From 45e33bf2143eb2eaa60a3cbaa0cfd6494273a511 Mon Sep 17 00:00:00 2001
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Date: Sun, 11 Jan 2026 17:28:18 +0800
Subject: [PATCH] vault backup: 2026-01-11 17:28:18

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 素材/线性方程组同解.md | 13 +++++++++++++
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 create mode 100644 素材/线性方程组同解.md

diff --git a/素材/线性方程组同解.md b/素材/线性方程组同解.md
new file mode 100644
index 0000000..dfc6600
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+++ b/素材/线性方程组同解.md
@@ -0,0 +1,13 @@
+## **$Ax=0$与$Bx=0$同解问题**：
+充要条件：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
+$Ax=\alpha$ 与$Bx=\beta$同解问题：
+充要条件：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} B &\beta\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix}$.
+如何理解（非严格证明，目的是便于理解）：
+首先，为了简化问题，我们只考虑齐次线性方程组同解问题，对于$Ax=0$与$Bx=0$，
+考虑这两个齐次线性方程组的解空间，分别记为$N(A)$,$N(B)$,这两个集合是完全相同的，
+可以得到$N(A)\subset N(B)$,以及$N(B)\subset N(A)$.
+$N(A)\subset N(B)$可以得到什么呢？
+说明$Ax=0$的解比较少，$Bx=0$的解比较多，一个方程组解多就说明他的方程限制相对宽松，解少则说明方程要求比较严格，换言之，$Bx=0$的每个方程是由$Ax=0$的方程线性表示的,同理$N(B)\subset N(A)$可以得到$Ax=0$的每个方程是由$Bx=0$的方程线性表示的，进而说明这两个系数矩阵的行向量能够互相线性表示，即行向量组等价.用秩的语言表示：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
+另一个角度：这两个矩阵化成最简行阶梯型，是相同的，进行化简的时候只用到行变换，故它们的行向量组等价.
+需要注意的是,这个条件是充要的.非常的好用.
+非齐次的时候同理.
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