diff --git a/编写小组/讲义/图片/易错点10-2.png b/编写小组/讲义/图片/易错点10-2.png new file mode 100644 index 0000000..3833982 Binary files /dev/null and b/编写小组/讲义/图片/易错点10-2.png differ diff --git a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总.md b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总.md index 338c02d..a515323 100644 --- a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总.md +++ b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总.md @@ -232,7 +232,7 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数 ## Vol. 1:补药漏写dx口牙！ ->[!example] 例1 +>[!example] 例题 >设函数 $y = \ln(1 + \sin^2 x)$，求其微分 $dy$。 ``` @@ -268,7 +268,7 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数 ## Vol. 3:可去间断点的说明 ->[!example] 例2 +>[!example] 例题 >求曲线 $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 3x + 2}$ 的所有渐近线。 ``` @@ -284,7 +284,8 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数 ## Vol. 4:正项级数的判别法勿滥用 ->[!example] 例3 + +>[!example] 例题 >判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$ 的敛散性（绝对收敛、条件收敛或发散）。 ``` @@ -434,7 +435,7 @@ $y=f^{-1}(x)$，即$x = f(y)$，求$f^{-1'}$就是在求$\frac{dy}{dx}$，而$\f 所以，我们还需要将$y = f^{-1}(x)$代入，即： $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ -> [!example] 例1 +> [!example] 例题 > 求$d(\arcsin x)$ ``` @@ -464,8 +465,27 @@ $\forall \delta>0, \exists x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$有 $|f(x)|>M$，称$f 那这个是有界的吗？也不是。这就是典型的**不是无界量的无穷大**。 > [!example] 例2 -> 双子数列$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{n\cos n\pi}$ +> 双子数列$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{n\cos \frac{n\pi}{2}}$ + +![[易错点10-2.png]] +这个也是无界但不是无穷大，请自行证明。 +``` + + + + -总结：无穷大是在邻域内“一直都很大”，无界是邻域内“有很大的” + + + + + + + + + + +``` +总结：无穷大是在邻域内“一直都很大”，无界是邻域内“有很大的” \ No newline at end of file diff --git a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md index bf45c72..87a184a 100644 --- a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md @@ -226,18 +226,35 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数 **解析** -1. 构造第一个数列$\{x_n^{(1)}\}$： - 取$x_n^{(1)} = x_0 + \frac{1}{n}$（有理数），则$$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(1)} = x_0$$由于$x_n^{(1)}$是有理数，所以$D(x_n^{(1)}) = 1$，因此$$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1$$ -2. 构造第二个数列$\{x_n^{(2)}\}$： - 取$x_n^{(2)} = x_0 + \frac{\sqrt{2}}{n}$（无理数），则$$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(2)} = x_0$$由于x_n^{(2)}是无理数，所以$D(x_n^{(2)}) = 0$，因此$$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)}) = 0$$由于$$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1 \neq 0 = \lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)})$$根据海涅定理，$\lim\limits_{x \to x_0} D(x)$不存在。 - 由于$x_0$是任意一点，所以狄利克雷函数在任何点处都不存在极限。 +1. 构造第一个数列 $\{x_n^{(1)}\}$： + + 取 $x_n^{(1)} = x_0 + \frac{1}{n}$（有理数），则 + $$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(1)} = x_0$$ + + 由于 $x_n^{(1)}$ 是有理数，所以 $D(x_n^{(1)}) = 1$，因此 + $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1$$ + +2. 构造第二个数列 $\{x_n^{(2)}\}$： + + 取 $x_n^{(2)} = x_0 + \frac{\sqrt{2}}{n}$（无理数），则 + $$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(2)} = x_0$$ + + 由于 $x_n^{(2)}$ 是无理数，所以 $D(x_n^{(2)}) = 0$，因此 + $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)}) = 0$$ + + 由于 + $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1 \neq 0 = \lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)})$$ + + 根据海涅定理，$\lim\limits_{x \to x_0} D(x)$ 不存在。 + + 由于 $x_0$ 是任意一点，所以狄利克雷函数在任何点处都不存在极限。 # 考试易错点总结 ## Vol. 1:补药漏写dx口牙！ ->[!example] 例1 +>[!example] 例题 >设函数 $y = \ln(1 + \sin^2 x)$，求其微分 $dy$。 **解**： @@ -251,9 +268,11 @@ $$ dy = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx $$ 注意：不要漏写 $dx$ ！ ## **Vol.2等价无穷小问题** + 注意，等价无穷小只能用于乘除，用于加减虽然有时也会得到正确的答案，但这并不是有保证的。归根到底这是因为等价无穷小是一种**近似**，在乘除中它的近似程度还可以用，但在加减中就未必了，加减中我们需要更精确的近似方法：泰勒展开。另外重要极限也是等价无穷小的两种特殊情况。 + >[!example] 例题 ->求极限$$\lim\limits_{x\to0}\frac{tanx-sinx}{x^3}$$. +>求极限$$\lim\limits_{x\to0}\frac{tanx-sinx}{x^3}$$ **解**：如果直接用$tanx\sim x,sinx\sim x(x\to0)$的话，分子就会变成$0$，从而极限为$0$. 然而从另一个角度看，$$\lim\limits_{x\to0}\frac{tanx-sinx}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{sinx-sinxcosx}{x^3cosx}=\lim\limits_{x\to0}\frac{sinx(1-cosx)}{x^3}\cdot \frac{1}{cosx}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^2}{x^3}=\frac{1}{2}.$$ @@ -263,7 +282,7 @@ $$ dy = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx $$ ## Vol. 3:可去间断点的说明 ->[!example] 例2 +>[!example] 例题 >求曲线 $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 3x + 2}$ 的所有渐近线。 **解**： @@ -293,12 +312,13 @@ $$ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{ **结论**：曲线的渐近线为 $x = 2$ 和 $y = 1$。 ## Vol. 4:正项级数的判别法勿滥用 ->[!example] 例3 + +>[!example] 例题 >判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$ 的敛散性（绝对收敛、条件收敛或发散）。 **错误做法示范**：观察级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$，若直接对其使用比值判别法： - $$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 / 3^{n+1}}{n^2 / 3^n} = \frac{1}{3} < 1 $$ +$$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 / 3^{n+1}}{n^2 / 3^n} = \frac{1}{3} < 1 $$ 若由此断言“原级数收敛”，则犯了**滥用判别法**的错误。因为比值判别法（及比较、根值判别法）仅 @@ -432,7 +452,9 @@ $$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$ - 所以$a_n$ 发散。 ## **Vol.7 分段函数分段点处求导问题** + 分段函数分段点处无论是求导还是判断连续都必须从**左右两边的极限**分别去算，而且计算的时候一定只能**用定义**。 + >[!example] 例题 >设$f(x)=\begin{cases} \frac{2}{3}x ,\ \ x\le1 \\ x^2, \ \ x>1,\end{cases}$则$f(x)$在$x=1$处的\[ \]. >（A）左右导数都存在 （B）左导数存在，右导数不存在 @@ -441,6 +463,7 @@ $$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$ **解：**$f(1)=\frac{2}{3},f'_-(1)=\lim\limits_{x\to1^-}\frac{\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}}{x-1}=\frac{2}{3},f'_+(1)=\lim\limits_{x\to1^+}\frac{x^2-\frac{2}{3}}{x-1}=+\infty$,故左导数存在，右导数不存在，选$B$. ## **Vol.8绝对收敛级数** + 绝对收敛的级数满足加法交换律，也就是说，交换各项的顺序不会导致最后结果的改变。但条件收敛的级数是不满足交换律的，改变加法的顺序可能会导致最后结果的改变，甚至可能使原本收敛的级数变成发散级数。这一点了解就行，不会出题目给大家考。 ## Vol. 9: 反函数求导 @@ -453,7 +476,7 @@ $y=f^{-1}(x)$，即$x = f(y)$，求$f^{-1'}$就是在求$\frac{dy}{dx}$，而$\f 所以，我们还需要将$y = f^{-1}(x)$代入，即： $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ -> [!example] 例1 +> [!example] 例题 > 求$d(\arcsin x)$ 解：设$y=\arcsin x$，即$x=\sin y$，$dx=\cos y\ dy$，即$dy=\frac{dx}{\cos y}$ @@ -463,14 +486,19 @@ $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ 得$\cos y=\sqrt{1-x^2}$，综上，$dy=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$，即$d(\arcsin x)=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ ## Vol. 10: 无界与无穷大的辨析 + 很多人都觉得无界和无穷大是同一个概念，因为它们的实在是太像了：画在坐标系上都是“直指苍穹🚀”或者“飞流直下三千尺”嘛！但是，“无界”准确来说不完全是这样。要准确辨析它们，需要回到它们的**定义**上： + 无穷大的定义：$\forall M > 0, \exists \delta>0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时有$|f(x)|>M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无穷大量 + 无界量的定义：由有界的定义($\exists M > 0, \forall x \in D_f,|f(x)| 0$, $\forall \delta>0, \exists x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$有 $|f(x)|>M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无界量 + **核心区别**：无穷大是**存在某**去心邻域内**任意**$x$都大于$M$，无界是需要对**任意**邻域**存在**一个$x$使得$|f(x)|>M$ + **联系**：无穷大一定是无界量，但是无界量不一定是无穷大。 -> [!example] 例1 +> [!example] 例题 > 无穷震荡$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}}$ ![[易错点10-1.png]] @@ -478,6 +506,7 @@ $\forall \delta>0, \exists x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$有 $|f(x)|>M$，称$f 那这个是有界的吗？也不是。这就是典型的**不是无界量的无穷大**。 > [!example] 例2 -> 双子数列$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{n\cos n\pi}$ +> 双子数列$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{n\cos \frac{n\pi}{2}}$ +![[易错点10-2.png]] 总结：无穷大是在邻域内“一直都很大”，无界是邻域内“有很大的” diff --git a/编写小组/讲义/极限计算的基本方法.md b/编写小组/讲义/极限计算的基本方法.md index 86a0f37..e227386 100644 --- a/编写小组/讲义/极限计算的基本方法.md +++ b/编写小组/讲义/极限计算的基本方法.md @@ -192,8 +192,26 @@ $$\lim\limits_{x \to \infty} x(e^\tfrac{1}{x}-1)=\lim\limits_{x \to \infty } \tf # 等价无穷小求极限法 - -本质是利用已知公式进行等价无穷小因子的代换将复杂函数化简 +## 4.1 基本原理 + +在乘积和商的极限运算中，可以将复杂的无穷小量替换为等价的简单无穷小量，简化计算。 + +## 4.2 常用等价无穷小（$x\to 0$） +| 等价形式 | 条件 | +|---------|------| +| $x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x$ | 基础等价 | +| $x \sim e^x-1 \sim \ln(1+x)$ | 指数对数等价 | +| $1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ | 三角函数等价 | +| $(1+x)^a-1 \sim ax$ | 幂函数等价 | +| $a^x-1 \sim x\ln a\ (a>0)$ | 指数函数等价 | +| $x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3$ | 高阶等价 | +| $\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$ | 高阶等价 | + +## 4.3 使用原则 +1. **乘除运算可直接替换** +2. **加减运算需谨慎**：只有同阶无穷小相加减时，不能随意替换 +3. **无穷乘方运算一般也不行**（即乘方上下均有变量时）：一对等价量可以写成差一个无穷小的形式，经过无穷乘方后无法得知其情况 +4. **复合函数可整体替换** > [!example] 例1 diff --git a/编写小组/讲义/极限计算的基本方法（解析版2）.md b/编写小组/讲义/极限计算的基本方法（解析版2）.md index e91db4c..f63d7d9 100644 --- a/编写小组/讲义/极限计算的基本方法（解析版2）.md +++ b/编写小组/讲义/极限计算的基本方法（解析版2）.md @@ -343,7 +343,8 @@ $$ ### 4.3 使用原则 1. **乘除运算可直接替换** 2. **加减运算需谨慎**：只有同阶无穷小相加减时，不能随意替换 -3. **复合函数可整体替换** +3. **无穷乘方运算一般也不行**（即乘方上下均有变量时）：一对等价量可以写成差一个无穷小的形式，经过无穷乘方后无法得知其情况 +4. **复合函数可整体替换** ### 4.4 典型例题 diff --git a/编写小组/讲义/极限计算的基本方法（解析版）.md b/编写小组/讲义/极限计算的基本方法（解析版）.md index b49dde7..534af70 100644 --- a/编写小组/讲义/极限计算的基本方法（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/极限计算的基本方法（解析版）.md @@ -350,9 +350,7 @@ $$t = x - \frac{\pi}{4} \quad \Rightarrow \quad x = t + \frac{\pi}{4},\ t \to 0. $$= \frac{2\tan t}{1 - \tan t}.$$ 代入原极限：$$\lim\limits_{x\to\pi/4} \frac{\tan x - 1}{x - \pi/4} - = \lim\limits_{t\to 0} \frac{\frac{2\tan t}{1 - \tan t}}{t} - = \lim\limits_{t\to 0} \frac{2\tan t}{t(1 - \tan t)}.$$ 利用重要极限 $\displaystyle \lim_{u\to 0} \frac{\tan u}{u} = 1:\frac{2\tan t}{t(1 - \tan t)} = 2 \cdot \frac{\tan t}{t} \cdot \frac{1}{1 - \tan t}$ @@ -360,7 +358,6 @@ $$= \frac{2\tan t}{1 - \tan t}.$$ 当 $t \to 0$ 时，$\tan t \to 0，\lim\limits_{t\to 0} \frac{\tan t}{t} = 1,\quad \lim\limits_{t\to 0} (1 - \tan t) = 1.$ 所以$$\lim\limits_{t\to 0} 2 \cdot \frac{\tan t}{t} \cdot \frac{1}{1 - \tan t} - = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1 - 0} = 2$$ （4） @@ -371,7 +368,47 @@ $$= \frac{2\tan t}{1 - \tan t}.$$ # 等价无穷小求极限法 -本质是利用已知公式进行等价无穷小因子的代换将复杂函数化简 +## 4.1 基本原理 + +在乘积和商的极限运算中，可以将复杂的无穷小量替换为等价的简单无穷小量，简化计算。 + +## 4.2 常用等价无穷小（$x\to 0$） +| 等价形式 | 条件 | +|---------|------| +| $x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x$ | 基础等价 | +| $x \sim e^x-1 \sim \ln(1+x)$ | 指数对数等价 | +| $1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ | 三角函数等价 | +| $(1+x)^a-1 \sim ax$ | 幂函数等价 | +| $a^x-1 \sim x\ln a\ (a>0)$ | 指数函数等价 | +| $x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3$ | 高阶等价 | +| $\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$ | 高阶等价 | + +## 4.3 使用原则 +1. **乘除运算可直接替换** +2. **加减运算需谨慎**：只有同阶无穷小相加减时，不能随意替换 +3. **无穷乘方运算一般也不行**（即乘方上下均有变量时）：一对等价量可以写成差一个无穷小的形式，经过无穷乘方后无法得知其情况 +4. **复合函数可整体替换** + + +> [!example] 例1 +> 计算 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin mx}{\sin nx}$ + + + + + + + +> [!example] 例2 +> 计算 $$\displaystyle \lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1+x}{\sin^2 x}}$$ + + + + + + +熟悉常见的极限，灵活运用好极限的四则运算法则和等价无穷小，已经能够解决绝大多数的极限计算题了，无论是简单题还是难题。很多看上去很复杂的所谓难题，无非是在四则运算和等价无穷小之间反复套娃而已，如果可以熟练的分离这些特征，其实不需要泰勒公式等“高级工具”就能快速准确地得出极限值。当然，不是贬低其他的工具，只是说不要学习了所谓的一些高级工具之后，就不重视这些初级的工具和结论。 + 引入练习：计算 $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+2tanx}-\sqrt{1+2sinx}}{xln(1+x)-x^2}$$     @@ -518,5 +555,4 @@ $$\alpha n + \ln \left( a + \frac{\cdots}{e^{\alpha n}} \right)$$ 小练习： - -$$\lim_{x \to 0} \frac{\csc(x) - \cot(x)}{x}=$$ \ No newline at end of file +$$\lim_{x \to 0} \frac{\csc(x) - \cot(x)}{x}= $$ diff --git a/编写小组/讲义/证明题方法：单调有界定理，介值定理.md b/编写小组/讲义/证明题方法：单调有界定理，介值定理.md index 98d80bd..8c4903b 100644 --- a/编写小组/讲义/证明题方法：单调有界定理，介值定理.md +++ b/编写小组/讲义/证明题方法：单调有界定理，介值定理.md @@ -16,6 +16,12 @@ tags: - **函数单调有界性质**： 若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且有界，则 $f(x)$ 在 $I$ 的端点或无穷远处存在单侧极限。 +- **这类题的基本思路**： + + 先看有界性：尝试用不等式或者使用数学归纳法，注意在上下界不好找的时候，可以先取极限，来确定一个大致范围，再对猜测的有界性尝试证明 + + 再看单调性：尝试作差、作商或者使用数学归纳法 + ## 适用情况 适用于证明数列或函数极限的存在性，尤其是： diff --git a/编写小组/讲义/证明题方法：单调有界定理，介值定理（解析版）.md b/编写小组/讲义/证明题方法：单调有界定理，介值定理（解析版）.md index 4bc4449..8c868c6 100644 --- a/编写小组/讲义/证明题方法：单调有界定理，介值定理（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/证明题方法：单调有界定理，介值定理（解析版）.md @@ -4,6 +4,7 @@ tags: --- **内部资料，禁止传播** **编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：程奕铭 韩魏 刘柯妤 卢吉辚 王轲楠 支宝宁 郑哲航 + # 单调有界准则 ## 原理 @@ -15,6 +16,12 @@ tags: - **函数单调有界性质**： 若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且有界，则 $f(x)$ 在 $I$ 的端点或无穷远处存在单侧极限。 +- **这类题的基本思路**： + + 先看有界性：尝试用不等式或者使用数学归纳法，注意在上下界不好找的时候，可以先取极限，来确定一个大致范围，再对猜测的有界性尝试证明 + + 再看单调性：尝试作差、作商或者使用数学归纳法 + ## 适用情况 适用于证明数列或函数极限的存在性，尤其是：