 设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明：
+	(1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ .
+	(2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解.