确认合并

解决冲突的方法：
git fetch origin
git checkout develop
git merge origin/main
// 按照常规冲突来解决
git add .
git commit -m "..."
git push origin develop
// 然后再来面板上合并

.gitignore

@@ -4,5 +4,4 @@
 .vscode/
 .obsidian/*
 !.obsidian/snippets/
-/介值定理例题.md
-*.base
+/介值定理例题.md

.obsidian/snippets/math-note.css

@@ -12,19 +12,3 @@
     --callout-color: 181,230,29;
     --callout-icon: lucide-calculator;
 }
-
-.callout[data-callout="def"]{
-    --callout-color: 16,230,66;
-    --callout-icon: lucide-at-sign;
-}
-
-.title{
-    font-weight: bold;
-    text-align: center;
-}
-
-.Title{
-    font-weight: bold;
-    text-align: center;
-    font-size:24px;
-}

Notice!!!（develop分支）.md

@@ -3,5 +3,3 @@
 每次修改此仓库（也就是在左侧advanced-math-notes栏中的任何文件）时
 请先pull，再commit
 确保自己修改的仓库是最新版本
-
-目前的编委会名单：

README.md

@@ -3,28 +3,15 @@
 ##### 概述
 1. 下载Obsidian和Git For Windows（如果官网下不来，会给你镜像）
 2. 头歌账号绑定邮箱，并且在本地准备Git
+3. 在Obsidian里面安装插件Git
 ##### 详细步骤
 1. 下载Obsidian和Git For Windows（如果官网下不来，会给你镜像）
 2. 打开头歌，打开个人主页，进入开发项目，新建一个项目
 ![[edit1.png]]
 新建项目的时候，如果没有绑定邮箱，会要求你绑定邮箱；
-如果没有，看一下你的QQ邮箱。一般来说，每一个QQ号都有QQ邮箱。
-
-### 配置环境
-现在所有准备工作已完成，你可以开始着手配置环境：
-1. 找一个文件夹，用于存放该笔记本；不嫌麻烦桌面也行——但是不建议
-2. 在文件夹内右键，点击“在终端中打开”
-3. 输入：`git config --global user.name (给自己起一个ID，方便我们辨认即可)`、`git config --global user.email (你头歌绑定的邮箱)`；
-4. 输入：`git clone https://bdgit.educoder.net/pkeazo37w/advanced-math-notes.git`，运行成功后就会在你选择的文件夹下方多一个`advanced-math-notes`文件夹，~~这就是你以后的牢房~~
-5. 关掉终端，打开Obsidian，打开仓库，选择那个`advanced-math-notes`，然后在Obsidian安装Git插件，开始干活吧！
-6. 注意：第一次提交时可能要求你输入头歌账号密码，其中账号最好输你的邮箱，其他的可能会失败；后续则不需要登录即可提交
-
+如果没有
 ### 前置知识（需要在进入研讨组后尽快掌握）
 1. KaTeX数学公式排版知识
 2. 基础Markdown知识
 3. (可选) Git基础知识
-4. 阅读LaTeX（KaTeX）输入规范、特殊输入
-5. (可选) CSS基础知识
-
-### 碎碎念
-1. 大家能不能都贡献一点笔记分享嘞，现在笔记分享里绝大部分都是我的东西欸……（From GrainEar）
+4. 阅读LaTeX（KaTeX）输入规范、特殊输入

关于切线（切平面）的思考与快速求法 以及一些简单的射影几何.md

@@ -1,120 +0,0 @@
-
----
-
-
-# 二次曲线/曲面的切线(切平面)统一代换法
-
-> [!info] 核心规则
-> 对于 **二次多项式** 定义的隐式方程 $F(x,y,\dots)=0$，  
-> 在曲线/曲面上的点 $P(x_0,y_0,\dots)$ 处的 **切线 / 切平面** 可以直接通过如下替换写出：
-> 
-> - **平方项** $x^2 \;\longrightarrow\; x_0\,x$
-> - **交叉项** $xy \;\longrightarrow\; \dfrac{x_0\,y + y_0\,x}{2}$
-> - **一次项** $x \;\longrightarrow\; \dfrac{x + x_0}{2}$
-> - **常数项** 保持不变
-> 
-> 然后将原方程按此替换，并令其等于 0，即得切线/切平面方程。
-> *(若点不在曲面上，得到的是该点关于二次曲面的 **极线/极面**)*
-
----
-
-## 常见例子
-
-### 圆
-- 方程：$x^2 + y^2 = R^2$
-- 切点：$(x_0, y_0)$
-- 切线：
-$$
-x_0 x + y_0 y = R^2
-$$
-
-### 椭圆
-- 方程：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
-- 切点：$(x_0, y_0)$
-- 切线：
-$$
-\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1
-$$
-
-### 抛物线
-- 方程：$y^2 = 2px$
-- 切点：$(x_0, y_0)$
-- 切线：
-$$
-y_0 y = p(x + x_0)
-$$
-*(推导：$y^2 \to y_0 y$，一次项 $x \to \frac{x+x_0}{2}$，乘 $2p$ 得 $p(x+x_0)$)*
-
-### 双曲线 (反比例)
-- 方程：$xy = c$
-- 切点：$(x_0, y_0)$
-- 切线：
-$$
-\frac{x_0 y + y_0 x}{2} = c \quad \text{或} \quad x_0y + y_0x = 2c
-$$
-
-### 三维椭球面
-- 方程：$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1$
-- 切点：$(x_0, y_0, z_0)$
-- 切平面：
-$$
-\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} + \frac{z_0 z}{c^2} = 1
-$$
-
----
-
-## 为什么成立？
-
-本质是 **一阶泰勒展开 + 二次型的对称性**。
-
-将二次曲面写成矩阵形式：
-$$
-F(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{b}^T \mathbf{x} + c = 0
-$$
-其中 $A$ 为实对称矩阵。
-
-切超平面方程（由梯度给出）：
-$$
-\nabla F(\mathbf{x}_0) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) = 0
-$$
-因为 $F(\mathbf{x}_0)=0$，也等价于：
-$$
-\nabla F(\mathbf{x}_0) \cdot \mathbf{x} = \nabla F(\mathbf{x}_0) \cdot \mathbf{x}_0
-$$
-
-计算梯度：$\nabla F(\mathbf{x}) = 2A\mathbf{x} + \mathbf{b}$，  
-在 $\mathbf{x}_0$ 处代入并展开：
-- $2A\mathbf{x}_0 \cdot \mathbf{x}$ 对应 **平方项** 与 **交叉项** 的替换；
-- $\mathbf{b} \cdot \mathbf{x}$ 与 $\mathbf{b} \cdot \mathbf{x}_0$ 取平均，恰好对应 **一次项** 的替换规则。
-
-因此，**对任意二次多项式方程，该规则严格成立**。
-
----
-
-## 多维推广
-
-对于 $n$ 元二次超曲面：
-$$
-\sum_{i,j} a_{ij} x_i x_j + \sum_i b_i x_i + c = 0
-$$
-在点 $\mathbf{x}_0$ 处的切超平面直接写为：
-$$
-\sum_{i,j} a_{ij} x_{i0} x_j \;+\; \frac12 \sum_i b_i (x_i + x_{i0}) \;+\; c = 0
-$$
-即完全符合上面的“统一代换”。
-
----
-
-## 注意事项与局限
-
-> [!warning] 局限
-> - **只对二次多项式方程精确成立**。含有 $x^3$ 等更高次项时，必须使用全微分 (梯度) 求切空间。
-> - **点必须在曲面上**，得到的才是切线/切平面；  
->   若点不在曲面上，替换结果是该点的 **极面 / 极线**，仍是很有用的几何对象。
-
----
-
-## 总结
-
-对于所有由二次方程定义的曲线、曲面或超曲面，  
-**求切空间的统一操作就是：平方变点积，交叉变半和，一次变平均，常数原地留。**

数据库.base

@@ -1,8 +0,0 @@
-formulas:
-  未命名: ""
-views:
-  - type: table
-    name: 表格
-    order:
-      - file.name
-      - formula.未命名

杂项/2026春 开工快乐.md

@@ -1,27 +0,0 @@
->[!example] pengjingxiang
->抽个时间请大家吃东西
-
->[!example] Cym10x
->emmm... 火锅吗？
-
->[!note] Wangkenan
->所以为什么要用 example 来聊天啊！
-
->[!note] zheng
->才发现......
-
-> [!question] zhi
-> 那我用问题来聊天好了
-
-> [!note] pjx 
->今天要不疯狂一把
-
->[!note] __
->pjx改~格~式!
-
->[!def] zhi
-
-
->[!solution] WKN
->所以什么时候去疯狂一把嘞~~
-

概念辨析.md

@@ -1,191 +0,0 @@
-# 二元函数在一点性质的判定流程
-
-本流程适用于形如
-
-$$
-f(x,y) = 
-\begin{cases} 
-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}, & (x,y) \neq (0,0) \\[4pt]
-0, & (x,y) = (0,0)
-\end{cases}
-$$
-
-的二元函数在原点的性质判定。依次检查：**极限** → **连续性** → **偏导数存在性** → **偏导数连续性** → **可微性**。每一步的结果都会影响后续判断。
-
----
-
-## 步骤一：判断二重极限是否存在
-
-### 方法
-1. **路径试探法**：令 $(x,y)$ 沿不同路径趋近于 $(0,0)$。
-   - 常见路径：$y = kx$，$y = kx^2$，$x = 0$，$y = 0$，$y = x^\alpha$ 等。
-   - 如果两条路径得到的极限值不同，则极限不存在。
-2. **极坐标代换**：令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$r \to 0^+$。
-   - 若极限值与 $\theta$ 无关，则极限存在
-1. **夹逼准则**：用绝对值放缩，$0 \le |f(x,y)| \le h(x,y) \to 0$。
-
-### 判定结论
-- **极限不存在** → 直接得到：**不连续、不可微**（偏导数可能存在也可能不存在，需单独检查）。
-- **极限存在且等于 $0$**（与定义值一致）→ 进入步骤二。
-
----
-
-## 步骤二：判断连续性
-
-### 条件
-函数在 $(0,0)$ 连续 $\iff \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)$。
-
-- 若步骤一中已得出极限等于 $0$，则连续。
-- 若极限不存在或不等于 $0$，则**不连续**。
-
-### 判定结论
-- 不连续 → 一定**不可微**（偏导数仍可能存在）。
-- 连续 → 进入步骤三。
-
----
-
-## 步骤三：判断偏导数是否存在
-
-### 方法
-利用定义分别求 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$：
-
-$$
-f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h},\quad
-f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k}.
-$$
-
-- 注意 $f(h,0)$ 是将 $y=0$ 代入分段函数非原点部分（只要 $h \ne 0$）。
-- 若两极限均存在，则偏导数存在。
-
-### 判定结论
-- 若偏导数至少一个不存在 → **不可微**（且偏导数不连续无需讨论）。
-- 若偏导数均存在 → 进入步骤四。
-
----
-
-## 步骤四：判断偏导数是否连续
-
-> 偏导数连续是可微的**充分条件**，但不是必要条件。这一步骤可以提前判定可微性，也可作为深入理解函数性质的独立环节。
-
-### 方法
-1. **求出偏导函数的表达式**（在 $(x,y) \neq (0,0)$ 部分）：
-   - 对分段表达式（非零点）直接用求导公式计算 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$。
-2. **求偏导函数在 $(0,0)$ 的极限**：
-   - 计算 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y)$ 和 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_y(x,y)$。
-   - 常用极坐标、路径法、夹逼法。
-3. **与偏导数值比较**：
-   - 若 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y) = f_x(0,0)$ 且 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_y(x,y) = f_y(0,0)$，则偏导数连续。
-   - 否则偏导数不连续。
-
-### 判定结论
-- 偏导数连续 → 函数在 $(0,0)$ **可微**（直接结论，无需进一步检查）。
-- 偏导数不连续 → 可微性**仍未确定**，进入步骤五用定义判定。
-
----
-
-## 步骤五：判断可微性
-
-### 必要条件（快速排除）
-1. 若不连续 → **不可微**。
-2. 若偏导数不存在 → **不可微**。
-3. 若偏导数连续 → **可微**（步骤四已得出结论）。
-
-### 可微的充要条件（定义法）
-当偏导数存在但不连续时，必须用定义。设 $f_x(0,0) = A$，$f_y(0,0) = B$，计算全增量：
-
-$$
-\Delta f = f(\Delta x, \Delta y) - f(0,0), \quad \rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.
-$$
-
-检查极限：
-
-$$
-\lim_{(\Delta x,\Delta y) \to (0,0)} \frac{\Delta f - A\Delta x - B\Delta y}{\rho} = 0.
-$$
-
-- 若极限为 $0$，则**可微**。
-- 若极限不为 $0$ 或不存在，则**不可微**。
-
-**操作技巧**：
-- 通常 $A = B = 0$，只需验证 $\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} \to 0$。
-- 取特殊路径（如 $y = kx$，$y = x^2$）证明极限非零。
-
----
-
-## 实例演示
-
-函数：
-$$
-f(x,y) = 
-\begin{cases} 
-\dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\[6pt]
-0, & (x,y) = (0,0)
-\end{cases}
-$$
-
-### 1. 极限
-用极坐标：令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，
-$$
-f = \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2} = r\cos^2\theta\sin\theta \to 0 \quad (r\to0).
-$$
-极限为 $0$，与定义值一致。
-
-### 2. 连续性
-$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)$，故连续。
-
-### 3. 偏导数存在性
-- $f_x(0,0) = \lim_{h\to0} \frac{f(h,0)-0}{h} = \lim_{h\to0} \frac{0}{h} = 0$。
-- $f_y(0,0) = \lim_{k\to0} \frac{f(0,k)-0}{k} = \lim_{k\to0} \frac{0}{k} = 0$。
-偏导数均存在。
-
-### 4. 偏导数连续性
-当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，求偏导函数：
-$$
-f_x = \frac{2xy(x^2+y^2) - x^2y\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2xy^3}{(x^2+y^2)^2},
-$$
-$$
-f_y = \frac{x^2(x^2+y^2) - x^2y\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^4 - x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}.
-$$
-检查 $f_x$ 在 $(0,0)$ 的极限：取路径 $y = kx$，
-$$
-f_x(x,kx) = \frac{2x\cdot k^3x^3}{(x^2+k^2x^2)^2} = \frac{2k^3 x^4}{(1+k^2)^2 x^4} = \frac{2k^3}{(1+k^2)^2}.
-$$
-极限随 $k$ 变化（例如 $k=1$ 得 $\frac{1}{2}$，$k=0$ 得 $0$），故 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x(x,y)$ 不存在。因此 $f_x$ 在 $(0,0)$ **不连续**。
-$f_y$ 同理也可证不连续（取 $y=x$ 得 $0$，$y=0$ 得 $1$）。
-
-结论：**偏导数存在但不连续**。
-
-### 5. 可微性
-已知 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，检查
-$$
-\frac{f(x,y) - 0}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{x^2 y}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
-$$
-取路径 $y = x$：
-$$
-\frac{x^3}{(2x^2)^{3/2}} = \frac{x^3}{2^{3/2}|x|^3} = \frac{1}{2^{3/2}}\operatorname{sgn}(x) \ne 0,
-$$
-极限非零，故**不可微**。
-
-### 总结论
-连续，偏导数存在，偏导数不连续，不可微。
-对应选项：**(D) 存在偏导数** ✅
-
----
-
-## 完整判定流程图
-
-```mermaid
-graph TD
-A[开始] --> B{二重极限是否存在?}
-B -- 否 --> C[不连续，偏导数待定，不可微]
-B -- 是 --> D{极限是否等于定义值?}
-D -- 否 --> C
-D -- 是 --> E[连续]
-E --> F{偏导数是否存在?}
-F -- 否 --> G[偏导数不连续（无意义），不可微]
-F -- 是 --> H[偏导数存在]
-H --> I{偏导数是否连续?}
-I -- 是 --> J[可微]
-I -- 否 --> K{用定义判断可微性}
-K -- 是 --> J
-K -- 否 --> L[不可微]

笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md

@@ -12,7 +12,7 @@ $\begin{bmatrix} 1+x_1 & 1+x_1^2 & ... &1+x_1^n \\ 1+x_2 & 1+x_2^2 & ... &1+x_2^
 $\begin{vmatrix} 1+x_1 & 1+x_1^2 & ... &1+x_1^n \\ 1+x_2 & 1+x_2^2 & ... &1+x_2^n \\ ... \\ 1+x_n & 1+x_n^2 & ... &1+x_n^n \end{vmatrix}$
 
 求和、求积的上下记号可以使用limits套：
-（小公式如此，大公式不必管）
+
 $\sum\limits_{i=2}^{n}a_i, \prod\limits_{i=1}^{n}a_i$
 
 积分符号的上下标，按照原本的上下标来处理：
@@ -23,43 +23,66 @@ $\int_1^5 x\mathrm{d}x$
 
 $\displaystyle\int_1^5f(x)\text{d}x$
 
-积分符号的上下记号，用limits套，注意高数大物教材区别：
+积分符号的上下记号，用limits套：
 
 $\displaystyle\int\limits_{L}(x+y)\mathrm{d}s$
-闭曲线积分：$\oint_L\boldsymbol F\mathrm d\boldsymbol r$
-$\displaystyle\oint_L\boldsymbol F\mathrm d\boldsymbol r$
-
-二重积分： $\iint xy\mathrm dS$
-从A到B的向量 $\overrightarrow{AB}$，坐标轴向量 $\hat i,\hat j,\hat k$ 或者 $\vec i,\vec j,\vec k$
-你说什么？向量的0次方？ $\vec{r}^0$
-~~（哦，这其实是一种上标）~~
-
-物理量对时间的导数一般这样写（或者说牛顿的导数记法）： $\dot{\boldsymbol{r}}$ 
-如果是二阶导的话就是这样的： $\ddot{\boldsymbol r}$
-最高到四阶：$\ddddot{\boldsymbol r}$
-
-梯度算子（~~那不拉算子~~）（不是拉普拉斯算子）
-$$\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)$$
-拉普拉斯算子
-$$\Delta=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$
-
->[!quote] Cym10x
->$\nabla\cdot\nabla$ 是不是很可爱？（逃）
 
 下划线输入可以这样 $\underline{\qquad}$.
 
 **颜色文字:**
+<span style="color:red">红色文字</span>
+<span style="color:blue">蓝色文字</span>
+<span style="color:#ff0000">另一种红色</span>
+<span style='color:orange; font-weight:bold'>加粗橘色</span>
 $\color{red} x^2 + \color{blue} y^2 = 1$
 ```text
-只要查一下颜色的编号放进去就可以（虽然应该用不到这么奇怪的表示方式）
+只要查一下颜色的编号放进去就可以
+<span style="color:red">红色文字</span>
+<span style="color:blue">蓝色文字</span>
+<span style="color:#ff0000">另一种红色</span>
+<span style='color:orange; font-weight:bold'>加粗橘色</span>
+
+数学公式中的颜色文字（虽然大概用不到就是了）
 $\color{red} x^2 + \color{blue} y^2 = 1$
 ```
 
-常用的希腊字母
-$\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon(\varepsilon),\phi(\varphi), \psi, \nu, \mu, \theta, \upsilon$
-`$\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon(\varepsilon),\phi(\varphi), \psi, \nu, \mu, \theta, \upsilon$`
-大写只要把首字母大写就能得到了
+**章节符号** §
+
+**任务表格**：
+- [ ] abc
+- [x] def
+- [?] asdf
+```text
+- [ ] abc
+- [x] def
+- [?] asdf
+```
+
+
+**居中输入**
+<div style="text-align: center;">这段文字将居中显示</div>
+```text
+<div style="text-align: center;">这段文字将居中显示</div>
+```
+
+**放大**
+<div style='font-size:20px'>这段文字将放大</div>
+<span style="font-size: 12px">12px - 小号</span>
+<span style="font-size: 14px">14px - 默认大小</span>
+<span style="font-size: 16px">16px - 稍大</span>
+<span style="font-size: 18px">18px - 大号</span>
+<span style="font-size: 20px">20px - 较大</span>
+<span style="font-size: 24px">24px - 标题大小</span>
+<span style="font-size: 32px">32px - 醒目标题</span>
+```text
+<div style='font-size:20px'>这段文字将放大</div>
+<span style="font-size: 12px">12px - 小号</span>
+<span style="font-size: 14px">14px - 默认大小</span>
+<span style="font-size: 16px">16px - 稍大</span>
+<span style="font-size: 18px">18px - 大号</span>
+<span style="font-size: 20px">20px - 较大</span>
+<span style="font-size: 24px">24px - 标题大小</span>
+<span style="font-size: 32px">32px - 醒目标题</span>
+```
+
 
-在括号前面加上\left 和 \right 以获得更加美观的括号（尤其在分数两边）
-$(\dfrac{1}{2})$ v.s. $\left(\dfrac{1}{2}\right)$ 
-`$(\dfrac{1}{2})$ v.s. $\left(\dfrac{1}{2}\right)$`

笔记分享/LaTeX（KaTeX）输入规范.md

@@ -1,7 +1,7 @@
 通常的，记号严格按照教材中的规范。
-1. 矩阵使用`\bmatrix`
-2. 自然常数或电荷量e、虚数单位i应当为**正体**，需要用 `\mathrm` 或 `\text `记号包裹，例：$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0$；然而，当e,i用于其他用途时，应当用正常的斜体。例：$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$
+1. 矩阵使用bmatrix
+2. 自然常数或电荷量e、虚数单位i应当为**正体**，需要用mathrm记号包裹，例：$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0$；然而，当e,i作为变量时，应当用正常的斜体。例：$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$
 3. 微分算子d应当用正体，被微分的表达式用正常的斜体：$\mathrm{d}f(x)=f'(x)\mathrm{d}x$
-4. 极限和求和求积符号用`\limits`，如$\lim\limits_{x\to0}$和$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$
-5. 不对矩阵作加粗要求，但向量一定要加粗，用`\boldsymbol{}`, 比如$A,\boldsymbol{x}$。
-6. 更加美观的积分符号、分数表示等可以用在美元符号之后的 `\displaystyle` 实现，如 $\int\frac{1}{2}$ 和 $\displaystyle\int\frac{1}{2}$. 单个的较大的分数可以用 `\dfrac` ，如 $\frac{1}{2}$ 和 $\dfrac{1}{2}$.
+4. 极限和求和求积符号用\limits，如$\lim\limits_{x\to0}$和$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$
+5. \$\$双美元符号之间不要打回车！除非你有\begin{...}\end{...}\$\$
+6. 不对矩阵作加粗要求，但向量一定要加粗，用\boldsymbol{}，比如$A,\boldsymbol{x}$。

笔记分享/MarkDown 特殊输入.md

@@ -1,137 +0,0 @@
-**颜色文字:**
-<span style="color:red">红色文字</span>
-<span style="color:blue">蓝色文字</span>
-<span style="color:#ff0000">另一种红色</span>
-<span style='color:orange; font-weight:bold'>加粗橘色</span>
-$\color{red} x^2 + \color{blue} y^2 = 1$
-```text
-只要查一下颜色的编号放进去就可以
-<span style="color:red">红色文字</span>
-<span style="color:blue">蓝色文字</span>
-<span style="color:#ff0000">另一种红色</span>
-<span style='color:orange; font-weight:bold'>加粗橘色</span>
-
-数学公式中的颜色文字（虽然大概用不到就是了）
-$\color{red} x^2 + \color{blue} y^2 = 1$
-```
-
-
-
-**章节符号** §
-或者这样子 $\S$ `$\S$`
-
-**任务表格**：
-- [ ] abc
-- [x] def
-- [?] asdf
-```text
-- [ ] abc
-- [x] def
-- [?] asdf
-```
-
-
-**居中输入**
-<div style="text-align: center;">这段文字将居中显示</div>
-```text
-<div style="text-align: center;">这段文字将居中显示</div>
-```
-
-**放大**
-<div style='font-size:20px'>这段文字将放大</div>
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-<span style="font-size: 24px">24px - 标题大小</span>
-<span style="font-size: 32px">32px - 醒目标题</span>
-```text
-<div style='font-size:20px'>这段文字将放大</div>
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-<span style="font-size: 24px">24px - 标题大小</span>
-<span style="font-size: 32px">32px - 醒目标题</span>
-```
-
-# Mermaid
-参考：[Mermaid 参考](https://docs.min2k.com/zh/mermaid/syntax)
-Obsidian支持 Mermaid 图表，思维导图（但是很丑）：
-```mermaid
-mindmap
-	A["`**根节点** 支持一定的Markdown 🤓`"] 
-		B["子节点"] 
-		C["子节点"]
-			D["子节点的子节点"]
-			E["子节点的子节点"]
-			F["子节点的子节点"]
-```
-时序图：
-```mermaid
-sequenceDiagram
-    Alice->>John: Hello John, how are you?
-    John-->>Alice: Great!
-    Alice-)John: See you later!
-```
-
-甘特图：
-```mermaid
-gantt
-    title A Gantt Diagram
-    dateFormat YYYY-MM-DD
-    section Section
-        A task          :a1, 2014-01-01, 30d
-        Another task    :after a1, 20d
-    section Another
-        Task in Another :2014-01-12, 12d
-        another task    :24d
-
-```
-饼图
-```mermaid
-pie title Pets adopted by volunteers
-    "Dogs" : 386
-    "Cats" : 85
-    "Rats" : 15
-
-```
-统计图
-```mermaid
-xychart-beta
-    title "牛马指数"
-    x-axis [jan, feb, mar, apr, may, jun, jul, aug, sep, oct, nov, dec]
-    y-axis "指数" 4000 --> 11000
-    bar [5000, 6000, 7500, 8200, 9500, 10500, 11000, 10200, 9200, 8500, 7000, 6000]
-    line [5000, 6000, 7500, 8200, 9500, 10500, 11000, 10200, 9200, 8500, 7000, 6000]
-
-```
-
-饼干图
-```mermaid
-block-beta
-  columns 3
-  a["饼干1"] b["饼干2"]:2 c["饼干3"]:2 d["饼干4"]
-```
-何意味：
-```mermaid
-stateDiagram
-    [*] --> Still
-    Still --> [*]
-
-    Still --> Moving
-    Moving --> Still
-    Moving --> Crash
-    Crash --> [*]
-```
-目前正在研究如何使其变得更美观。
-
-
->[!quote] Cym10x
->666把 Obsidian 沙盒搬进来了
-
->[!quote] WKN
->666你上课在做这个东西 $\uparrow$
-

笔记分享/实数理论.md

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-%%
-有兴趣的可以看看这个拓展
-内容来源于菲尔金哥尔茨《微积分学教程》
-我略微润色了下语言，俄罗斯教材的风格和它的文学作品一样冷……
-%%
-
-# $\S1.$ 有理数域
-
-## 2. 有理数域的序
-
-首先让我们约定：所谓<span style="font-family: KaiTi">相等的数就是同一数的各种不同形式</span>. 换言之，“相等（=）”的概念即指“恒等”. 因此，我们不再列举相等的数的性质.
-有理数域的序得自“大于（$\gt$）”的概念 $,$ 与之有关的是第一组性质.
-$\qquad\text{I}\;1^\circ\;\text{每一对数}a\text{和}b\text{之间必有下列关系之一}$$$a=b,\;a\gt b,\;a\lt b;$$
-$\qquad\text I\;2^\circ\; \text由a\gt b\text及b\gt c\text{推得}a\gt c(\gt\text{的传递性});$
-$\qquad\text I\;3^\circ\;\text 若a\gt b,\text{则必能求得一有理数} c,\text 使$$$a\gt c,\quad且\quad c\gt b$$$(稠密性).$
-“小于 $(\lt)$ ”的概念作为作为派生的概念而引入. 
-## 3. 有理数的加法及减法
-
-第二组性质是关于加法的，及关于求两数之和的运算的. 对于每一对数 $a$ 及 $b$，存在着一个（唯一的）数，被称为 $a$ 及 $b$ 的和（记成 $a+b$）. 这个概念具有以下特征：
-$\qquad \text{II}\,1^\circ\quad a+b=b+a(加法的交换性)；$
-$\qquad\text{II}\,2^\circ\quad (a+b)+c=a+(b+c)(加法的结合性);$
-零是这样一个数，它满足第三条性质：
-$\qquad\text{II}\,3^\circ\quad a+0=a;$
-$\qquad\text{II}\,4^\circ\quad 对每个数 a 存在着（与它对称的）数 -a, 使 a+(-a)=0.$
-在这些性质的基础上，首先解决加法的逆运算即**减法**的问题. 通常称使 $c+b=a$ 的数 $c$ 为数 $a$ 与 $b$ 的**差**，从而我们要考虑这样的数的存在性及唯一性的问题.
-设 $c=a+(-b).$ 则有 $$c+b=[a+(-b)]+b=a+[(-b)+b]=a+[b+(-b)]=a+0=a,$$ 因此这个数存在. 若存在另一个数 $c'$ 也是 $a$ 与 $b$ 的差，即有 $c'+b=a.$ 则 $$c=a+(-b)=[c'+b]+(-b)=c'+[b+(-b)]=c'+0=c',$$ 故这个数唯一. 记 $a$ 与 $b$ 的差为 $a-b.$
-由差的唯一性可以得出 $0$ 的唯一性，即满足条件 $\text{II}\,3^\circ$ 的元素的唯一性，从而有对称元的唯一性.
-最后，在引入联系 $\gt$ 与加号的一个性质.
-$\qquad\text{II}\,5^\circ\quad 由\ a\gt b\ 推得\ a+c\gt b+c.$
-## 4. 有理数的乘法及除法
-
-第三组性质是关于乘法的\, 即关于求两数之乘积的运算的\. 对于每一对数 $a$ 及 $b$ 存在着唯一的一个数，被称为 $a$ 及 $b$ 的乘积（记为 $a \cdot b$ 或 $ab$）\. 这个概念具有下列性质：
-- 1. $ab=ba$ （乘法的交换性）；
-- 2. $(ab) c=a (bc)$（乘法的结合性）；
-- 3. $a\cdot 1 = a$；
-- 4. 对于每一个异于 $0$ 的数 $a$ \, 必有数 $\displaystyle\frac 1 a$（其倒数）使得 $\displaystyle a\cdot\frac 1 a=1$.
-关于除法的问题\, 作为乘法的逆运算, 亦可根据乘法的性质来解决, 正如前面根据加法的性质来解决减法的问题一样. 容易证明积的唯一性.
-
-## 5. 阿基米德公理
-
-我们用下列简单而重要的论证, 来结束我们的有理数基本性质. 这一性质是不能由上述性质推得的.
-- 1. 不论有理数 $c\gt 0$ 是怎样的数，总有大于 $c$ 的自然数 $n$ 存在着.
-
-# $\S2.$ 无理数的导入 实数域的序
-## 6. 无理数的定义
-
-我们用戴德金分割方法来定义无理数. 首先要建立的是有理数域的分划概念. 若将有理数全体分拆为两个非空集合 $A$ 和 $B$，我们把这样的分拆叫做分划，如果满足：
-1. 任一有理数，必在且仅在 $A$ 或 $B$ 二集之一中出现；
-2. 集 $A$ 内的任意一数 $a$ 均小于集合 $B$ 中的任意一数 $b$.
-
-称集 $A$ 为分划的下组，$B$ 为上组. 该分划记为 $A|B.$ 由此我们容易推得，若 $a\in A$，则对任意有理数 $a'\lt a$ 有 $a'\in A.$；类似地，对任意有理数 $b'\gt b$，有 $b'\in B.$ 
-
-逻辑上，一个分划可能有以下四种情况：
-1. $A$ 中有最大数，$B$ 中无最小数；
-2. $A$ 中无最大数，$B$ 中有最小数；
-3. $A$ 中无最大数，$B$ 中也无最小数；
-4. $A$ 中有最大数，$B$ 中也有最小数.
-
-但第四种情况是不可能的。若不然，设 $A$ 中最大数为 $a$，$B$ 中最小数为 $b$，则 $a\lt\dfrac{a+b}{2}\lt b$，所以由定义，$\dfrac{a+b}{2}\in A$ 且 $\dfrac{a+b}{2}\in B$，这同 $A$ 与 $B$ 不相交矛盾. 现举出前三种情况的例子. 
-
-**例 1** 一切满足不等式 $a\leqslant 1$ 的有理数 $a$ 全体定为集合 $A$，一切满足 $b\gt1$ 的有理数 $b$ 全体定为集合 $B$，则 $A$ 中有最大数 $1$，$B$ 中无最小数.
-
-**例 2** 一切满足不等式 $a\lt 1$ 的有理数 $a$ 全体定为集合 $A$，一切满足 $b\geqslant1$ 的有理数 $b$ 全体定为集合 $B$，则 $A$ 无最大数，$B$ 中有最小数 $1$.
-
-**例 3** 取使 $a^2\lt 2$ 的一切正有理数 $a$，数 $0$ 及一切负有理数归入 $A$，使一切 $b^2\gt2$ 的正有理数归入 $B$，证明：分划 $A|B$ 满足第三种情况.
-
-**证** 设 $0\lt a\in A$，现欲找到一个正整数 $n$ 使得 $\left(a+\dfrac{1}{n}\right)\in A$. 由 $A$ 的定义有 $$\left(a+\frac{1}{n}\right)^2\lt2,$$ 于是 $$a^2+\frac{2a}{n}+\frac{1}{n^2}\lt2,$$ 只要 $$a^2+\frac{2a}{n}+\frac{1}{n^2}\lt a^2+\frac{2a}{n}+\frac{1}{n}\lt2,$$ 即 $$n\gt\frac{2a+1}{2-a^2}$$ 即可. 由阿基米德公理知这样的 $n$ 总是存在的. 故 $A$ 中无最大数.
-设 $b\in B$，现欲找到一个正整数 $m$ 使得 $\left(b-\dfrac{1}{m}\right)\in B.$ 由 $B$ 的定义有 $$\left(b-\frac{1}{m}\right)^2\gt2,$$ 于是 $$b^2-\frac{2b}{m}+\frac{1}{m^2}\gt2,$$ 只要 $$b^2-\frac{2b}m+\frac1{m^2}\gt b^2-\frac{2b}m\gt 2$$ 即 $$m\gt\frac{2b}{b^2-2}且m\gt\frac{1}{b}$$ 即可. 由阿基米德公理知这样的 $m$ 总是存在的. 故 $B$ 中无最小数. 证毕.
-
-在前两种情况中，我们说这个划分确定了一个有理数；在第三种情况中，我们得到了有理数域的“空隙”，我们称所有满足第三种情况的划分确定了所有的 **无理数**，此时称这个无理数为这组分划的**界数**. 有理数可以写成分数的形式，但无理数一般没有这种简易的、有限的记法，但一般地，我们可以把这个无理数理解为确定它的有理数域中的分划 $A|B$.
-
-一个有理数 $r$ 与一个前两类分划对应，为了保持这种对应的唯一性，我们约定：$r$ 是这个分划上组的最小数。如果我们承认这个约定，就可以用“有理数域上的所有分划所确定的数全体”来定义**实数**；换句话说，实数就是有理数和无理数的总称.
-## 7. 实数域的序
-
-我们称两个实数 $\alpha$ 与 $\beta$ 相等，如果确定它们所用的有理数域上的分划 $A|B$ 与 $A'|B'$ 满足：$A=A'$ 且 $B=B'$，实际上只要有 $A=A'$ 就必有 $B=B'$；称 $\alpha \geqslant \beta$ 如果 $A'\subset A$，或 $B\subset B'.$ 小于等于同样作为派生的概念而出现. 如果 $\alpha\geqslant\beta$ 且 $\alpha\neq\beta$, 则称 $\alpha\gt\beta$.
-现在证明实数均能满足以下两条性质.
-1. 任一对实数 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间必有且仅有下列三种关系之一：$$
-\alpha=\beta,\ \alpha\gt\beta,\ \beta\gt\alpha.
-$$ 若确定 $\alpha$ 的分划 $A|B$ 与确定 $\beta$ 的分划 $A'|B'$ 重合，则 $\alpha=\beta$. 若非如此，则或 $A'$ 是 $A$ 的真子集（从而 $\alpha\gt\beta$），或 $A$ 是 $A'$ 的真子集（从而 $\beta\gt\alpha$）. 
-2. 由 $\alpha\gt\beta$ 及 $\beta\gt\gamma$ 推得 $\alpha\gt\gamma$. 设 $\alpha,\beta,\gamma$ 分别由分划 $A|A', B|B', C|C'$ 来确定, 由于 $\alpha\gt\beta$，得 $A$ 真包含 $B$; 又由 $\beta\gt\gamma$, 得 $B$ 真包含 $C$, 故 $A$ 真包含 $C$, 从而 $\alpha\gt\gamma$.
-
-## 8. 辅助命题
-
-现在我们来建立实数域的**稠密性**；更准确地，我们将证明以下论断：
-
-**引理 1** 对于任意两个实数 $\alpha\gt\beta$，它们中间一定有一个有理数 $r.$
-
-**证** 若 $\alpha$ 与 $\beta$ 均为无理数. 设确定 $\alpha$ 和 $\beta$ 的有理数域上的分划分别为 $A|A'$ 和 $B|B'$，则有 $B\subsetneq A,A'\subsetneq B'.$ 取 $r\in A\backslash B$，则 $r\in B'$，由分划的定义及无理数的假设，有 $r\lt\alpha$ 及 $r\gt\beta$.
-
-若 $\alpha$ 和 $\beta$ 中有一个无理数、一个有理数，不妨设 $\alpha$ 为无理数，同样设出两数的分划. 取 $r\in B'\backslash (A'\cup\{\beta\})$，则 $r\in A$，故 $r\lt\alpha$ 且 $r\gt\beta$.
-若 $\alpha$ 与 $\beta$ 均为有理数，结论显然成立. 证毕.
-
-**引理 2** 设给定两个实数 $\alpha$ 和 $\beta$. 如果任取一个数 $e\gt0,$ 数 $\alpha$ 及 $\beta$ 都能位于一对有理数 $s,s'$ 之间，即：$$s'\gt\alpha\gt s,\quad s'\gt\beta\gt s,$$ 这对数的差小于 $e$，即：$$s'-s\lt e.$$ 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 必相等.
-
-**证** 用反证法. 设 $\alpha\gt\beta,$ 由引理 $1$ ，在 $\alpha$ 和 $\beta$ 之间存在两个有理数 $r$ 与 $r'\gt r$，即：$$\alpha\gt r'\gt r\gt \beta.$$ 于是对任意两有理数 $s$ 与 $s'$，当 $s'\gt\alpha\gt\beta\gt s$ 时，有 $$s'\gt r'\gt r\gt s,$$ 由此 $$s'-s\gt r'-r\gt0,$$ 因此差 $s'-s$ 不能小于数 $e=r'-r,$ 与条件矛盾，故引理成立.
-## 9. 用无限小数表示实数
-
-现在我们考虑这样的实数表示方法, 即其分数部分（尾数）是正的, 而同时, 其整数部分可以为正的、负的或者零.
-首先假定被考察的实数 $\alpha$ 并非整数, 亦非有限的十进制小数. 现在来求它的十进制小数的近似值. 若 $\alpha$ 被分划 $A|A'$ 确定, 则 $A$ 中必有整数 $M$, 又在 $A'$ 中亦必有整数 $N\gt M$. 在 $M$ 上不断加 $1$, 最终必能得出这样两个相邻的整数 $C_0$ 及 $C_0+1$, 使得$$
-C_0\lt\alpha\lt C_0+1.
-$$ 其中 $C_0$ 可以为正的、负的或者零.
-用数$$
-C_0.1;\,C_0.2;\cdots\,,C_0.9
-$$ 分割区间 $(C_0, C_0+1)$, 则 $\alpha$ 比（且仅）落在其中一个区间内, 从而我们可以得到两个相差 $\displaystyle\frac 1{10}$ 的数 $c_1$ 及 $c_1+\dfrac 1{10}$, 且有$$
-C_0.c_1\lt\alpha\lt C_0.c_1+\frac1{10}.
-$$ 这样继续分下去, 在确定数码 $c_1, c_2, \cdots, c_{n-1}$ 后, 我们就用不等式$$
-C_0.c_1c_2\cdots c_n\lt\alpha\lt C_0.c_1c_2\cdots c_n+\frac{1}{10^n}\tag{1}
-$$ 来确定第 $n$ 位数码 $c_n$.
-这样, 在求数 $\alpha$ 的十进制小数的近似值的过程中, 我们求得整数 $C_0$ 及数码 $c_1, c_2,\cdots, c_n, \cdots$ 的无限序列. 由此组成的无限小数, 即记号$$
-C_0.c_1c_2\cdots c_n\cdots\tag{2}
-$$ 可以看成是实数 $\alpha$ 的一种表示.
-在例外的情况中, 即当 $\alpha$ 本身就是整数或有限小数, 亦可以用相似的方法由比 $(1)$ 更普遍的关系式$$
-C_0.c_1c_2\cdots c_n\leqslant \alpha\leqslant C_0.c_1c_2\cdots c_n+\frac1{10^n}\tag{1a}
-$$ 来确定整数与各位数码. 然而, 到某时, $\alpha$ 会与包含它的区间的某一端重合, 从而使得上述的不等式中有一个等号在接下来的任意多次操作中成立, 这时 $\alpha$ 就有了两种表示, 一种是用零循环, 一种是用 $9$ 循环, 例如$$\begin{aligned}3.826=3.826\ 000\cdots=3.825\ 999\cdots,\\-3.826=\overline{4}.174\ 000\cdots=\overline{4}.173\ 999\cdots.\end{aligned}$$
-
-反之, 若设任给一无限十进制小数 $(2)$; 我们要证明总可以找到一个实数 $\alpha$, 刚好是被这个小数所表示的. 为此, 我们来考察小数 $(2)$ 的一段:$$
-C_n = C_0.c_1c_2\cdots c_n,\tag{3}
-$$ 把它作为所求数的“亏近似值”, 同样把$$C_n'=C_0.c_1c_1\cdots c_n+\frac1{10^n}\tag4$$ 
-作为其“盈近似值”. 不难看出, 每一 $C_n$ 小于每一 $C_m'$. 现在我们用如下方法来确定有理数域的一个分划: 把大于一切 $C_n$ 的有理数 $a'$ 放在上组 $A'$ 内，而把一切余下的数放在 $A$ 组内. 容易验证, 这个分划确定了我们所要求的实数 $\alpha$. 实际上, 若这个分划确定了数 $\alpha$, 则其一切满足 $$C_n\leqslant\alpha\leqslant C_n',$$ 这就证明了这个无限十进制小数所确定的数与这个分划所确定的数相同.
-盈近似值和亏近似值之间的差等于 $\dfrac 1{10^n}$, 随着 $n$ 的增大, 这个差可以小于任何有理数 $e\gt 0$. 事实上, 因不超过 $\dfrac 1 e$ 的自然数仅有有限多个, 故不等式 $10^n\leqslant\dfrac 1 e$ 仅对有限多个自然数 $n$ 成立, 从而对于其他的 $n$ 成立 $$\frac1{10^n}\lt e.$$ 故由引理 $2$, 知表达式 $(2)$ 能且只能确定唯一的一个实数.
-
-## 10. 实数域的连续性
-
-现在考察实数域的一个极重要的性质，这种性质使实数域在本质上有别于有理数域. 在考察有理数域的分划的时候，我们已经看到，有理数域上的分划可以产生不属于有理数的数，即无理数，这使得有理数域并不完备. 现在我们把无理数也加入到这个域当中去，形成了实数域，自然需要再考察实数域上的分划. 类似地，把实数域分拆成两个集合 $A$ 和 $B$，称这种分拆为一种分划，如果它满足：
-1. 每个实数在且仅在 $A,B$ 两集合中的一个内；
-2. 集合 $A$ 中的每个数 $\alpha$ 小于集合 $B$ 中的每个数 $\beta.$
-
-记这个分划为 $A|B$. 那么，实数域是否和有理数域一样，存在一个（或一些）分划，使得其产生的数不属于实数呢？
-事实上，下面这个定理保证了实数域上的分划不会产生新的数.
-
-**基本定理（戴德金）** 实数域内任一分划 $A|B$ 必产生一个实数 $\gamma,$ 且这个数或是 $A$ 的最大数，或是 $B$ 的最小数.
-
-这个性质常称为实数域的**完备性**或**连续性**.
-
-**证** 将 $A$ 中一切有理数组成的集合记为 $\mathcal A$，$B$ 中一切有理数的集合记为 $\mathcal B.$ 显然 $\mathcal A|\mathcal B$ 构成有理数域上的一个分划，从而会产生一个实数 $\alpha.$ 显然 $\alpha$ 或属于 $A$ 或属于 $B$. 
-若 $\alpha \in A$，可以证明，$\alpha$ 是 $A$ 中的最大数. 实际上，若不然，则存在 $\alpha_0\in A$ 满足 $\alpha_0\gt\alpha.$ 由引理 1，存在有理数 $r$ 满足 $\alpha_0\gt r\gt \alpha.$ 则 $r\in A$，从而 $r\in\mathcal A$，这与有理数域上的分划的定义相违背，故 $\alpha$ 是 $A$ 中的最大数.
-若 $\alpha\in B$，类似地，可以证明 $\alpha$ 是 $B$ 中的最小数. 若不然，则存在 $\alpha_1\in B$ 满足 $\alpha_1\lt\alpha$. 由引理 1，存在有理数 $s$ 满足 $\alpha\gt s \gt\alpha_1$，则 $s\in\mathcal B$，这与有理数域上的分划的定义相违背，故 $\alpha$ 是 $B$ 中的最小数.
-
-## 11. 数集的界
-
-我们应用基本定理，在这里建立一些现代分析当中担任重要角色的概念.
-
-设有实数一个无限集, 其中所有元素满足条件 $P$, 集内的任一数记为 $x$, 因此 $x$ 所代表的是集合内一般的数, 诸数 $x$ 所成的集合记为 $\chi=\{x|P(x)\}$. 若条件 $P$ 根据上下文能明显得知, 则这个数集可以记为 $\{x\}$. 在后一种记法中, $x$ 往往是某个表达式, 而该集合即为这个表达式（根据上下文意思）所能取得所有值构成的集合.
-
-若对集合 $\{x|P(x)\}$ 有这样的数 $M$ 存在，使得一切 $x\leqslant M$，则称这个集合**上有界**，$M$ 为其一个**上界**. 类似地，若有这样的数 $m$ ，使得一切 $x\geqslant m$，则称这个集合**下有界**， $m$ 为其一个**下界**.
-
-若数集不上（下）有界，则称“广义的数” $+\infty$（$-\infty$）为它的上（下）界. 对于这两个“广义的数”，有 $$-\infty\lt+\infty\qquad 及 \qquad-\infty\lt\alpha\lt+\infty,$$只要 $\alpha$ 是 “有限的” 实数.
-
-若一个数集上有界，则称其上界中最小的那个为**上确界**；类似地，若一个数集下有界，则称其下界中最大的那个为**下确界**. 自然，上（下）确界的存在性就成了问题，即我们需要知道，对于任意一个上（下）有界的数集，它是否一定有上（下）确界. 下面这个定理保证了确界的存在性.
-
-**确界存在定理** 若集 $\chi=\{x|P(x)\}$ 上（下）有界，则它必有上（下）确界.
-
-**证** 只用证上确界的情况. 考察两种情形：
-1. 在集合 $\chi$ 中有最大数 $\overline x$. 那么，$\overline x$ 为 $\chi$ 的一个上界；另一方面，若 $M$ 也为 $\chi$ 的一个上界，由于 $\overline x\in\chi$，有 $\overline x\leqslant M$，故 $\overline x$ 为 $\chi$ 的上确界.
-2. 若集合 $\chi$ 中无最大数. 取这样一种分划，其中上组 $B$ 为 $\chi$ 的上界全体，下组 $A$ 为其他所有实数组成的集合. 故 $\chi\subset A.$ 由基本定理，或 $A$ 中有最大数，或 $B$ 中有最小数. 若 $A$ 中有最大数 $\alpha$，则对于所有 $x\in\chi$ 有 $x\leqslant\alpha$，即 $\alpha$ 是 $\chi$ 的一个上界，故 $\alpha\in B$，这与 $A|B$ 是一个分划矛盾，故 $A$ 中无最大数，必有 $B$ 中有最小数，即 $\chi$ 有上确界.
-
-故 $\chi$ 必有上确界.
-
-数集 $\chi$ 的上确界是 $M^*$ 及下确界是 $m^*$ 常用以下符号来表示：$$M^*=\sup \chi=\sup\{x|P(x)\},m^*=\inf\chi=\inf\{x|P(x)\}.$$
-关于上下确界, 有两个显然的推论:
-1. 若某数集 $\chi$ 中一切数 $x$ 满足不等式 $x\leqslant M$, 则必有 $\sup\chi\leqslant M.$
-2. 若某数集 $\chi$ 中一切数 $x$ 满足不等式 $x\geqslant m$, 则必有 $\inf\chi\geqslant m.$
-
-最后, 我们约定: 若数集 $\chi=\{x|P(x)\}$ 没有上界, 则称其上确界为 $+\infty$, 记为 $\sup\chi=+\infty$; 类似地, 若数集 $\chi=\{x|P (x)\}$ 没有下界, 则称其下确界为 $-\infty$, 记为 $\inf\chi=-\infty$.
-
-# $\S3.$ 实数的算术运算
-## 12. 实数的和的定义
-
-下面 $\alpha,\beta,\gamma$ 表示实数.
-先考察有理数 $a,a'$ 及 $b,b'$，它们满足不等式：$$a\lt\alpha\lt a',b\lt\beta\lt b'.\tag{1}$$ 如果实数 $\gamma$ 位于一切形如 $a+b$ 的和与一切形如 $a'+b'$ 的和之间，即：$$a+b\lt\gamma\lt a'+b'\tag{2}$$ 则称 $\gamma$ 为数 $\alpha$ 及 $\beta$ 的和，记为 $\alpha+\beta.$
-
-现在需要证明这样的 $\gamma$ 的存在性.
-
-考察一切可能的和 $a+b$ 所成的集合 $\{a+b\}.$ 这个集合是有上界的，因为 $a'+b'\gt a+b$，故由确界存在定理，设 $$\gamma=\sup\{a+b\}.$$则 $a+b\leqslant\gamma$. 同时，有 $\gamma\leqslant a'+b'.$ 
-
-两端的等号实际上无法取到, 因为在$(1)$中, 我们总能把 $a,b$ 增大而把 $a',b'$ 减小, 使得条件$(1)$仍然满足, 故 $\gamma$ 存在.
-
-接下来要证明唯一性. 我们应用引理 2, 选取有理数 $a,a',b,b'$ 使 $$0\lt a'-a\lt e,0\lt b'-b\lt e,$$其中 $e$ 为任意小的正有理数. 由此，$$(a'+b')-(a+b)\lt 2e,$$即这个差能任意小, 所以数 $\gamma$ 唯一. 
-
-这样定义出来的加法与有理数域上的加法是相容的.
-
-## 13. 加法的性质
-
-容易证明，实数的加法仍然保持下列性质：
-$\qquad\text{II}\,1^\circ\quad\alpha+\beta=\beta+\alpha;$ 
-$\qquad\text{II}\,2^\circ\quad(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma);$
-$\qquad\text{II}\,3^\circ\quad\alpha+0=\alpha.$
-$\text{II}\,1^\circ$ 由实数加法的定义及有理数加法的交换性可以得出; $\text{II}\,2^\circ$ 由定义及有理数加法的结合律可以得出. 下面证明 $\text{II}\,3^\circ.$
-考虑任意四个有理数 $a,a',b,b'$ 满足：$$a\lt\alpha\lt a',\quad b\lt0\lt b',$$则显然 $$a+b\lt a\lt \alpha \lt a' \lt a'+b'.$$这样, $\alpha$ 位于 $a+b$ 和 $a'+b'$ 之间; 依据加法的定义, 又有 $\alpha+0$ 也位于 $a+b$ 和 $a'+b'$ 之间. 由和的唯一性, 有 $\alpha=\alpha+0.$ 
-现在证明性质 $\text{II}\,4^\circ$, 即对于一个实数 $\alpha$, 存在着（对称于它的）数 $-\alpha$，满足条件 $\alpha+(-\alpha)=0.$
-只用证明 $\alpha$ 为无理数的情形即可.
-假定 $\alpha$ 由有理数域上的分划 $A|B$ 所确定, 我们用下面这个方法来确定 $-\alpha.$ 我们取一切有理数 $-b$ 组成的集合作为 $-\alpha$ 的下组 $\overline A$, 其中 $b\in B$; 类似地，取一切有理数 $-a$ 组成的集合作为 $-\alpha$ 的上组 $\overline B$, 其中 $a\in A.$ 这样能确定一个实数 $-\alpha$. 下证它满足条件. 
-对一切 $a\in A,b\in B$，有 $a\lt\alpha\lt b$，且由于 $-a\in \overline B,-b\in\overline A$，有 $-b\lt-\alpha\lt-a.$ 故 $$a-b\lt\alpha+(-\alpha)\lt b-a.$$又有 $$a-b\lt0\lt b-a,$$由和的唯一性知 $$\alpha+(-\alpha)=0.$$
-最后证明性质 $\text{II}\,5^\circ$ 由 $\alpha\gt\beta$ 推得 $\alpha+\gamma\gt\beta+\gamma.$
-由引理 1，可以在 $\alpha$ 和 $\beta$ 中间插入两个有理数 $r_1,r_2$ 满足 $\alpha\gt r_1\gt r_2\gt\beta.$ 由引理 2，对于有理数 $e=r_1-r_2$，存在有理数 $c,c'$ 满足 $$c\lt\gamma\lt c',c'-c\lt e=r_1-r_2.$$由此 $$r_1+c\gt r_2+c',$$由和的定义有 $$\alpha+\gamma\gt r_1+c\gt r_2+c'\gt\beta+\gamma.$$
-得证.
-由以上五条性质，我们可以模仿有理数，建立起实数域上的减法和绝对值的概念.
-
-## 14. 实数的积的定义
-
-现在考虑实数域内的乘法. 先考察正数的乘法. 设 $\alpha$ 和 $\beta$ 为两正数, 类似加法, 我们在此也考察满足不等式 $(1)$ 的一切可能的正有理数, 即正有理数 $a,a'$ 及 $b,b'$ 满足$$
-a\lt\alpha\lt a',b\lt\beta\lt b'$$
-我们称位于一切形如 $ab$ 的积与一切形如 $a'b'$ 的积之间的实数 $\gamma$, 即满足 $$ab\lt\gamma\lt a'b',\tag{3}$$的实数 $\gamma$ 为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的积，记为 $\alpha\beta.$
-仍然需要讨论这个积的存在性和唯一性.
-取一切可能的积 $ab$ 组成的集合 $\{ab\}$, 它有上界 $a'_0b'_0$, 故有上确界, 记为 $$\gamma=\sup\{ab\},$$故 $ab\leqslant\gamma$, 同时有 $\gamma\leqslant a'b'$, 类似地, 两边的等号总是取不到, 故这样的数存在.
-任取正有理数 $e$, 选取正有理数 $a,a'$ 及 $b,b'$ 满足 $$0\lt a'-a\lt e,\quad 0\lt b'-b\lt e,$$显然可以取到 $a'\lt a'_0,\ b'\lt b'_0$，故 $$a'b'-ab=a'(b'-b)+b(a'-a)\lt (a_0'+b_0')e,$$由引理 2, 数 $\gamma$ 唯一.
-上述定义与有理数的积是相容的.
-最后是对一般实数的积的定义. 首先约定, 不论 $\alpha$ 是怎样的实数, 恒有 $$0\cdot \alpha=\alpha\cdot0=0.$$若两乘数都不是零，根据符号规则，置：
-$\alpha\cdot\beta=|\alpha||\beta|$，若 $\alpha$ 和 $\beta$ 同号；
-$\alpha\cdot\beta=-|\alpha||\beta|$，若 $\alpha$ 和 $\beta$ 异号.
-
-## 15. 乘法的性质
-
-实数的乘法和有理数的乘法一样，有以下这些性质：
-$\qquad\text{III}\,1^\circ\quad\alpha\cdot\beta=\beta\cdot\alpha$；
-$\qquad\text{III}\,2^\circ\quad(\alpha\cdot\beta)\gamma=\alpha\cdot(\beta\cdot\gamma)$；
-$\qquad\text{III}\,3^\circ\quad\alpha\cdot1=\alpha.$
-$\qquad\text{III}\,4^\circ\quad$ 对于任一不为零的实数 $\alpha$，必有（倒）数 $\dfrac{1}{\alpha}$ 存在，满足 $$\alpha\cdot\frac{1}{\alpha}=1.$$
-$\qquad\text{III}\,5^\circ\quad(\alpha+\beta)\gamma=\alpha\cdot\gamma+\beta\cdot\gamma.$
-$\qquad\text{III}\,6^\circ\quad$ 由 $\alpha\gt\beta$ 及 $\gamma\gt0$ 推得 $\alpha\cdot\gamma\gt\beta\cdot\gamma.$
-
-下面证明 4. 只需对无理数 $\alpha$ 证明, 先设 $\alpha\gt 0$. 若 $\alpha$ 由分划 $A|B$ 确定, 我们依照下面的方法来构造确定 $\dfrac 1\alpha$ 的分划. 
-
-我们把一切负有理数, 零, 及一切 $\dfrac 1 b$ 放入下组 $\tilde A$ 中, 其中 $b\in B$; 把一切 $\dfrac 1 a$ 放入上组 $\tilde B$ 中, 其中 $a\in A$. 这样, $\tilde A|\tilde B$ 构成一个分划, 设其确定的数为 $\beta$.
-
-由上面的构造, 我们有以下不等式成立: $$a\lt\alpha\lt b,\ \frac1b\lt\beta\lt\frac1a,$$则$$\frac ab\lt\alpha\beta\lt\frac ba$$又有$$\frac ab\lt1\lt\frac ba$$故 $\alpha\beta=1$, 记 $\beta=\dfrac1a$. 根据引理 2 容易证明其唯一性.
-
-对于非正数, 仅需注意符号规则即可. 由倒数的定义, 我们还可以定义出实数的除法来.
-
-## 16. 阿基米德公理
-
-阿基米德公理对实数仍然是成立的.
-1. 对不论怎样的实数 $\gamma$, 必有大于 $\gamma$ 的自然数 $n$ 存在.
-
-只要在确定 $\gamma$ 的分划的上组中任找一有理数, 再加上有理数的阿基米德公理即可证明这一点.
-
-## 17. 绝对值
-
-首先证明 $|\alpha|\lt\beta$ 相当于 $-\beta\lt\alpha\lt\beta.$ 实际上, 由 $|\alpha|\lt\beta$ 推得 $\alpha\lt\beta$ 及 $-\alpha\lt\beta$ （即 $\alpha\gt-\beta$）同时成立. 反之, 若已给定 $\alpha\lt\beta$ 及 $\alpha\gt-\beta$, 则必同时有 $\alpha\lt\beta$ 及 $-\alpha\lt\beta$; 而在 $\alpha$ 及 $-\alpha$ 中有一个为 $|\alpha|$, 故 $|\alpha|\lt\beta$.
-类似地, 有$$|\alpha|\leqslant\beta\ \text{ 等价于 }-\beta\leqslant\alpha\leqslant\beta\tag1$$
-再证明不等式$$|\alpha+\beta|\leqslant|\alpha|+|\beta|.\tag2$$将下面两个不等式的三边分别相加$$-|\alpha|\leqslant\alpha\leqslant|\alpha|\ \text{及}\ -|\beta|\leqslant\beta\leqslant|\beta|,$$得$$-(|\alpha|+|\beta|)\leqslant\alpha+\beta\leqslant|\alpha|+|\beta|,$$由不等式$(1)$知不等式$(2)$成立.
-
-利用数学归纳法可以把它推广到任意个加数的情形:$$|\alpha+\beta+\cdots+\gamma|\leqslant|\alpha|+|\beta|+\cdots+|\gamma|.$$
-
-在不等式$(2)$中把 $\beta$ 换成 $-\beta$ 得$$|\alpha-\beta|\leqslant|\alpha|+|\beta|.$$因为 $\alpha=(\alpha+\beta)-\alpha,$ 故 $|\alpha|\leqslant|\alpha+\beta|+|\beta|,$ 或$$|\alpha+\beta|\geqslant|\alpha|-|\beta|.$$同理有$$|\alpha-\beta|\geqslant|\alpha|-|\beta|.$$
-因为同时有$$|\beta|-|\alpha|\leqslant|\beta-\alpha|=|\alpha-\beta|,$$所以由不等式$(1)$得$$||\alpha|-|\beta||\leqslant|\alpha-\beta|.$$
-
-# $\S4.$ 实数的其他性质及应用
-
-## 18. 根的存在 以有理数为指数的幂
-
-在得到实数乘法（及除法）的定义之后, 实数的正整数（及负整数）幂的定义也很容易得到了. 接下来要考虑的就是有理数指数幂应当如何定义. 不过在此之前, 我们需要先叙述一下根的存在问题.
-
-我们早已知道, 哪怕是以 $2$ 为其平方的数这种简单的数都无法在有理数域中得到其解, 因而扩充有理数域成为某种必要. 那么, 在现在已经扩充了的实数域中, 我们要更一般地探讨 $n$ 次方根的存在性是如何被构建的.
-
-设 $\alpha$ 是任一实数, $n$ 为自然数. 若实数 $\xi$ 是 $\alpha$ 的 $n$ 次方根, 则有 $$\xi^n=\alpha.$$不妨先假设 $\alpha$ 和 $\xi$ 都是正数, 称 $\xi$ 为 $\alpha$ 的算术 $n$ 次方根. 我们要证明, 这样的 $\xi$ 有且仅有一个. 
-
-若存在一有理数 $r$ 使得 $r^n=\alpha$, 则结论成立. 若不存在, 考虑这样一种分划 $X|Y$, 其中下组 $X$ 包含了一切负有理数、零及其 $n$ 次方小于 $\alpha$ 的所有有理数, 上组 $Y$ 包含了其他的数. 显然两个集合都是非空的.
-
-设 $\xi$ 为分划 $X|Y$ 所确定的实数, 下证 $\xi^n=\alpha.$ 
-
-任取有理数 $x,y$ 满足 $x\lt\xi\lt y$, 则由实数乘法的定义有$$x^n\lt\xi^n\lt y^n.$$而 $x\in X$, $y\in Y$, 故有$$x^n\lt\alpha\lt y^n.$$任意固定某一个 $y_0$ 满足上述条件, 由于 $y-x$ 可以小于任意正有理数 $e$, 故$$y^n-x^n=(y-x)(y^{n-1}+xy^{n-2}+\cdots+x^{n-1})\lt e\cdot ny_0^{n-1}.$$由引理 2, 有 $\xi^n=\alpha$, 记 $\xi=\sqrt[n]\alpha$ 或 $\xi=\alpha^{\frac1n}$.
-
-唯一性由实数乘法的不等式性质容易得到. 
-
-如果 $\xi$ 是 $\alpha^m$ 的 $n$ 次方根, 则 $\xi^n=\alpha^m$ 或 $\xi=(\alpha^m)^\frac1n$, 简记为 $\xi=\alpha^\frac mn$. 这就是有理数幂的定义.
-
-## 19. 以任意实数为指数的幂
-
-现在定义任意（正）实数 $\alpha$ 的 $\beta$ 次幂, 其中 $\beta$ 亦为任意实数. 取有理数 $b, b'$ 满足 $b\lt\beta\lt b'$, 则若 $\alpha\gt1$, 有$$\alpha^b\lt\alpha^{b'}.$$称落于所有 $\alpha^b$ 和 $\alpha^{b'}$ 之间的数 $\gamma$ 为 $\alpha$ 的 $\beta$ 次幂, 记为 $\gamma=\alpha^\beta.$ 
-
-若 $0\lt\alpha\lt1$, 则定义 $\alpha^\beta=\left(\dfrac1\alpha\right)^{-\beta}$. 因此下面只讨论 $\alpha\gt1$ 的情况.
-
-接下来要证明这样的 $\gamma$ 的存在性与唯一性. 集合 $\{\alpha^b\}$ 是有上界的, 因为任意一个 $\alpha^{b'}$ 就是它的上界, 因此, 若取$$\gamma=\sup_{b\lt\beta}\{\alpha^b\}$$对于这样一个数将有$$\alpha^b\leqslant\gamma\leqslant\alpha^{b'}.$$事实上, 上述不等式两边的等号都是取不到的, 因为我们总是可以增大 $b$ 或者减小 $b'$ 而使不等式 $b\lt\beta\lt b'$ 仍然成立. 这样, $\gamma$ 这个数满足上述定义.
-
-下证唯一性. 令 $\gamma=\alpha^\frac1n\gt1$, 则由伯努利不等式得$$\alpha^\frac1n-1=\gamma-1\lt\frac{\gamma^n-1}{n}=\frac{\alpha-1}{n}\tag3.$$对任意正整数 $n$, 我们选取 $b$ 和 $b'$, 使得 $b'-b\lt\dfrac1{n}$, 则有$$\alpha^{b'}-\alpha^b=\alpha^b(\alpha^{b'-b}-1)\lt\alpha^b(\alpha^\frac1{n}-1)\lt\alpha^b\frac{\alpha-1}{n}.$$任取一个固定的 $b_0'$, 有 $b\lt b_0'$, 我们取$$n=\left\lfloor\frac{\alpha^{b'_0}(\alpha-1)}{\varepsilon}\right\rfloor+1,$$其中 $\varepsilon$ 为任意正数, 则有$$\alpha^{b'}-\alpha^b\lt\varepsilon.$$由引理 2 知 $\gamma$ 的唯一性. 容易证明实数的实数次幂也符合关于幂的一些运算性质.

笔记分享/狄利克雷判别法.md

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-> [!info] 定理 函数极限的柯西收敛准则
-> 极限 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 收敛当且仅当对于任意 $\varepsilon\gt0$, 存在 $a$ 的去心领域 $\overset \circ U(a,\delta)$, 对于任意 $x,y\in\overset \circ U(a,\delta)$, 总存在 $\varepsilon\gt0$ 使得 $|f(x)-f(y)|\lt\varepsilon$.
-
-利用极限的定义容易证明.
-<br>
-
-> [!info] 定理 反常积分的柯西收敛准则
-> 积分 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx$ 收敛当且仅当对于所有的 $A'\gt A\gt a$, 存在正数 $\varepsilon\gt0$ 成立 $$\left|\int_A^{A'}f(x)\mathrm dx\right|\lt\varepsilon.$$
-
-> [!solution] 证明
-> 记 $\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm dt$, 则积分收敛等价于 $\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)$ 收敛. 
-> 又由函数极限的柯西收敛准则, $\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)$ 收敛等价于对于任意 $A'\gt A\gt a$ 存在 $\varepsilon\gt0$ 使得 $$\displaystyle\left|\int_A^{A'}f(x)\mathrm dx\right|=|F(A')-F(A)|\lt\varepsilon,$$得证.
-
-<br>
-
-> [!info] 定理 狄利克雷判别法
-> 若 $\displaystyle F(u)=\int_a^{u}f(x)\mathrm dx$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界, 且 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上当 $x\to+\infty$ 时单调趋于 $0$, 则积分 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm dx$ 收敛.
-
-> [!solution] 证明
-> 不妨设 $g(x)$ 单调递减.
-> 设 $F(u)$ 的一个界为 $M$, 则 $|F(u)|\leqslant M.$ 对于 $A'\gt A\gt a$, 由第二积分中值定理得，存在 $\xi\in(A,A')$, 使得$$\int_A^{A'}f(x)g(x)\mathrm dx=g(A)\int_A^\xi f(x)\mathrm dx+g(A')\int_\xi^{A'}f(x)\mathrm dx,$$由牛顿-莱布尼兹公式有$$\int_A^{A'}f(x)g(x)\mathrm dx=g(A)(F(\xi)-F(A))+g(A')(F(A')-F(\xi)),$$故 $$\begin{aligned}\left|\int_A^{A'}f(x)g(x)\mathrm dx\right|&\leqslant |g(A)|(|F(\xi)|+|F(A)|)+|g(A')|(|F(A')|+|F(\xi)|)\\
-> &\leqslant2M(|g(A)|+|g(A')|).\end{aligned}$$由于 $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0$, 对于任意正数 $\varepsilon\gt0$, 存在 $X\gt a$ 成立 $|g(x)|\lt \dfrac{\varepsilon}{4M+1}.$ 
-> 取 $A'\gt A\gt X$, 则有 $$\left|\int_A^{A'}f(x)g(x)\mathrm dx\right|\lt\varepsilon.$$ 有柯西收敛准则知积分 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm dx$ 收敛.
-

笔记分享/聚点和上下极限.md

@@ -6,11 +6,11 @@
 >对于一集合$I\subset\mathbb{R}$，如果存在一点$x_0\in \mathbb{R}$,使得$\forall \delta>0$，有$\overset{\circ}{U}(x_0,\delta)\cap I\neq\varnothing$,则称$x_0$是$I$的一个**聚点**.
 
 **注：**
-1. $x_0$未必是$I$中的一个点；
-2. 一个集合$I$存在聚点$x_0$与以下两个命题等价：
+1、$x_0$未必是$I$中的一个点；
+2、一个集合$I$存在聚点$x_0$与以下两个命题等价：
 	（1）$\forall \delta>0$,在$U(x_0,\delta)$中有$I$中的无穷多个点；
 	（2）存在$I$中互异的点组成的数列$\{x_n\}$使得$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0$;
-3. 若$x_0\in I$，但它不是$I$的一个聚点，则称之为孤立点.
+3、若$x_0\in I$，但它不是$I$的一个聚点，则称之为孤立点.
 
 对聚点有如下定理：
 >[!note] 聚点原理

笔记美观计划.md

@@ -5,26 +5,11 @@
 
 'emphasize'：使字体变成橙色加粗，如：
 <span class='emphasize'>这是一段需要被强调的文字 </span>
-`<span class='emphasize'>这是一段需要被强调的文字 </span>`
 
 'danger'：它会把文字标红并加粗，用于警告，如：
 <span class="danger">这一段文字很危险</span>
-`<span class="danger">这一段文字很危险</span>`
 
-'solution'：这是一个专为解析设置的标注块（callout block）！调用方法与 example 等一样。如：
+'solution'：这是一个专为解析设置的颜色块（姑且让我这么叫它）！调用方法与 example 等一样。如：
 >[!solution] 解析示例
 
-`>[!solution] 解析示例`
-
-'def'：这是一个专门为定义设置的标注块，如：
->[!def] 定义示例
-
-`>[!def] 定义示例`
-
-'title': 小标题，居中加粗，如：<div class="title">这是一个小标题</div>
-`<div class="title">这是一个小标题</div>`
-
-'Title'：大标题，居中加粗放大，如：<div class="Title">这是一个大标题</div>
-`<div class="Title">这是一个大标题</div>`
-
 还在等什么呢，快去多学点前端的知识让我们的笔记更加漂亮吧！（雾）

素材/二阶线性微分方程.md

@@ -1,449 +0,0 @@
-%%TODO: 以下内容由AI生成，待审核补充%%
-
-# 二阶常系数线性微分方程解法讲义
-
-## 1. 标准形式
-
-二阶常系数线性微分方程的一般形式为：
-
-$$
-a y'' + b y' + c y = f(x)
-$$
-
-其中 $a \neq 0$，$a,b,c$ 为常数。若 $f(x) \equiv 0$，称为**齐次方程**；否则称为**非齐次方程**。
-
-为了方便，常将方程化为：
-
-$$
-y'' + p y' + q y = f(x)
-$$
-
-其中 $\displaystyle p = \frac{b}{a}$，$\displaystyle q = \frac{c}{a}$。
-
-## 2. 齐次方程的通解
-
-齐次方程为：
-
-$$
-y'' + p y' + q y = 0
-$$
-
-其特征方程为：
-
-$$
-r^2 + p r + q = 0
-$$
-
-根据特征根的不同情况，通解形式如下：
-
-| 特征根情况                                   | 通解形式                                                     |
-| --------------------------------------- | -------------------------------------------------------- |
-| 两个不等实根 $r_1 \neq r_2$                   | $y_h = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$                    |
-| 二重实根 $r_1 = r_2 = r$                    | $y_h = (C_1 + C_2 x) e^{r x}$                            |
-| 一对共轭复根 $r = \alpha \pm \mathrm{i}\beta$ | $y_h = e^{\alpha x} (C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$ |
-
-## 3. 非齐次方程的特解（待定系数法）
-
-对于非齐次方程 $y'' + p y' + q y = f(x)$，通解为 $y = y_h + y_p$，其中 $y_p$ 是一个特解。当 $f(x)$ 为**某些特殊形式**时，可用待定系数法设定 $y_p$ 的形式。
-
-### 3.1 $f(x) = P_m(x) e^{\lambda x}$ 型
-
-当非齐次项具有形式 $f(x) = P_m(x) e^{\lambda x}$ 时，其中 $P_m(x)$ 是一个 $m$ 次多项式，我们采用待定系数法设定特解的形式为：
-
-$$
-y_p = x^k Q_m(x) e^{\lambda x}
-$$
-
-其中 $Q_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次（即 $m$ 次）的待定多项式，$k$ 为整数，取值规则如下：
-
-- 若 $\lambda$ 不是特征根，则 $k=0$；
-- 若 $\lambda$ 是单特征根，则 $k=1$；
-- 若 $\lambda$ 是二重特征根，则 $k=2$。
-
-这一设定规则的目的是：**保证所设特解与齐次解线性无关，且代入原方程后能通过比较系数唯一确定 $Q_m(x)$ 的所有系数**。
-
----
-
-#### 为什么 $Q_m(x)$ 要与 $P_m(x)$ 同次？
-
-设 $y_p = u(x) e^{\lambda x}$，代入 $L[y] = y'' + p y' + q y$，利用微分算子性质：
-
-$$
-L[e^{\lambda x} u] = e^{\lambda x} \big[ u'' + (2\lambda + p) u' + (\lambda^2 + p\lambda + q) u \big]
-$$
-
-记 $L_\lambda[u] = u'' + (2\lambda + p) u' + (\lambda^2 + p\lambda + q) u$，则原方程变为：
-
-$$
-e^{\lambda x} L_\lambda[u] = P_m(x) e^{\lambda x} \quad \Rightarrow \quad L_\lambda[u] = P_m(x)
-$$
-
-此时 $L_\lambda$ 是一个二阶线性常系数微分算子。其系数决定了 $u$ 的最高次项在求导后是否会降低次数。
-
-- 若 $\lambda$ 不是特征根，则 $\lambda^2 + p\lambda + q \neq 0$，$L_\lambda[u]$ 中 $u$ 项系数非零，因此 $u$ 的最高次项会完整保留。要使 $L_\lambda[u]$ 为 $m$ 次多项式，$u$ 必须取 $m$ 次多项式。故设 $u = Q_m(x)$（$k=0$）。
-- 若 $\lambda$ 是单特征根，则 $\lambda^2 + p\lambda + q = 0$，但 $2\lambda + p \neq 0$。此时 $L_\lambda[u]$ 中 $u$ 项消失，变为 $u'' + (2\lambda + p) u'$。对 $u$ 的 $m$ 次项求导后得到 $(2\lambda + p) \cdot (\text{次数为 } m-1 \text{ 的项})$，故 $L_\lambda[u]$ 的最高次项为 $m-1$ 次。为了让 $L_\lambda[u]$ 能生成 $m$ 次多项式，$u$ 应取 $m+1$ 次多项式，且 $u$ 中常数项可消去，因此设为 $u = x Q_m(x)$（$k=1$），其中 $Q_m(x)$ 是 $m$ 次多项式。
-- 若 $\lambda$ 是二重特征根，则 $\lambda^2 + p\lambda + q = 0$ 且 $2\lambda + p = 0$，此时 $L_\lambda[u] = u''$。若 $u$ 为 $m+1$ 次多项式，$u''$ 为 $m-1$ 次多项式，需再提高一次，取 $u = x^2 Q_m(x)$（$k=2$）。
-
-因此，通过乘以 $x^k$，我们保证了 $L_\lambda[u]$ 恰好为 $m$ 次多项式，从而可以匹配 $P_m(x)$ 并解出 $Q_m(x)$ 的系数。
-
----
-
-#### 具体推导（以单根为例）
-
-设 $\lambda$ 是特征方程 $r^2 + p r + q = 0$ 的单根，即 $(\lambda^2 + p\lambda + q)=0$，但 $2\lambda + p \neq 0$。令 $y_p = x Q_m(x) e^{\lambda x}$，其中 $Q_m(x)$ 为 $m$ 次多项式。则 $u = x Q_m(x)$，代入 $L_\lambda[u]$：
-
-$$
-L_\lambda[u] = u'' + (2\lambda + p) u'
-$$
-
-计算 $u' = Q_m(x) + x Q_m'(x)$，$u'' = 2 Q_m'(x) + x Q_m''(x)$。于是
-
-$$
-L_\lambda[u] = (2 Q_m' + x Q_m'') + (2\lambda + p)(Q_m + x Q_m')
-$$
-
-展开后，$x Q_m''$ 和 $(2\lambda + p)x Q_m'$ 合并，$2Q_m'$ 和 $(2\lambda + p)Q_m$ 合并。注意到 $Q_m$ 是 $m$ 次多项式，$Q_m'$ 是 $m-1$ 次，$Q_m''$ 是 $m-2$ 次。因此 $L_\lambda[u]$ 中最高次项来自 $(2\lambda + p)x Q_m'$，其次数为 $m$（因为 $x \cdot (m-1 \text{次}) = m$ 次），且系数为 $(2\lambda + p) \cdot (m \cdot a_m)$，其中 $a_m$ 是 $Q_m$ 的最高次系数。由于 $2\lambda + p \neq 0$，我们可以通过调整 $a_m$ 使得 $L_\lambda[u]$ 的最高次项等于 $P_m(x)$ 的最高次项，从而逐次确定所有系数。
-
----
-
-#### 总结
-
-$k$ 的取值本质上是**避免待定多项式 $Q_m(x)$ 在代入后出现与齐次解重复的部分**，通过乘以 $x^k$ 将解的结构提升到与特征根重数一致的高度，使得最终得到的 $L_\lambda[u]$ 恰好是 $m$ 次多项式，从而可以匹配 $P_m(x)$。这一方法保证了特解的唯一性和可解性。
-
-### 3.2 $f(x) = e^{\alpha x} [P_m(x) \cos\beta x + R_n(x) \sin\beta x]$ 型
-
-当非齐次项具有如下形式时：
-
-$$
-f(x) = e^{\alpha x} \big[ P_m(x) \cos\beta x + R_n(x) \sin\beta x \big]
-$$
-
-其中 $P_m(x)$、$R_n(x)$ 分别是 $m$ 次和 $n$ 次多项式（系数可以为 $0$，因此实际可能只含 $\cos$ 或只含 $\sin$），我们采用待定系数法设定特解的形式为：
-
-$$
-y_p = x^k e^{\alpha x} \big[ S_l(x) \cos\beta x + T_l(x) \sin\beta x \big]
-$$
-
-其中：
-
-- $l = \max(m, n)$，即 $S_l(x)$ 和 $T_l(x)$ 均为 $l$ 次待定多项式；
-- $k$ 的取值规则：
-  - 若 $\alpha + \mathrm{i}\beta$ **不是**特征根，则 $k=0$；
-  - 若 $\alpha + \mathrm{i}\beta$ **是**特征根，则 $k=1$。
-
-> 注意：对于实系数常微分方程，特征根若为复数，则必成对出现。因此 $\alpha + \mathrm{i}\beta$ 是特征根时，其共轭 $\alpha - \mathrm{i}\beta$ 也是特征根，但此时重数相同，且 $k$ 只取 $1$（不会出现 $k=2$ 的情况，因为实系数方程中复根总是单根或成对出现）。  
-
----
-
-#### 为什么 $S_l$ 和 $T_l$ 要取 $l$ 次多项式？
-
-我们可以通过复指数函数将三角函数合并，从而转化为 $3.1$ 节中的指数型形式。利用欧拉公式：
-
-$$
-\cos\beta x = \frac{e^{\mathrm{i}\beta x} + e^{-\mathrm{i}\beta x}}{2}, \quad \sin\beta x = \frac{e^{\mathrm{i}\beta x} - e^{-\mathrm{i}\beta x}}{2\mathrm{i}}
-$$
-
-于是 $f(x)$ 可以写成两个复指数函数的线性组合：
-
-$$
-f(x) = e^{\alpha x} \big[ P_m(x) \cos\beta x + R_n(x) \sin\beta x \big] = e^{(\alpha + \mathrm{i}\beta)x} \Phi_l(x) + e^{(\alpha - \mathrm{i}\beta)x} \Psi_l(x)
-$$
-
-其中 $\Phi_l(x)$ 和 $\Psi_l(x)$ 是次数不超过 $l = \max(m,n)$ 的复系数多项式。这是因为合并后 $\cos$ 和 $\sin$ 会分别产生 $e^{\mathrm{i}\beta x}$ 和 $e^{-\mathrm{i}\beta x}$ 项，且多项式的次数不会超过原来两个多项式的最高次数。
-
-因此，非齐次项本质上是由两个指数函数 $e^{(\alpha+\mathrm{i}\beta)x}$ 和 $e^{(\alpha-\mathrm{i}\beta)x}$ 乘以多项式构成的。根据线性微分方程解的叠加原理，我们可以分别对这两个指数项应用 $3.1$ 节中的方法，然后取实部得到原方程的特解。
-
-对于 $e^{(\alpha+\mathrm{i}\beta)x} \Phi_l(x)$，设其特解为 $x^{k_1} Q_l(x) e^{(\alpha+\mathrm{i}\beta)x}$，其中 $k_1$ 由 $(\alpha+\mathrm{i}\beta)$ 是否为特征根决定：
-- 若不是特征根，则 $k_1=0$；
-- 若是特征根，则 $k_1=1$（在实数域中，复根必为单根，故只乘一次 $x$）。
-
-对于 $e^{(\alpha-\mathrm{i}\beta)x} \Psi_l(x)$，同理设 $x^{k_2} \tilde{Q}_l(x) e^{(\alpha-\mathrm{i}\beta)x}$。由于特征根成对出现，$(\alpha-\mathrm{i}\beta)$ 是否为特征根与前者一致，故 $k_1 = k_2$，记作 $k$。将这两部分相加，并取实部（因为原方程是实系数的，我们最终需要实值特解），得到：
-
-$$
-y_p = x^k e^{\alpha x} \big[ S_l(x) \cos\beta x + T_l(x) \sin\beta x \big]
-$$
-
-其中 $S_l(x)$ 和 $T_l(x)$ 是 $l$ 次实系数多项式。这正是我们设定的形式。
-
----
-
-#### $k$ 的取值依据
-
-$k$ 的取值直接对应于 $(\alpha+\mathrm{i}\beta)$ 是否为特征根：
-
-- 当 $\alpha+\mathrm{i}\beta$ **不是**特征根时，$e^{(\alpha+\mathrm{i}\beta)x} \Phi_l(x)$ 的特解中 $k=0$，且对应的共轭部分 $k=0$，因此整体 $k=0$。此时 $y_p$ 直接取 $e^{\alpha x}[S_l\cos\beta x + T_l\sin\beta x]$，无需乘以 $x$。
-- 当 $\alpha+\mathrm{i}\beta$ **是**特征根时，则 $e^{(\alpha+\mathrm{i}\beta)x} \Phi_l(x)$ 的特解必须乘以 $x$（即 $k=1$），同时其共轭部分也自动乘以 $x$，所以整体 $k=1$。此时 $y_p = x e^{\alpha x}[S_l\cos\beta x + T_l\sin\beta x]$。
-
-> 注意：若特征根 $\alpha\pm\mathrm{i}\beta$ 的重数大于 $1$（例如二阶常系数方程中出现二重复根，实际上只有当方程阶数大于 $2$ 时才可能），则 $k$ 应取特征根的重数。但在二阶常系数线性微分方程中，特征根为复数时只能是单根（因为二次方程的两个根要么是实根（可重），要么是共轭复根（必然单根）），故 $k$ 最大为 $1$。所以讲义中只列出 $k=0$ 或 $1$。
-
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-
-#### 为什么 $S_l$ 和 $T_l$ 必须是 $l$ 次多项式，即使 $P_m$ 和 $R_n$ 次数不同？
-
-设 $l = \max(m,n)$。在将 $f(x)$ 转化为复指数形式时，合并后 $\Phi_l(x)$ 的次数可能达到 $l$。例如，若 $m=2$，$n=0$，则 $f(x)=e^{\alpha x}[ (a_2x^2+a_1x+a_0)\cos\beta x + b_0\sin\beta x ]$，化为复指数形式后，$e^{(\alpha+\mathrm{i}\beta)x}$ 的系数为 $\frac{1}{2}(a_2x^2+a_1x+a_0) + \frac{1}{2\mathrm{i}} b_0$，这是一个二次多项式。因此，特解中 $S_l$ 和 $T_l$ 必须取 $l$ 次多项式才能匹配。
-
-即使 $P_m$ 和 $R_n$ 中有一个是零多项式，另一方的次数决定了 $l$，另一方的系数虽然为零，但 $\cos$ 和 $\sin$ 通过复指数合并后仍然会产生两个方向的多项式，因此 $S_l$ 和 $T_l$ 都需要设为 $l$ 次多项式（某些系数可能最终为零）。
-
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-
-#### 计算时的简化方法
-
-在实际计算中，不必每次都化为复指数，可以直接设出 $y_p$ 的形式，代入原方程，利用三角函数的正交性比较系数。但理解背后的原理有助于记忆 $k$ 的取值和多项式次数的选取。
-
-具体步骤如下：
-
-1. 写出特征方程，求出特征根，判断 $\alpha+\mathrm{i}\beta$ 是否为特征根。
-2. 确定 $l = \max(m,n)$，$S_l(x)$ 和 $T_l(x)$ 为 $l$ 次待定多项式（一般写作 $S_l(x) = A_l x^l + \dots + A_0$，$T_l(x) = B_l x^l + \dots + B_0$）。
-3. 根据 $k$ 的规则，写出 $y_p$ 的表达式。
-4. 代入原方程，利用 $\cos\beta x$ 和 $\sin\beta x$ 的独立性，比较同类项系数，解出所有待定系数。
-
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-
-#### 举例说明
-
-考虑 $y'' + y = \cos x$。这里 $\alpha=0,\ \beta=1$，特征根为 $r = \pm \mathrm{i}$，所以 $\alpha+\mathrm{i}\beta = \mathrm{i}$ 是特征根（单根）。$m=0,\ n$ 不存在（可视为 $n=0$ 但 $R_n\equiv0$），故 $l=0$。因此设 $y_p = x (A\cos x + B\sin x)$。代入解得 $A=0,\ B=1/2$，即 $y_p = \frac{1}{2}x\sin x$。这正是我们熟知的共振情形，特解中出现了 $x\sin x$。
-
-若 $y'' + y = \cos 2x$，此时 $\alpha=0,\ \beta=2$，$\alpha+\mathrm{i}\beta = 2\mathrm{i}$ 不是特征根，$k=0$，$l=0$，设 $y_p = A\cos 2x + B\sin 2x$，代入解出 $A=1/3,\ B=0$，得到 $y_p = \frac{1}{3}\cos 2x$。
-
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-
-#### 总结
-
-$3.2$ 节的设定规则本质上是利用复指数将三角函数转化为指数形式，从而归结为 $3.1$ 节的情况。$k$ 的取值由 $\alpha+\mathrm{i}\beta$ 是否为特征根决定，这保证了所设特解与齐次解线性无关，并且能够匹配非齐次项的形式。$S_l$ 和 $T_l$ 取 $l$ 次多项式是因为通过复指数合并后，多项式的次数不会超过 $\max(m,n)$，只有取同次多项式才能通过比较系数唯一确定。
-
-> 注意：当 $f(x)$ 仅含 $\cos$ 或仅含 $\sin$ 时，仍应按上述形式设，因为求导后两者可能相互转换。
-
-## 4. 解题步骤（待定系数法）
-
-1. 写出对应的特征方程，解出特征根，得到齐次通解 $y_h$。
-2. 根据 $f(x)$ 的形式设定特解 $y_p$ 的待定形式，注意 $k$ 的取值。
-3. 将 $y_p$ 代入原方程，比较同类项系数，解出待定系数。
-4. 写出非齐次通解 $y = y_h + y_p$。
-5. 如有初始条件，代入确定常数 $C_1,C_2$。
-
-## 5. 典型例题
-
-**例1** 求 $y'' - 3y' + 2y = e^{2x}$ 的通解。
-
-**解** 特征方程 $r^2 - 3r + 2 = 0$，根 $r=1,2$，故 $y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$。
-
-$f(x)=e^{2x}$，$\lambda=2$ 是单特征根，设 $y_p = A x e^{2x}$。
-
-代入：$y_p' = A e^{2x}(1+2x)$，$y_p'' = A e^{2x}(4+4x)$。代入方程得：
-
-$$
-A e^{2x}[(4+4x) - 3(1+2x) + 2x] = e^{2x}
-$$
-
-化简：$A e^{2x}[4+4x -3 -6x + 2x] = A e^{2x} \cdot 1 = e^{2x}$，得 $A=1$。
-
-故 $y_p = x e^{2x}$，通解 $y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + x e^{2x}$。
-
-## 6. 习题
-
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-
-### 习题 1
-
-求微分方程 $y'' + 5y' + 6y = 0$ 的通解。
-
-#### 详细解答
-
-特征方程 $r^2 + 5r + 6 = 0$，即 $(r+2)(r+3)=0$，根 $r_1=-2,\ r_2=-3$。
-
-两个不等实根，通解为：
-
-$$
-y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x}
-$$
-
-#### 题后总结
-
-这是最基础的齐次方程，直接写出特征方程并求解实根即可。注意指数上的符号。
-
----
-
-### 习题 2
-
-求微分方程 $y'' - 2y' + y = e^{x}$ 的通解。
-
-#### 详细解答
-
-**齐次解**：特征方程 $r^2 - 2r + 1 = 0$，$(r-1)^2=0$，二重根 $r=1$，故 $y_h = (C_1 + C_2 x)e^{x}$。
-
-**特解**：$f(x)=e^{x}$，$\lambda=1$ 是二重特征根，故设 $y_p = A x^2 e^{x}$。
-
-计算导数：
-
-$$
-y_p' = A (2x + x^2)e^{x},\quad y_p'' = A (2 + 4x + x^2)e^{x}
-$$
-
-代入 $y'' - 2y' + y$：
-
-$$
-A e^{x}[(2+4x+x^2) - 2(2x+x^2) + x^2] = A e^{x}[2+4x+x^2 -4x -2x^2 + x^2] = A e^{x} \cdot 2 = 2A e^{x}
-$$
-
-令 $2A e^{x} = e^{x}$，得 $A = \frac{1}{2}$。故 $y_p = \frac{1}{2}x^2 e^{x}$。
-
-**通解**：
-
-$$
-y = (C_1 + C_2 x)e^{x} + \frac{1}{2}x^2 e^{x}
-$$
-
-#### 题后总结
-
-当 $\lambda$ 是二重特征根时，特解需乘以 $x^2$。代入计算后，$x^2$ 项会完全抵消，只剩下常数项，从而解出系数。
-
----
-
-### 习题 3
-
-求微分方程 $y'' + y = 2\cos x$ 的通解。
-
-#### 详细解答
-
-**齐次解**：特征方程 $r^2 + 1 = 0$，根 $r = \pm \mathrm{i}$，$\alpha=0,\ \beta=1$，故 $y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x$。
-
-**特解**：$f(x)=2\cos x$，对应 $\alpha=0,\beta=1$。因为 $\alpha+\mathrm{i}\beta = \mathrm{i}$ 是特征根（单根），故设 $y_p = x (A\cos x + B\sin x)$。
-
-计算导数（乘积求导）：
-
-$$
-y_p' = (A\cos x + B\sin x) + x(-A\sin x + B\cos x)
-$$
-
-$$
-y_p'' = -A\sin x + B\cos x + (-A\sin x + B\cos x) + x(-A\cos x - B\sin x) = -2A\sin x + 2B\cos x - x(A\cos x + B\sin x)
-$$
-
-代入 $y'' + y$：
-
-$$
-[-2A\sin x + 2B\cos x - x(A\cos x + B\sin x)] + [x(A\cos x + B\sin x)] = -2A\sin x + 2B\cos x
-$$
-
-令其等于 $2\cos x$，比较系数得：
-
-$$
--2A = 0 \Rightarrow A=0,\quad 2B = 2 \Rightarrow B=1
-$$
-
-故 $y_p = x \sin x$。
-
-**通解**：
-
-$$
-y = C_1 \cos x + C_2 \sin x + x \sin x
-$$
-
-#### 题后总结
-
-对于三角函数形式的非齐次项，当 $\alpha+\mathrm{i}\beta$ 是特征根时，特解要乘以 $x$。计算导数时注意整理，最终 $x$ 的项会消去，留下 $\sin$ 和 $\cos$ 的线性组合。
-
----
-
-### 习题 4
-
-求微分方程 $y'' + 4y = 8x^2$ 的通解。
-
-#### 详细解答
-
-**齐次解**：特征方程 $r^2 + 4 = 0$，根 $r = \pm 2\mathrm{i}$，故 $y_h = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x$。
-
-**特解**：$f(x)=8x^2$ 是 $P_2(x) e^{0\cdot x}$ 型，$\lambda=0$。由于 $\lambda=0$ 不是特征根（特征根为 $\pm 2\mathrm{i}$），故设 $y_p = Ax^2 + Bx + C$。
-
-计算导数：$y_p' = 2Ax + B$，$y_p'' = 2A$。
-
-代入 $y'' + 4y$：
-
-$$
-2A + 4(Ax^2 + Bx + C) = 4A x^2 + 4B x + (2A + 4C)
-$$
-
-令其等于 $8x^2$，比较系数：
-
-$$
-4A = 8 \Rightarrow A = 2,\quad 4B = 0 \Rightarrow B = 0,\quad 2A + 4C = 0 \Rightarrow 4 + 4C = 0 \Rightarrow C = -1
-$$
-
-故 $y_p = 2x^2 - 1$。
-
-**通解**：
-
-$$
-y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + 2x^2 - 1
-$$
-
-#### 题后总结
-
-多项式型非齐次项，直接设同次多项式特解。注意代入后需比较常数项，解出所有系数。本例中 $B=0$，常数项非零。
-
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-
-### 习题 5
-
-求初值问题 $y'' - 2y' - 3y = 4e^{-x}$，$y(0)=1$，$y'(0)=2$ 的解。
-
-#### 详细解答
-
-**齐次解**：特征方程 $r^2 - 2r - 3 = 0$，$(r-3)(r+1)=0$，根 $r_1=3,\ r_2=-1$，故 $y_h = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}$。
-
-**特解**：$f(x)=4e^{-x}$，$\lambda=-1$ 是单特征根（因为 $r=-1$ 是特征根），故设 $y_p = A x e^{-x}$。
-
-计算导数：
-
-$$
-y_p' = A e^{-x}(1 - x),\quad y_p'' = A e^{-x}(-2 + x)
-$$
-
-代入 $y'' - 2y' - 3y$：
-
-$$
-A e^{-x}\big[(-2+x) - 2(1-x) - 3x\big] = A e^{-x}\big[-2+x -2 +2x -3x\big] = A e^{-x}(-4) = -4A e^{-x}
-$$
-
-令 $-4A e^{-x} = 4e^{-x}$，得 $A = -1$。故 $y_p = -x e^{-x}$。
-
-**通解**：
-
-$$
-y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} - x e^{-x}
-$$
-
-**代入初值**：$y(0) = C_1 + C_2 = 1$。
-
-$y' = 3C_1 e^{3x} - C_2 e^{-x} - e^{-x} + x e^{-x}$，则 $y'(0) = 3C_1 - C_2 - 1 = 2$，即 $3C_1 - C_2 = 3$。
-
-解方程组：
-
-$$
-\begin{cases}
-C_1 + C_2 = 1 \\
-3C_1 - C_2 = 3
-\end{cases}
-$$
-
-相加得 $4C_1 = 4 \Rightarrow C_1=1$，代入得 $C_2=0$。
-
-**特解**：
-
-$$
-y = e^{3x} - x e^{-x}
-$$
-
-#### 题后总结
-
-本题结合了特征根法求齐次解、待定系数法求特解（注意 $\lambda$ 是单根，乘 $x$），以及初值条件确定常数。最终解不含 $e^{-x}$ 项，因为 $C_2=0$。
-
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-
-## 7. 习题答案速览
-
-1. $y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x}$  
-2. $y = (C_1 + C_2 x)e^{x} + \frac{1}{2}x^2 e^{x}$  
-3. $y = C_1 \cos x + C_2 \sin x + x \sin x$  
-4. $y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + 2x^2 - 1$  
-5. $y = e^{3x} - x e^{-x}$

素材/（一阶）齐次微分方程与线性微分方程.md

@@ -1,192 +0,0 @@
->[!info] 定义
->一阶齐次线性微分方程是指这样形式的微分方程：$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\varphi\left(\frac yx\right)\qquad\text{或}\qquad\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\varphi\left(\frac xy\right).$$
-
-实际上，函数 $\varphi$ 可能不是以这样明确的形式给我们的. 更一般地，齐次微分方程可以这样给出：$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x,y),$$我们需要“观察”出 $f(x,y)$ 的性质，并判断它是否能被转化为 $\varphi\left(\dfrac yx\right)$. 而这种性质称为**伸缩不变性**：对于任意实数 $t$，有 $f(x,y)=f(tx,ty)$. 换句话说，如果函数 $f(x,y)$ 满足伸缩不变性，则它可以转化为 $\varphi\left(\dfrac yx\right)$. 
-解决了如何判断一个方程是否为齐次微分方程的问题，接下来我们一般地推导这类微分方程的解法。
-
-以 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\varphi\left(\dfrac yx\right)$ 为例，令 $u=\dfrac yx$，则 $y=ux, \mathrm dy = u\mathrm dx + x \mathrm du$. 故方程变为$$u+x\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=\varphi(u)\implies\frac{\mathrm du}{\varphi(u)-u}=\frac{\mathrm dx}{x}\implies\ln|x|=\int\frac{\mathrm du}{\varphi(u)-u}.$$ 故只需要算出不定积分 $\displaystyle \int\frac{\mathrm du}{\varphi(u)-u}$ 即可……吗？
-
-不对，还有可能 $\varphi(u)=u$. 如果这样，那么就有$$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\varphi\left(\dfrac yx\right)=\frac yx\implies y=Cx,$$其中 $C$ 为常数. 这是一种特殊情况，也得考虑到.
-
-接下来做几道练习题.
-
->[!example] 例题1
->求解方程$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{2x-5y+3}{2x+4y-6}.$$
-
->[!tip] 提示
->这是一个齐次方程吗？可以验证：并不是. 但它可以转化为齐次方程：因为右边分式上下都是一个直线方程，我们可以通过平移变化使它们经过原点，从而称为齐次方程.
-
->[!solution] 解
->令 $x=X+h, y=Y+k$，则原方程可以化为 $$\frac{\mathrm dY}{\mathrm dX}=\frac{2X-5Y+(2h-5k+3)}{2X+4Y+(2h+4k-6)}.$$
->为了使等式右边称为齐次式，令 $$\begin{cases}2h-5k+3=0\\2h+4k-6=0\end{cases},$$解得 $h=k=1.$ 则原方程可以转化为 $$\frac{\mathrm dY}{\mathrm dX}=\frac{2-5\frac{Y}{X}}{2+4\frac{Y}{X}}.$$令 $z=\dfrac YX$, 则 $\displaystyle X\frac{\mathrm dz}{\mathrm dX}=\frac{2-7z-4z^2}{2+4z}\implies\frac{2+4z}{2-7z-4z^2}\mathrm dz=\frac{\mathrm dX}{X}，$ 积分得 $$(z+2)^2(4z-1)=\frac C{X^3}.$$带入 $z=\dfrac YX$ 得 $$(Y+2X)^2(4Y-X)=C$$即$$(y+2x-3)^2(4y-x-3)=C.$$
-
->[!summary] 题后总结
->有时候需要做变换之后，$f(x,y)$ 才成为齐次的，从而可以用齐次方程的方法求解.
-
-%%
-TODO: 应当再补充一些习题
-%%
-
-%%以下内容由AI生成，未检查%%
-
-一阶线性微分方程具有如下标准形式：
-
-$$
-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = Q(x)
-$$
-
-其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是已知函数。当 $Q(x) \equiv 0$ 时，称为**齐次线性方程**；当 $Q(x) \not\equiv 0$ 时，称为**非齐次线性方程**。
-
-**解法的核心思想：常数变易法**
-
-常数变易法分为两步：先解对应的齐次方程，再将齐次解中的任意常数变为函数，代入非齐次方程求解。
-
-对应的齐次方程为：
-
-$$
-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = 0
-$$
-
-这是一个变量可分离方程，解为：
-$$
-y_h = C e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x}
-$$
-其中 $C$ 为任意常数。
-
-设非齐次方程的解具有形式 $\displaystyle y = u(x) e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x}$，其中 $u(x)$ 是待定函数。将 $y$ 代入原方程：
-
-首先计算导数：
-
-$$
-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u'(x) e^{-\int P\,\mathrm{d}x} + u(x) \cdot \left(-P(x)\right) e^{-\int P\,\mathrm{d}x}
-$$
-
-代入 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y$：
-
-$$
-\left[ u' e^{-\int P\,\mathrm{d}x} - P u e^{-\int P\,\mathrm{d}x} \right] + P u e^{-\int P\,\mathrm{d}x} = u' e^{-\int P\,\mathrm{d}x}
-$$
-
-右边为 $Q(x)$，因此：
-
-$$
-u' e^{-\int P\,\mathrm{d}x} = Q(x) \quad \Rightarrow \quad u'(x) = Q(x) e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}
-$$
-
-积分得：
-
-$$
-u(x) = \int Q(x) e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x + C
-$$
-
-从而非齐次方程的通解为：
-
-$$
-y = e^{-\int P\,\mathrm{d}x} \left( \int Q e^{\int P\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x + C \right)
-$$
-
-**解题步骤**
-1. 将方程化为标准形式 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = Q(x)$。
-2. 写出齐次解 $y_h = C e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x}$。
-3. 设 $y = u(x) e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x}$，代入原方程，得到 $u'(x) = Q(x) e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}$。
-4. 积分求出 $u(x)$，代回得通解。
-5. 若有初始条件，代入确定常数 $C$。
-
-<br><br>
-
->[!emample] **例1** 
->求方程 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 2xy = e^{-x^2}$ 的通解。
-
->[!solution] **解**
-这里 $P(x)=2x$，$Q(x)=e^{-x^2}$。
-齐次方程 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 2xy = 0$ 的解为 $y_h = C e^{-x^2}$。
-设 $y = u(x) e^{-x^2}$，则 $y' = u' e^{-x^2} - 2x u e^{-x^2}$。代入原方程：
-$$u' e^{-x^2} - 2x u e^{-x^2} + 2x u e^{-x^2} = e^{-x^2} \quad \Rightarrow \quad u' e^{-x^2} = e^{-x^2}$$
-所以 $u' = 1$，积分得 $u = x + C$。故通解为 $y = (x + C)e^{-x^2}$。
-
-<br>
-
->[!emample] 例2
-求解微分方程 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y = e^{-x}$。
-
->[!solution] 解
-**标准形式**：$P(x)=1$，$Q(x)=e^{-x}$。
-**齐次解**：$y_h = C e^{-x}$。
-**常数变易**：设 $y = u(x) e^{-x}$，则 $y' = u' e^{-x} - u e^{-x}$。
-代入原方程：
-$$u' e^{-x} - u e^{-x} + u e^{-x} = e^{-x} \quad \Rightarrow \quad u' e^{-x} = e^{-x} \quad \Rightarrow \quad u' = 1$$
-积分得 $u = x + C$。
-**通解**：$y = (x + C) e^{-x}$。
-
->[!summary] 题后总结
-常数变易法通过将齐次解中的常数 $C$ 替换为函数 $u(x)$，代入后消去了与齐次方程对应的项，从而简化出 $u'(x)$ 的方程。本题中 $u'$ 直接可积，过程简洁。
-
-<br>
->[!example] 例3
-求解微分方程 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - \frac{2}{x}y = x^2 \sin x$，其中 $x>0$。
-
->[!solution] 解
-**标准形式**：$\displaystyle P(x)=-\frac{2}{x}$，$Q(x)=x^2\sin x$。
-**齐次解**：$\displaystyle\int P\,\mathrm{d}x = -2\ln x$，$y_h = C e^{2\ln x} = C x^2$。
-**常数变易**：设 $y = u(x) x^2$，则 $y' = u' x^2 + 2u x$。
-代入原方程：
-$$u' x^2 + 2u x - \frac{2}{x}(u x^2) = x^2\sin x \quad \Rightarrow \quad u' x^2 + 2u x - 2u x = x^2\sin x$$
-即 $u' x^2 = x^2\sin x$，故 $u' = \sin x$，积分得 $u = -\cos x + C$。
-**通解**：$y = x^2(C - \cos x)$。
-
->[!summary] 题后总结
-本题中 $P(x)$ 导致齐次解为幂函数 $x^2$，代入后 $2u x$ 项恰好抵消，得到 $u'$ 的简单方程。注意 $x>0$ 保证了表达式的有效性。
-
-
->[!example] 例4
-求解初值问题 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y\tan x = \sin 2x$，$y(0)=1$。
-
->[!solution] 解
-**标准形式**：$P(x)=\tan x$，$Q(x)=\sin 2x$。
-**齐次解**：$\displaystyle\int \tan x\,\mathrm{d}x = -\ln|\cos x|$，故 $\displaystyle y_h = C e^{\ln|\cos x|} = C\cos x$（取 $\cos x>0$ 的区间）。
-**常数变易**：设 $y = u(x)\cos x$，则 $y' = u'\cos x - u\sin x$。
-代入原方程：
-$$u'\cos x - u\sin x + (u\cos x)\tan x = \sin 2x$$
-注意 $u\cos x \cdot \tan x = u\sin x$，所以 $-u\sin x + u\sin x$ 抵消，得到：
-$$u'\cos x = \sin 2x = 2\sin x\cos x$$
-两边除以 $\cos x$（在区间内 $\cos x \neq 0$）：$u' = 2\sin x$，积分得 $u = -2\cos x + C$。
-故通解为 $y = \cos x(-2\cos x + C) = -2\cos^2 x + C\cos x$。
-代入初值 $y(0)=1$：$1 = -2\cdot 1 + C\cdot 1 \Rightarrow C=3$。
-**特解**：$y = -2\cos^2 x + 3\cos x$。
-
->[!summary] 题后总结
-使用常数变易法时，关键一步是代入后利用 $\tan x$ 的乘积抵消掉包含 $u$ 的项。本题中初值条件用于确定常数，最终特解形式与积分因子法相同。
-
-
->[!example] 例5
-求解微分方程 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{1}{(1+x^2)^2}$。
-
->[!solution] 解
-**标准形式**：$\displaystyle P(x)=\frac{2x}{1+x^2}$，$\displaystyle Q(x)=\frac{1}{(1+x^2)^2}$。
-**齐次解**：$\displaystyle\int P\,\mathrm{d}x = \ln(1+x^2)$，故 $\displaystyle y_h = C e^{-\ln(1+x^2)} = \frac{C}{1+x^2}$。
-**常数变易**：设 $\displaystyle y = \frac{u(x)}{1+x^2}$，则 $\displaystyle y' = \frac{u'(1+x^2) - u\cdot 2x}{(1+x^2)^2}$。
-代入原方程：
-$$\frac{u'(1+x^2) - 2xu}{(1+x^2)^2} + \frac{2x}{1+x^2}\cdot\frac{u}{1+x^2} = \frac{1}{(1+x^2)^2}$$
-第二项 $\frac{2x}{1+x^2}\cdot\frac{u}{1+x^2} = \frac{2xu}{(1+x^2)^2}$，与第一项中的 $-\frac{2xu}{(1+x^2)^2}$ 抵消，得到：$$\frac{u'(1+x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{(1+x^2)^2} \quad \Rightarrow \quad u' = \frac{1}{1+x^2}$$
-积分得 $u = \arctan x + C$。
-**通解**：$\displaystyle y = \frac{\arctan x + C}{1+x^2}$。
-
->[!summary] 题后总结
-常数变易法将解的形式设为齐次解乘以 $u(x)$，代入后利用 $P(x)$ 与齐次解导数的关系，自动消去含 $u$ 的项，剩下 $u'$ 乘以齐次解的表达式等于 $Q(x)$，从而得到 $u'$ 的方程。本题中抵消后 $u'$ 的积分结果为 $\arctan x$。
-
-
->[!example] 例6
-求解微分方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \frac{1}{x}y = \frac{\ln x}{x}$，其中 $x>0$。
-
->[!solution] 解
-**标准形式**：$P(x)=\frac{1}{x}$，$Q(x)=\frac{\ln x}{x}$。
-**齐次解**：$\int P\,\mathrm{d}x = \ln x$，故 $y_h = C e^{-\ln x} = \frac{C}{x}$。
-**常数变易**：设 $y = \frac{u(x)}{x}$，则 $y' = \frac{u' x - u}{x^2}$。
-代入原方程：$$\frac{u' x - u}{x^2} + \frac{1}{x}\cdot\frac{u}{x} = \frac{\ln x}{x}$$
-即 $\displaystyle\frac{u' x - u}{x^2} + \frac{u}{x^2} = \frac{\ln x}{x}$，左边化简得 $\displaystyle\frac{u' x}{x^2} = \frac{u'}{x}$，所以：$$\frac{u'}{x} = \frac{\ln x}{x} \quad \Rightarrow \quad u' = \ln x$$
-积分得 $\displaystyle u = \int \ln x\,\mathrm{d}x = x\ln x - x + C$。
-**通解**：$\displaystyle y = \frac{x\ln x - x + C}{x} = \ln x - 1 + \frac{C}{x}$。
-
->[!summary] 题后总结
-本题中 $P(x)=\frac{1}{x}$ 导致齐次解为 $\frac{C}{x}$，代入后 $u$ 的项抵消，剩下 $u'$ 的方程，积分 $\ln x$ 需用分部积分。通解结构为齐次解加上一个特解 $\ln x - 1$。
-

编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）（解析版）.md

@@ -310,7 +310,7 @@ a_n &= \int_0^1 x (1-x)^n\mathrm dx = \int_0^1 (1-t) t^n\mathrm dt \\
 >可以看到，经过两次分部积分之后，$\int\mathrm e^x \sin x\mathrm dx$ 又一次出现了。
 >果断将它移到等式左边，直接同时除以 $2$：
 >$\int\mathrm e^x \sin x\mathrm dx=\mathrm e^x \sin x -\mathrm e^x \cos x - \int\mathrm e^x \sin x\mathrm dx\Rightarrow2\int\mathrm e^x \sin x\mathrm dx=\mathrm e^x \sin x -\mathrm e^x \cos x$
->因此 $\displaystyle\int\mathrm e^x \sin x\mathrm dx=\frac{\mathrm e^x \sin x -\mathrm e^x \cos x}{2}+C$
+>因此 $\displaystyle\int\mathrm e^x \sin x\mathrm dx=\frac{\mathrm e^x \sin x -\mathrm e^x \cos x}{2}$
 
 >[!hint] 提示
 >在进行循环式时，一般要多次求分部积分。如果你分部积了一次拿不准的话，再分部积一次，也许会有意外收获。

编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md

@@ -266,7 +266,8 @@ $$
  设 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内二阶可导，且 $f''(x) \neq 0$。
 （1）证明：对于任何非零实数 $x$，存在唯一的 $\theta(x)$ ($0<\theta(x)<1$)，使得
    $$f(x) = f(0) + x f'(x\theta(x));$$
-   （2）求$\lim\limits_{x \to 0} \theta(x).$
+   （2）求
+   $\lim\limits_{x \to 0} \theta(x).$
 
 **证明：**
 (1) 对于任何非零实数 $x$，由中值定理，存在 $\theta(x)$ $(0<\theta(x)<1)$，使得
@@ -277,7 +278,7 @@ $$
 
 如果这样的 $\theta(x)$ 不唯一，则存在 $\theta_{1}(x)$ 与 $\theta_{2}(x)$ $(\theta_{1}(x)<\theta_{2}(x))$，使得 $f'(x\theta_{1}(x))=f'(x\theta_{2}(x))$，由罗尔定理，存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi)=0$，这与 $f''(x)\neq 0$ 矛盾。所以 $\theta(x)$ 是唯一的。
 
-(2) 注意到 $f''(0)=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x\theta(x))-f'(0)}{x\theta(x)}$，又知
+(2) 注意到 $f''(0)=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x\theta(x))-f'(0)}{x\theta(x)}$，又知
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -423,13 +424,11 @@ $$
 比较两式即得结论。
 
 >[!example] 例2
-设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，又若 $f(x)$ 的图形与联结 $A(a, f(a))$，$B(b, f(b))$ 两点的弦交于点 $C(c, f(c))\,(a \leq c \leq b$)，证明在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi) = 0$。
+设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，又若 $f(x)$ 的图形与联结 $A(a, f(a))$，$B(b, f(b))$ 两点的弦交于点 $C(c, f(c))$ ($a \leq c \leq b$)，证明在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi) = 0$。
 
-**分析：**
-<img src="多次运用 微分中值定理.png" width="400" style="margin: 0 auto; display:block;">
-
-二阶导的零点就是图像的拐点，从图中能直观地看出来，函数图像的凹凸性确实发生了改变。现在的问题就是如何证明。
-首先可以很直观地看到，函数图像应当有两条与直线$AB$平行的切线，由拉格朗日中值定理也可以证明这一点。这样，$f'(x)$就在不同地方取到了相同的函数值，这就想到用罗尔定理，从而可以证明题中结论。
+**分析：**![[多次运用 微分中值定理.png]]
+	二阶导的零点就是图像的拐点，从图中能直观地看出来，函数图像的凹凸性确实发生了改变。现在的问题就是如何证明。
+	首先可以很直观地看到，函数图像应当有两条与直线$AB$平行的切线，由拉格朗日中值定理也可以证明这一点。这样，$f'(x)$就在不同地方取到了相同的函数值，这就想到用罗尔定理，从而可以证明题中结论。
 
 **解**：
 弦 $AB$ 的方程为