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素材/谏学高数者十思疏.md

@@ -9,7 +9,7 @@
 在进行复合函数求导时，分层求导一定要彻底，不能漏掉某一层：
 $f(g(h(x)))=f'(g(h(x)))·g'(h(x))·h'(x)$
 ##### 惧积分，则思不定以加C
->[!error] 考试必考点！补药漏写常数 C 口牙！
+>[!error] 考试必考点！补药漏写积分常数 C 口牙！
 ##### 乐微分，则思dx而莫忘；
 >[!error] 考试必考点！补药漏写微分算子 dx 口牙！
 ##### 忧定积，则思牛莱而相减；

编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）（解析版）.md

@@ -19,7 +19,7 @@ aliases:
 
 言归正传，接下来是定积分的定义。
 >[!info] 定义$\qquad$定积分
->设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，取一列数 $x_i(i=0,1,\cdots,n)$，满足 $a=x_0\lt x_1\lt x_2 \lt \cdots\lt x_n=b$，记 $\lambda=\min\limits_{0\leqslant i\lt n}(x_{i+1}-x_i),$ 如果对任意$\xi_i\in[x_i,x_{i+1}],0\leqslant i\lt n$，极限 $\displaystyle\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)$ 存在，则称函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，记为$$\int_a^bf(x)\text dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i),$$
+>设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，取一列数 $x_i(i=0,1,\cdots,n)$，满足 $a=x_0\lt x_1\lt x_2 \lt \cdots\lt x_n=b$，记 $\lambda=\max\limits_{0\leqslant i\lt n}\{x_{i+1}-x_i\},$ 如果对任意$\xi_i\in[x_i,x_{i+1}],0\leqslant i\lt n$，极限 $\displaystyle\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)$ 存在，则称函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，记为$$\int_a^bf(x)\text dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i),$$
 >其结果称为定积分。
 <br>
 
@@ -75,7 +75,7 @@ $\displaystyle\frac{M(x)}{N(x)}=S(x)+\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $S(x)$ 为整
 
 接下来就能用待定系数法求出那些待定的系数 $A,B,M,N$ 等等。一般来说，这个过程不会太复杂，大可不必拿出考完的线代。下面这个都还算是难的。
 
->[!summary] 任务
+>[!task] 任务
 >尝试用待定系数法推出 $\displaystyle\frac{1}{(1+2x)(1+x^2)} = \frac{1}{5}\left(\frac{4}{1+2x}+\frac{-2x+1}{1+x^2}\right)$
 
 >[!solution] 解析
@@ -92,11 +92,11 @@ $\displaystyle\frac{M(x)}{N(x)}=S(x)+\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $S(x)$ 为整
 也不是一定要给它拆成这种细碎的样子，因题目而异。如果不拆分有更快的做法，那就没必要拆。
 ### 对根式：欧拉代换（可选）
 >[!danger] 警告
->欧拉代换法是你最后的防线，而非你的第一个想法。
+>欧拉代换法是你<span class="danger">最后的防线</span>，而非你的第一个想法。
 >当普通的代换能解决问题，如 $\sqrt{x^2+2x+2}=\sqrt{(x+1)^2+1}$，那么最好不用欧拉代换法。
 >如果实在想不出来怎么做，可以用欧拉替代法硬算，将其作为最后的手段。
 
-对于不定积分 $\int R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)dx \quad (a\neq0)$，可以从如下角度作代换：
+对于不定积分 $\displaystyle\int R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)dx \quad (a\neq0)$，可以从如下角度作代换：
 - 欧拉第一代换：如果 $a>0$，令 $\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x$，或令 $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+t$。
 - 欧拉第二代换：如果 $c>0$，令 $\sqrt{ax^2+bx+c}=tx-\sqrt{c}$，或令 $\sqrt{ax^2+bx+c}=tx+\sqrt{c}$。
 - 欧拉第三代换：如果 $ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$，则可以令 $\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-\alpha)$
@@ -111,7 +111,7 @@ $\displaystyle\frac{M(x)}{N(x)}=S(x)+\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $S(x)$ 为整
 >之后可以按照有理式的方法继续积分下去。
 ### 对奇数次三角函数：万能代换
 >[!danger] 警告
->万能代换法同样是你最后的防线，计算量很大，只有在万不得已的时候才会考虑。
+>万能代换法同样是你<span class="danger">最后的防线</span>，计算量很大，只有在万不得已的时候才会考虑。
 
 对于由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数，即三角函数有理式的积分，我们常常利用到三角函数中的万能代换：$$t=\tan\frac x2$$
 我们做题中，令  $\displaystyle t = \tan \frac{x}{2}$ ，则 $\displaystyle\mathrm dx = \frac{2}{1 + t^2}\mathrm dt$。
@@ -120,10 +120,10 @@ $\displaystyle\frac{M(x)}{N(x)}=S(x)+\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $S(x)$ 为整
 常见特征：被积函数有三角函数、 $x^2\pm a^2$ 等元素
 使用换元积分法非常考验你对被积函数的敏感程度，也就是“题感”，方法本身是特别容易理解的，因此我们必须熟练记忆一些初等函数求导公式以及额外补充的一些推出来的求导公式。
 >[!todo] 开胃菜
->求不定积分 $\int\cos^2x\sin x\mathrm dx$.
+>求不定积分 $\displaystyle\int\cos^2x\sin x\mathrm dx$.
 >>解：令 $u=\cos x$；两边求微：$\mathrm du=-\sin x\mathrm dx$，
->>$\int\cos^2x\sin x\mathrm dx=-\int u^2\mathrm du=-\dfrac{u^3}{3}+C=-\dfrac{\cos^3 x}{3}+C$
->>如果你对整个过程很熟练，可以写成 $\int\cos^2x\sin x\mathrm dx=\int\cos^2x\mathrm d(\cos x)=-\dfrac{\cos^3 x}{3}+C$
+>>$\displaystyle\int\cos^2x\sin x\mathrm dx=-\int u^2\mathrm du=-\dfrac{u^3}{3}+C=-\dfrac{\cos^3 x}{3}+C$
+>>如果你对整个过程很熟练，可以写成 $\displaystyle\int\cos^2x\sin x\mathrm dx=\int\cos^2x\mathrm d(\cos x)=-\dfrac{\cos^3 x}{3}+C$
 
 除此之外还有第二类换元法
 
@@ -132,7 +132,7 @@ $\displaystyle\frac{M(x)}{N(x)}=S(x)+\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $S(x)$ 为整
 换元法有下列几种情况：
 #### 1. 三角函数式
 >[!example] 例2.1
->求不定积分 $\int \sin^2 x \cos^5 x\mathrm dx$.
+>求不定积分 $\displaystyle\int \sin^2 x \cos^5 x\mathrm dx$.
 
 >[!tip] 提示
 >利用 $\cos x$ 来凑微分而不是 $\sin x$，这样你就能得到偶数次方的三角函数——如果最后剩下奇数次方的 $\sin x,\cos x$，那么可能还要多花一点心思去做换元或用别的技巧，但是偶数次方的可操作性强很多，你可以用 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 来升降次，用诸如 $\cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$ 来换角，比奇数次更加便捷。
@@ -264,7 +264,7 @@ a_n &= \int_0^1 x (1-x)^n\mathrm dx = \int_0^1 (1-t) t^n\mathrm dt \\
 >求不定积分 $\displaystyle\int\mathrm e^{\sqrt{x}}\mathrm dx$
 
 >[!solution] 解析
->我们可以提前代换变量，将根式消去。
+>我们可以先代换变量，将根式消去。
 >令 $t=\sqrt{x}$，则 $t^2=x,\ 2t\mathrm dt=\mathrm dx$，这样就能将根式化为整式。
 >$\begin{align}\text{原式}&=2\int t\mathrm e^t\mathrm dt\\&=2\int t\mathrm d\mathrm e^t\\&=2t\mathrm e^t-2\int\mathrm e^t\mathrm dt\\&=2t\mathrm e^t-2\mathrm e^t+C\\&=2\mathrm e^\sqrt x(\sqrt x-1)+C\end{align}$
 
@@ -283,6 +283,9 @@ a_n &= \int_0^1 x (1-x)^n\mathrm dx = \int_0^1 (1-t) t^n\mathrm dt \\
 >&=x \tan x + \ln |\cos x| - \dfrac{x^2}{2} + C
 >\end{aligned}$$
 
+>[!summary] 注意
+>三角函数的积分一定不是考你积分，而是考你三角函数……
+
 <br>
 然而，不少积分不能直接积出来。对于部分情况，需要用到**循环式**和**递推式**求解。
 
@@ -317,7 +320,7 @@ a_n &= \int_0^1 x (1-x)^n\mathrm dx = \int_0^1 (1-t) t^n\mathrm dt \\
 
 >[!tip] 小技巧
 >如何通过 $u$ 算出 $\sin x$ 和 $\cos x$？只要画一个三角形就看可以很直观地看出来了。
-><img src="三角形.png" width="200" height="200"/>
+><img style="margin: 0 auto; display:block;" src="三角形.png" width="200" height="200"/>
 
 %%上述在同济中亦有记载%%
 %%参考：[Math is Fun - Integration by Parts](https://www.mathsisfun.com/calculus/integration-by-parts.html)