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+import random
+import sympy as sp
+import numpy as np
+
+def find_irreducible_polynomial(p, n):
+    """在F_p上寻找一个n次不可约多项式"""
+    # 生成所有可能的n次多项式（首项系数为1）
+    max_coeff = p ** n
+    for i in range(p ** n):
+        coeffs = []
+        num = i
+        for j in range(n):
+            coeffs.append(num % p)
+            num //= p
+        
+        # 首项系数设为1
+        coeffs.append(1)
+        coeffs = coeffs[::-1]  # 反转，使高次在前
+        
+        # 创建多项式
+        poly = sp.Poly(coeffs, sp.Symbol('x'), modulus=p)
+        
+        # 检查是否不可约
+        if sp.ntheory.isprime(p) and poly.is_irreducible:
+            # 使用sympy的不可约检查
+            try:
+                # 转换为有限域上的多项式进行检查
+                if poly.is_irreducible:
+                    return poly
+            except:
+                continue
+    
+    # 如果没找到，使用一些已知的不可约多项式
+    x = sp.Symbol('x')
+    if p == 2:
+        if n == 3:
+            return sp.Poly(x**3 + x + 1, x, modulus=p)
+        elif n == 4:
+            return sp.Poly(x**4 + x + 1, x, modulus=p)
+        elif n == 5:
+            return sp.Poly(x**5 + x**2 + 1, x, modulus=p)
+    elif p == 3:
+        if n == 3:
+            return sp.Poly(x**3 + 2*x + 1, x, modulus=p)
+    elif p == 5:
+        if n == 3:
+            return sp.Poly(x**3 + x + 2, x, modulus=p)
+    
+    # 默认返回一个
+    return sp.Poly(x**n + x + 1, x, modulus=p)
+
+def find_generator(poly, p, n):
+    """在有限域F_{p^n}中寻找一个生成元"""
+    x = sp.Symbol('x')
+    field_size = p ** n
+    
+    # 测试所有可能的非零多项式（次数小于n）
+    for i in range(1, field_size):
+        # 将i转换为多项式
+        coeffs = []
+        num = i
+        for _ in range(n):
+            coeffs.append(num % p)
+            num //= p
+        
+        # 创建多项式
+        a_poly = sp.Poly(coeffs, x, modulus=p)
+        
+        # 检查阶是否为p^n - 1
+        if is_generator(a_poly, poly, p, n, field_size - 1):
+            return a_poly
+    
+    # 如果没找到，返回x
+    return sp.Poly(x, x, modulus=p)
+
+def is_generator(element, poly, p, n, order):
+    """检查元素是否是生成元"""
+    x = sp.Symbol('x')
+    current = sp.Poly(1, x, modulus=p)  # 单位元
+    
+    # 计算元素的阶
+    for i in range(1, order + 1):
+        # 多项式乘法并取模
+        current = sp.rem(current * element, poly, modulus=p)
+        
+        # 如果i < order但已经得到1，则不是生成元
+        if i < order and current == sp.Poly(1, x, modulus=p):
+            return False
+        
+        # 如果i == order且得到1，则是生成元
+        if i == order and current == sp.Poly(1, x, modulus=p):
+            return True
+    
+    return False
+
+def construct_field(p, n):
+    """构造有限域F_{p^n}"""
+    print(f"构造有限域 F_{{{p}^{n}}} = F_{{{p**n}}}")
+    print("=" * 50)
+    
+    # 1. 寻找极小多项式
+    poly = find_irreducible_polynomial(p, n)
+    print(f"极小多项式 p(x) = {poly}")
+    print()
+    
+    # 2. 寻找生成元
+    alpha = find_generator(poly, p, n)
+    print(f"生成元 α = {alpha}")
+    print()
+    
+    # 3. 生成所有非零元素
+    field_size = p ** n
+    elements = []
+    x = sp.Symbol('x')
+    
+    # 生成α的幂
+    current = sp.Poly(1, x, modulus=p)  # α^0
+    elements.append((0, current.copy()))
+    
+    for i in range(1, field_size - 1):
+        current = sp.rem(current * alpha, poly, modulus=p)
+        elements.append((i, current.copy()))
+    
+    # 4. 显示对应表
+    print(f"有限域 F_{{{p**n}}} 的非零元素表:")
+    print("=" * 60)
+    print(f"{'α的幂':<10} | {'多项式表示':<30} | {'向量表示'}")
+    print("-" * 60)
+    
+    for power, poly_repr in elements:
+        # 获取多项式系数
+        coeff_dict = poly_repr.as_dict()
+        coeffs = [0] * n
+        
+        for deg, coeff in coeff_dict.items():
+            if len(deg) > 0:
+                coeffs[deg[0]] = coeff % p
+        
+        # 构建向量表示
+        vector = "(" + ", ".join(str(c) for c in coeffs[::-1]) + ")"  # 高次在前
+        
+        print(f"α^{power:<7} | {str(poly_repr):<30} | {vector}")
+    
+    print("=" * 60)
+    print(f"注意: α^{field_size-1} = α^0 = 1")
+    
+    return poly, alpha, elements
+
+def main():
+    """主函数"""
+    print("有限域构造实验")
+    print("=" * 50)
+    
+    # 随机选择参数
+    random.seed()  # 使用当前时间作为种子
+    
+    # 10以内的素数
+    primes = [2, 3, 5, 7]
+    p = random.choice(primes)
+    
+    # 3到10之间的正整数
+    n = random.randint(3, 10)
+    
+    print(f"随机选择的参数: p = {p}, n = {n}")
+    print()
+    
+    # 构造有限域
+    poly, alpha, elements = construct_field(p, n)
+    
+    # 验证域的性质
+    print("\n验证:")
+    print(f"1. 域的大小: {p**n}")
+    print(f"2. 非零元素个数: {p**n - 1}")
+    print(f"3. 生成元的阶: {p**n - 1}")
+    print(f"4. p(x)的次数: {sp.degree(poly)}")
+    print(f"5. p(x)在F_{p}上不可约")
+
+if __name__ == "__main__":
+    main()