|
|
|
|
@ -334,15 +334,16 @@ $$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfra
|
|
|
|
|
正定/负定的定义及相关的反映
|
|
|
|
|
对于实对称矩阵 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 正定性 | 定义 | 二次型 | 特征值（惯性） |
|
|
|
|
|
| :-: | :---------------------------------------------------------------------------------: | :----: | :-----: |
|
|
|
|
|
| 正定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, x^\mathrm TAx>0$ | 恒大于零 | 全正 |
|
|
|
|
|
| 半正定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, x^\mathrm TAx\ge0$ | 恒大于等于零 | 全非负 |
|
|
|
|
|
| 半负定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, x^\mathrm TAx\le0$ | 恒小于等于零 | 全非正 |
|
|
|
|
|
| 负定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, x^\mathrm TAx<0$ | 恒小于零 | 全负 |
|
|
|
|
|
| 不定 | 上述都不满足 | 不定 | 有正有负 |
|
|
|
|
|
| 正定性 | 定义 | 二次型 | 特征值（惯性） |
|
|
|
|
|
| :-: | :---------------------------------------------------------------------------------------------------------: | :----: | :-----: |
|
|
|
|
|
| 正定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, \boldsymbol x^\mathrm TA\boldsymbol x>0$ | 恒大于零 | 全正 |
|
|
|
|
|
| 半正定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, \boldsymbol x^\mathrm TA\boldsymbol x\ge0$ | 恒大于等于零 | 全非负 |
|
|
|
|
|
| 半负定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, \boldsymbol x^\mathrm TA\boldsymbol x\le0$ | 恒小于等于零 | 全非正 |
|
|
|
|
|
| 负定 | $\forall\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\backslash\{\boldsymbol 0\}, \boldsymbol x^\mathrm TA\boldsymbol x<0$ | 恒小于零 | 全负 |
|
|
|
|
|
| 不定 | 上述都不满足 | 不定 | 有正有负 |
|
|
|
|
|
在正定性的判别中，还有顺序主子式判别法。所谓顺序主子式，可以认为就是矩阵左上角的若干元素按照原来顺序排成的行列式。比如 $A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}$，它的各阶顺序主子式就是 $$\Delta_1=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix},\quad\Delta_2=\begin{vmatrix}1&2\\5&6\end{vmatrix},\quad\Delta_3=\begin{vmatrix}1&2&3\\5&6&7\\9&10&11\end{vmatrix},\quad\Delta_4=\begin{vmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{vmatrix}.$$
|
|
|
|
|
一个<span style='color:orange'>实对称矩阵</span>，如果它的<span style='color:orange'>所有</span>顺序主子式都大于零，那么它就是正定的。
|
|
|
|
|
那么，怎么去理解这个方法？我们先来考虑一下行列式大于零的意义。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>[!example] 例题
|
|
|
|
|
>证明：已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol A$ 的特征值全大于 $0$, $\boldsymbol B$ 为 $n$ 半正定矩阵，则对任意 $k>0,l\ge0$，$k\boldsymbol A+l\boldsymbol B$ 正定.
|
|
|
|
|
|
