From 2959befb1fd7f952547ad3f9a3f09cd97d8d640a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Elwood <3286545699@qq.com> Date: Mon, 29 Dec 2025 21:46:40 +0800 Subject: [PATCH 1/4] vault backup: 2025-12-29 21:46:40 --- ...231线性代数考试卷（解析版）.md | 64 +++++++++++++++++++ 1 file changed, 64 insertions(+) diff --git a/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md index 90a74a3..e476d63 100644 --- a/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md +++ b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md @@ -427,7 +427,71 @@ $$ --- +**【解】** +**(1)** +由 $AB = A + B$ 得 $(A - E)(B - E) = E$，因此 $A - E$ 可逆。 +$$\text{……3 分}$$ + +**(2)** +由 $(A - E)(B - E) = E$ 得 $(B - E)(A - E) = E$，因此 $AB = BA$。 +$$\text{……6 分}$$ + +**(3)** +由 $AB = A + B$ 得 $A = (A - E)B$，而 $A - E$ 可逆，故 +$$ +\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B). +$$ +$$\text{……9 分}$$ + +**(4)** +由 $AB = A + B$ 得 $A(B - E) = B$，而 $B - E$ 可逆，故 +$$ +A = B(B - E)^{-1}. +$$ +已知 +$$ +B = \begin{bmatrix} +1 & -3 & 0 \\ +2 & 1 & 0 \\ +0 & 0 & 2 +\end{bmatrix}, +$$ +则 +$$ +B - E = \begin{bmatrix} +0 & -3 & 0 \\ +2 & 0 & 0 \\ +0 & 0 & 1 +\end{bmatrix}. +$$ +求逆得 +$$ +(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix} +0 & \frac12 & 0 \\[2pt] +-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt] +0 & 0 & 1 +\end{bmatrix}. +$$ +于是 +$$ +A = B(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix} +1 & -3 & 0 \\ +2 & 1 & 0 \\ +0 & 0 & 2 +\end{bmatrix} +\begin{bmatrix} +0 & \frac12 & 0 \\[2pt] +-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt] +0 & 0 & 1 +\end{bmatrix} += \begin{bmatrix} +1 & \frac12 & 0 \\[2pt] +-\frac13 & 1 & 0 \\[2pt] +0 & 0 & 2 +\end{bmatrix}. +$$ +$$\text{……12 分}$$ --- From d8ebdb28e73cc2bbf9843442090731a9656880c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E9=83=91=E5=93=B2=E8=88=AA?= Date: Mon, 29 Dec 2025 23:15:33 +0800 Subject: [PATCH 2/4] =?UTF-8?q?=E4=BF=AE=E6=94=B9=E4=BA=86=E6=96=87?= =?UTF-8?q?=E4=BB=B6=EF=BC=9A?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- ...231线性代数考试卷（解析版）.md | 101 ++++++++++++++++++ 1 file changed, 101 insertions(+) diff --git a/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md index e476d63..677326c 100644 --- a/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md +++ b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md @@ -280,8 +280,109 @@ D_n = (-1)^{n-1} \cdot 2^{n-2} \cdot (n+1) $$ --- +（2）加边 +$$ +\tilde{D} = +\begin{vmatrix} +1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ +1 & 1 + x_1 & 1 + x_1^2 & \cdots & 1 + x_1^n \\ +1 & 1 + x_2 & 1 + x_2^2 & \cdots & 1 + x_2^n \\ +\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +1 & 1 + x_n & 1 + x_n^2 & \cdots & 1 + x_n^n +\end{vmatrix} + +$$ + +$$ +\tilde{D} = +\begin{vmatrix} +1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\ +1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ +1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ +\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n +\end{vmatrix} +$$ + +将第一行拆为 $(2,0,0,\dots,0)$ 与 $(-1,-1,\dots,-1)$ 之和： + +$$ +\tilde{D} = +\begin{vmatrix} +2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ +1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ +1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ +\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n +\end{vmatrix} ++ +\begin{vmatrix} +-1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\ +1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ +1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ +\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n +\end{vmatrix} +$$ + +令左边为 $A$，右边为 $B$。 + +计算 $A$，按第一行展开： + +$$ +A = 2 \cdot +\begin{vmatrix} +x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ +x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n +\end{vmatrix} += 2 \cdot \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right) \cdot +\begin{vmatrix} +1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} \\ +1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1} +\end{vmatrix} +$$ + +右边为范德蒙德行列式： + +$$ +A = 2 \prod_{i=1}^{n} x_i \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) +$$ + +计算 $B$，提出第一行的因子 $-1$： + +$$ +B = (-1) \cdot +\begin{vmatrix} +1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ +1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\ +1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\ +\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n +\end{vmatrix} +$$ + +该行列式为 $n+1$ 阶范德蒙德行列式，变量为 $1, x_1, x_2, \dots, x_n$： + +$$ +B = (-1) \cdot \prod_{i=1}^{n} (x_i - 1) \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) +$$ + +因此： + +$$ +\tilde{D} = A + B = \left( 2 \prod_{i=1}^{n} x_i - \prod_{i=1}^{n} (x_i - 1) \right) \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) +$$ + +$$ +\boxed{\tilde{D} = \left(2\prod\limits_{i=1}^{n}x_i - \prod\limits_{i=1}^{n}(x_i-1)\right) \prod\limits_{1\leq i Date: Tue, 30 Dec 2025 03:16:29 +0800 Subject: [PATCH 3/4] vault backup: 2025-12-30 03:16:29 --- ...231线性代数考试卷（解析版）.md | 12 ++-- 编写小组/试卷/线代期中试卷.md | 46 -------------- .../试卷/线代期中试卷解析.md | 62 ------------------- 3 files changed, 5 insertions(+), 115 deletions(-) delete mode 100644 编写小组/试卷/线代期中试卷.md delete mode 100644 编写小组/试卷/线代期中试卷解析.md diff --git a/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md index 677326c..cb88fad 100644 --- a/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md +++ b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md @@ -161,7 +161,7 @@ $$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} $$ --- -9. 设矩阵 +10. 设矩阵 $$ A = \begin{bmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\ @@ -194,10 +194,8 @@ $$ $$ k= \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}. $$ -12. - $$ - \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}. - $$ +12. + $$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}$$ ## 三、解答题，共五道，共64分 --- @@ -475,13 +473,13 @@ $$ 1 & 0 & 1 & \vert & -2 \\ 0 & 1 & 1 & \vert & 1 \\ 0 & -1 & 0 & \vert & 2 -\end{bmatrix} \\ +\end{bmatrix} \\[1em] &\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & \vert & -2 \\ 0 & 1 & 1 & \vert & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \vert & 3 -\end{bmatrix} \\ +\end{bmatrix} \\[1em] &\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \vert & -5 \\ diff --git a/编写小组/试卷/线代期中试卷.md b/编写小组/试卷/线代期中试卷.md deleted file mode 100644 index ffed476..0000000 --- a/编写小组/试卷/线代期中试卷.md +++ /dev/null @@ -1,46 +0,0 @@ -#官方试卷 -时量：120分钟 满分：100分 -#### 一、单选题（共5小题，每小题3分，共15分） -1. 若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=4$，则当$n$充分大时，恒有 - A. $|a_n|\le 1$ - B. $|a_n|>2$ - C. $|a_n|<2$ - D. $|a_n|>4$ -2. 已知$g(x)=\frac{1}{x^2}$，复合函数$y=f(g(x))$对$x$的导数为$-\frac{1}{2x}$，则$f'(\frac{1}{2})$的值为 - A. $1$ - B. $2$ - C. $\frac{\sqrt 2}{4}$ - D. $\frac{1}{2}$ -3. 设$f(x)$可导且$f'(x_0)=\frac{1}{3}$，则当$\Delta x \rightarrow 0$时，$f(x)$在$x_0$处的微分$\text{d}y$是$\Delta x$的 - A. 同阶无穷小 - B. 低阶无穷小 - C. 等价无穷小 - D. 高阶无穷小 -4. 设数列通项为$x_n=\begin{cases}\frac{n^2-\sqrt{n}}{n},n=2k, \\ \frac{1}{n},n=2k+1 \end{cases}(k\in \mathbb{N}^+)$，则当$n\rightarrow\infty$时，$x_n$是 - A. 无穷大量 - B. 无穷小量 - C. 有界变量 - D. 无界变量 -5. 下列四个级数，**发散**的是 - A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(a^{\frac{1}{n}}+a^{-\frac{1}{n}}-2)}(a>0)$ - B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2n\sin{\frac{1}{n}}}}$ - C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(\frac{\cos{n!}}{n^2+1}+\frac{1}{\sqrt{n+12}})}$ - D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[\sqrt{2}+(-1)^n]^n}{3^n}$ -#### 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） -6. 函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^\frac{1}{x-1} \ln{|1+x|}}{(\mathrm{e}^x-1)(x-2)}$的第二类间断点的个数为____. -7. 设函数$y=x-\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan{(\sqrt{2}\tan x)}$，则$\text{d}y|_{x=\frac{\pi}{4}}=$\_\_\_\_\_. -8. 已知级数$\sum\limits_{n=2}^{\infty}{(-1)^n\frac{1}{n^a}\ln\frac{n+1}{n-1}}$条件收敛，则常数$a$的取值范围是_____. -9. 已知函数$f(x)$在$x=1$处可导，且$f(1)=0,f'(1)=2$，则$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{f(e^{x^2})}{\sin^2 x}}$=\_\_\_\_\_\_. -10. 曲线$y=\frac{1}{2}x^2$与曲线$y=c\ln x$相切，则常数$c$的值为\_\_\_\_\_\_. -#### 三、解答与证明题（11~19小题，共70分） -11. （6分）求极限$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\cos 2x + x\arcsin x)^\frac{1}{x^2}$. -12. （6分）求极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+2]{2\sin^2 n+\cos^2 n}$. -13. （6分）已知函数$f(x)=\begin{cases}\sin 2x+1, x\le 0\\a^{2x}+b, x>0 \end{cases}$在$x=0$处可导，求常数$a,b$的值. -14. （6分）设$y=y(x)$是由方程$y=x\mathrm{e}^y=1$所确定的函数，求曲线$y=y(x)$在$x=0$对应点处的切线方程. -15. （8分）设函数$y=f(x)$的极坐标式为$\rho=\mathrm{e}^\theta$，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$，$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$. -16. （8分）设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内是以$2T$为周期的连续函数，证明对任一实数$x_0$，方程$f(x)=f(x+T)$在区间$[x_0-\frac{T}{2},x_0+\frac{T}{2}]$上至少有一个根. -17. （10分）求曲线$y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}+2\ln|x-2|,(x>0)$的所有渐近线方程. -18. （10分）百米跑道上正在举行百米赛跑，摄影师站在50米处为4号跑道夺冠种子选手A录像，摄像头始终对准选手A，摄影师距离4号跑道5米，若选手A以10m/s的速度从摄影师正前方经过，问此时摄影镜头的角速度是多少？ ![[期中试卷-18.png]] -19. （10分）设$a_1=3,a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{n},n=1,2,\dots,$ - (1) 证明$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$存在，并求其极限值；（5分） - (2) 证明：对于任意实数$p$，级数$\sum\limits_{n=1}{\infty}{n^p(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)}$收敛. （5分） \ No newline at end of file diff --git a/编写小组/试卷/线代期中试卷解析.md b/编写小组/试卷/线代期中试卷解析.md deleted file mode 100644 index 4874412..0000000 --- a/编写小组/试卷/线代期中试卷解析.md +++ /dev/null @@ -1,62 +0,0 @@ -#官方试卷 -#民间答案 -#### 一、单选题（共5小题，每小题3分，共15分） -1. 若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=4$，则当$n$充分大时，恒有 - A. $|a_n|\le 1$ - B. $|a_n|>2$ - C. $|a_n|<2$ - D. $|a_n|>4$ -> **答案：B** -> 解析：保号性 -> 若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=4$，按照定义，$\forall \epsilon >0,\exists N, n>N\text{时},|a_n-4|<\epsilon$， -> 取$\epsilon=2$，则$|a_n-4|<\epsilon$，则$2**答案：D** ->解析：复合函数求导法则 ->$y'=f'(g(x))g'(x)=\frac{-2}{x^3}f'(\frac{1}{x^2})=-\frac{1}{2x}\Rightarrow f'(\frac{1}{x^2})=\frac{x^2}{4}$，即$f'(\frac{1}{x})=\frac{x}{4}(x> 0)$ ->代入$x=2$得：$f'(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$ -3. 设$f(x)$可导且$f'(x_0)=\frac{1}{3}$，则当$\Delta x \rightarrow 0$时，$f(x)$在$x_0$处的微分$\text{d}y$是$\Delta x$的 - A. 同阶无穷小 - B. 低阶无穷小 - C. 等价无穷小 - D. 高阶无穷小 -> **答案：A** -> 解析：同阶无穷小；微分的定义 -> $\Delta x \rightarrow 0$时，$\Delta x \sim \mathrm{d}x$，又$\mathrm{d}y|_{x=x_0}=\frac{1}{3}\mathrm{d}x$，故$\mathrm{d}y$与$\Delta{x}$是同阶不等价的无穷小 -4. 设数列通项为$x_n=\begin{cases}\frac{n^2-\sqrt{n}}{n},n=2k, \\ \frac{1}{n},n=2k+1 \end{cases}(k\in \mathbb{N}^+)$，则当$n\rightarrow\infty$时，$x_n$是 - A. 无穷大量 - B. 无穷小量 - C. 有界变量 - D. 无界变量 ->**答案：D** ->解析：易错点10-无穷大与无界的辨析 ->$\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k}=+\infty$，因此$a_n$无界；然而，$\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k+1}=0$，因此$a_n(n\to\infty)$不是无穷大 -5. 下列四个级数，**发散**的是 - A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(a^{\frac{1}{n}}+a^{-\frac{1}{n}}-2)}(a>0)$ - B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2n\sin{\frac{1}{n}}}}$ - C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(\frac{\cos{n!}}{n^2+1}+\frac{1}{\sqrt{n+12}})}$ - D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[\sqrt{2}+(-1)^n]^n}{3^n}$ ->**答案：C** -> -#### 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） -6. 函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^\frac{1}{x-1} \ln{|1+x|}}{(\mathrm{e}^x-1)(x-2)}$的第二类间断点的个数为____. -7. 设函数$y=x-\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan{(\sqrt{2}\tan x)}$，则$\text{d}y|_{x=\frac{\pi}{4}}=$\_\_\_\_\_. -8. 已知级数$\sum\limits_{n=2}^{\infty}{(-1)^n\frac{1}{n^a}\ln\frac{n+1}{n-1}}$条件收敛，则常数$a$的取值范围是_____. -9. 已知函数$f(x)$在$x=1$处可导，且$f(1)=0,f'(1)=2$，则$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{f(e^{x^2})}{\sin^2 x}}$=\_\_\_\_\_\_. -10. 曲线$y=\frac{1}{2}x^2$与曲线$y=c\ln x$相切，则常数$c$的值为\_\_\_\_\_\_. -#### 三、解答与证明题（11~19小题，共70分） -11. （6分）求极限$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\cos 2x + x\arcsin x)^\frac{1}{x^2}$. -12. （6分）求极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+2]{2\sin^2 n+\cos^2 n}$. -13. （6分）已知函数$f(x)=\begin{cases}\sin 2x+1, x\le 0\\a^{2x}+b, x>0 \end{cases}$在$x=0$处可导，求常数$a,b$的值. -14. （6分）设$y=y(x)$是由方程$y=x\mathrm{e}^y=1$所确定的函数，求曲线$y=y(x)$在$x=0$对应点处的切线方程. -15. （8分）设函数$y=f(x)$的极坐标式为$\rho=\mathrm{e}^\theta$，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$，$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$. -16. （8分）设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内是以$2T$为周期的连续函数，证明对任一实数$x_0$，方程$f(x)=f(x+T)$在区间$[x_0-\frac{T}{2},x_0+\frac{T}{2}]$上至少有一个根. -17. （10分）求曲线$y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}+2\ln|x-2|,(x>0)$的所有渐近线方程. -18. （10分）百米跑道上正在举行百米赛跑，摄影师站在50米处为4号跑道夺冠种子选手A录像，摄像头始终对准选手A，摄影师距离4号跑道5米，若选手A以10m/s的速度从摄影师正前方经过，问此时摄影镜头的角速度是多少？ ![[期中试卷-18.png]] -19. （10分）设$a_1=3,a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{n},n=1,2,\dots,$ - (1) 证明$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$存在，并求其极限值；（5分） - (2) 证明：对于任意实数$p$，级数$\sum\limits_{n=1}{\infty}{n^p(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)}$收敛. （5分） \ No newline at end of file From 76ac4a319d5ede47a647d55968d3565c9692bc5e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Tue, 30 Dec 2025 12:02:52 +0800 Subject: [PATCH 4/4] =?UTF-8?q?=E8=AF=95=E5=8D=B7?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../试卷/1231线性代数考试卷.md | 91 +++++++++++++++++++ 1 file changed, 91 insertions(+) create mode 100644 编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md diff --git a/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md new file mode 100644 index 0000000..5771a41 --- /dev/null +++ b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md @@ -0,0 +1,91 @@ +--- +tags: + - 编写小组 +--- +## 一、选择题，共六道，每题3分，共18分 + +1. 设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是【 】 + + (A) $AB - BA$; + (B) $AB + BA$; + (C) $BAB$; + (D) $(AB)^2$. + +2.  设 $e_1, e_2$ 和 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是线性空间 $\mathbb{R}^2$ 的两组基，并且已知关系式 $\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\ \varepsilon_2 = e_2,$ 则由基 $e_1, e_2$ 到基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 的过渡矩阵是 +(A) $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ -6 & 0\end{bmatrix}$ +(B) $\begin{bmatrix}-1 & 0 \\5 & -1\end{bmatrix}$ +(C) $\begin{bmatrix}1 & 0 \\-5 & -1\end{bmatrix}$ +(D) $\begin{bmatrix}1 & 0 \\-5 & 1\end{bmatrix}$ + +3. 设向量组 $\alpha_1 = (0, 0, c_1)^T,\quad \alpha_2 = (0, 1, c_2)^T,\quad \alpha_3 = (1, -1, c_3)^T,\quad \alpha_4 = (-1, 1, c_4)^T,$ + 其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是 + (A) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$; + (B) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$; + (C) $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$; + (D) $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$. +4. 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则 + (A) $\text{rank}[A \ AB] = \text{rank} A$; + (B) $\text{rank}[A \ BA] = \text{rank} A$; + (C) $\text{rank}[A \ B] = \max\{\text{rank} A, \text{rank} B\}$; + (D) $\text{rank}[A \ B] = \text{rank}[A^T \ B^T]$. + +5. 设 $A$ 可逆，将 $A$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B$，则 $A^*$ 与 $B^*$ 满足 + (A) 将 $A^*$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B^*$; + (B) 将 $A^*$ 的第一行加上第二行的 2 倍得到 $B^*$; + (C) 将 $A^*$ 的第二列加上第一列的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$; + (D) 将 $A^*$ 的第二行加上第一行的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$. + +6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$与$\text{(II)} \quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则 + (A) $a = 1, b = 0, c = 1$; + (B) $a = 1, b = 1, c = 2$; + (C) $a = 2, b = 0, c = 1$; + (D) $a = 2, b = 1, c = 2$. + +## 二、填空题，共六道，每题3分，共18分 + +7. 已知向量 $\alpha_1 = (1,0,-1,0)^T$，$\alpha_2 = (1,1,-1,-1)^T$，$\alpha_3 = (-1,0,1,1)^T$，则向量 $\alpha_1 + 2\alpha_2$ 与 $2\alpha_1 + \alpha_3$ 的内积$\langle \alpha_1 + 2\alpha_2,\, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle = \underline{\qquad\qquad}.$ + +8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\quad\quad}$。 + +9. 若向量组$\alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T$不能由向量组$\beta_1 = (1,1,1)^T,\quad \beta_2 = (1,2,3)^T,\quad \beta_3 = (3,4,a)^T$线性表示，则$a = \underline{\qquad\qquad}.$ + +10. 设矩阵$A = \begin{bmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3\end{bmatrix},x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix},b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},$ + 其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$ +11. $A^{k} = 0, k=\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$ +12. $\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}$ + +## 三、解答题，共五道，共64分 + +13. （20 分）计算 下面的两个$n$阶行列式 + + $$ + K_n = \begin{vmatrix} + 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ + 2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\ + 3 & 2 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 2 \\ + n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1 + \end{vmatrix}. + $$ +$$ + M_n =\begin{vmatrix} +1+x_1 & 1+x_1^2 & \cdots & 1+x_1^n \\ +1+x_2 & 1+x_2^2 & \cdots & 1+x_2^n \\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +1+x_n & 1+x_n^2 & \cdots & 1+x_n^n +\end{vmatrix} +$$ +14. 设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$. + (1)证明：方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解； + (2)若方程组$Ax=\alpha$与方程组$Bx=\beta$不同解，求$a$的值. + +15. （10 分）设 $\alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T$和$\beta_1 = (0,1,1)^T,\quad \beta_2 = (-1,1,0)^T,\quad \beta_3 = (0,2,1)^T$是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量$u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3$在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。 + +16. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。 + （1）证明 $A - E$ 可逆； + （2）证明 $AB = BA$； + （3）证明 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$； + （4）若矩阵$B = \begin{bmatrix}1 & -3 & 0 \\2 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$，求矩阵 $A$。 + +17. 设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有两个解向量，求Ax=0的通解。 \ No newline at end of file