曲面积分与曲线积分计算

curvilinear_and_surface_integaration.py

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+#曲线积分与曲面积分：包括两类曲线积分计算、两类曲面积分计算、环量流量计算、散度旋度计算等
+
+import unittest
+import sympy as sp
+from convert_formula import *
+import math
+
+def first_kind_curve_integration(r, t_range, function):
+    """
+    计算第一类曲线积分
+    :param r: 曲线的参数方程，以元组形式给出 (x(t), y(t)) 或 (x(t), y(t), z(t))
+    :param t_range: 参数 t 的积分区间 (t1, t2)
+    :param function: 被积函数，用参数 t 表示
+    :return: 第一类曲线积分的值
+    """
+    t = sp.symbols('t')
+    if len(r) == 2:
+        x, y = r
+        dx_dt = sp.diff(x, t)
+        dy_dt = sp.diff(y, t)
+        ds = sp.sqrt(dx_dt**2 + dy_dt**2)
+    elif len(r) == 3:
+        x, y, z = r
+        dx_dt = sp.diff(x, t)
+        dy_dt = sp.diff(y, t)
+        dz_dt = sp.diff(z, t)
+        ds = sp.sqrt(dx_dt**2 + dy_dt**2 + dz_dt**2)
+    function = sp.sympify(convert_formula(function))
+    lower, upper = t_range
+    result = sp.integrate(function * ds, (t, lower, upper))
+    return result
+
+def second_kind_curve_integration(P, Q, r, t_range):
+    """
+    计算第二类曲线积分
+    :param P: 向量场的 P 分量，用参数 t 表示
+    :param Q: 向量场的 Q 分量，用参数 t 表示
+    :param r: 曲线的参数方程，以元组形式给出 (x(t), y(t))
+    :param t_range: 参数 t 的积分区间 (t1, t2)
+    :return: 第二类曲线积分的值
+    """
+    t = sp.symbols('t')
+    x, y = r
+    dx_dt = sp.diff(x, t)
+    dy_dt = sp.diff(y, t)
+    P = sp.sympify(convert_formula(P))
+    Q = sp.sympify(convert_formula(Q))
+    lower, upper = t_range
+    result = sp.integrate(P * dx_dt + Q * dy_dt, (t, lower, upper))
+    return result
+
+def first_kind_surface_integration(r, u_range, v_range, function):
+    """
+    计算第一类曲面积分
+    :param r: 曲面的参数方程，以元组形式给出 (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
+    :param u_range: 参数 u 的积分区间 (u1, u2)
+    :param v_range: 参数 v 的积分区间 (v1, v2)
+    :param function: 被积函数，用参数 u 和 v 表示
+    :return: 第一类曲面积分的值
+    """
+    u, v = sp.symbols('u v')
+    x, y, z = r
+    ru = (sp.diff(x, u), sp.diff(y, u), sp.diff(z, u))
+    rv = (sp.diff(x, v), sp.diff(y, v), sp.diff(z, v))
+    cross_product = (ru[1]*rv[2] - ru[2]*rv[1], ru[2]*rv[0] - ru[0]*rv[2], ru[0]*rv[1] - ru[1]*rv[0])
+    E = sp.sqrt(cross_product[0]**2 + cross_product[1]**2 + cross_product[2]**2)
+    function = sp.sympify(convert_formula(function))
+    u1, u2 = u_range
+    v1, v2 = v_range
+    integration1 = sp.integrate(function * E, (u, u1, u2))
+    result = sp.integrate(integration1, (v, v1, v2))
+    return result
+
+# 第二类曲面积分
+def second_kind_surface_integration(P, Q, R, r, u_range, v_range):
+    """
+    计算第二类曲面积分
+    :param P: 向量场的 P 分量，用参数 u 和 v 表示
+    :param Q: 向量场的 Q 分量，用参数 u 和 v 表示
+    :param R: 向量场的 R 分量，用参数 u 和 v 表示
+    :param r: 曲面的参数方程，以元组形式给出 (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
+    :param u_range: 参数 u 的积分区间 (u1, u2)
+    :param v_range: 参数 v 的积分区间 (v1, v2)
+    :return: 第二类曲面积分的值
+    """
+    u, v = sp.symbols('u v')
+    x, y, z = r
+    ru = (sp.diff(x, u), sp.diff(y, u), sp.diff(z, u))
+    rv = (sp.diff(x, v), sp.diff(y, v), sp.diff(z, v))
+    cross_product = (ru[1]*rv[2] - ru[2]*rv[1], ru[2]*rv[0] - ru[0]*rv[2], ru[0]*rv[1] - ru[1]*rv[0])
+    P = sp.sympify(convert_formula(P))
+    Q = sp.sympify(convert_formula(Q))
+    R = sp.sympify(convert_formula(R))
+    u1, u2 = u_range
+    v1, v2 = v_range
+    integration1 = sp.integrate(P * cross_product[0] + Q * cross_product[1] + R * cross_product[2], (u, u1, u2))
+    result = sp.integrate(integration1, (v, v1, v2))
+    return result
+
+# 环量计算
+def circulation(P, Q, r, t_range):
+    """
+    计算环量
+    :param P: 向量场的 P 分量，用参数 t 表示
+    :param Q: 向量场的 Q 分量，用参数 t 表示
+    :param r: 曲线的参数方程，以元组形式给出 (x(t), y(t))
+    :param t_range: 参数 t 的积分区间 (t1, t2)
+    :return: 环量的值
+    """
+    return second_kind_curve_integration(P, Q, r, t_range)
+
+# 流量计算
+def flux(P, Q, R, r, u_range, v_range):
+    """
+    计算流量
+    :param P: 向量场的 P 分量，用参数 u 和 v 表示
+    :param Q: 向量场的 Q 分量，用参数 u 和 v 表示
+    :param R: 向量场的 R 分量，用参数 u 和 v 表示
+    :param r: 曲面的参数方程，以元组形式给出 (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
+    :param u_range: 参数 u 的积分区间 (u1, u2)
+    :param v_range: 参数 v 的积分区间 (v1, v2)
+    :return: 流量的值
+    """
+    return second_kind_surface_integration(P, Q, R, r, u_range, v_range)
+
+# 散度计算
+def divergence(P, Q, R):
+    """
+    计算散度
+    :param P: 向量场的 P 分量，用 x, y, z 表示
+    :param Q: 向量场的 Q 分量，用 x, y, z 表示
+    :param R: 向量场的 R 分量，用 x, y, z 表示
+    :return: 散度的值
+    """
+    x, y, z = sp.symbols('x y z')
+    P = sp.sympify(convert_formula(P))
+    Q = sp.sympify(convert_formula(Q))
+    R = sp.sympify(convert_formula(R))
+    div = sp.diff(P, x) + sp.diff(Q, y) + sp.diff(R, z)
+    return div
+
+# 旋度计算
+def curl(P, Q, R):
+    """
+    计算旋度
+    :param P: 向量场的 P 分量，用 x, y, z 表示
+    :param Q: 向量场的 Q 分量，用 x, y, z 表示
+    :param R: 向量场的 R 分量，用 x, y, z 表示
+    :return: 旋度的值，以元组形式给出 (curl_x, curl_y, curl_z)
+    """
+    x, y, z = sp.symbols('x y z')
+    P = sp.sympify(convert_formula(P))
+    Q = sp.sympify(convert_formula(Q))
+    R = sp.sympify(convert_formula(R))
+    curl_x = sp.diff(R, y) - sp.diff(Q, z)
+    curl_y = sp.diff(P, z) - sp.diff(R, x)
+    curl_z = sp.diff(Q, x) - sp.diff(P, y)
+    return curl_x, curl_y, curl_z
+
+
+class TestIntegralFunctions(unittest.TestCase):
+
+    def test_first_kind_curve_integration(self):
+        """测试第一类曲线积分"""
+        t = sp.symbols('t')
+        r = (sp.cos(t), sp.sin(t))
+        t_range = (0, 2*math.pi)
+        function = "1"
+        result = first_kind_curve_integration(r, t_range, function)
+        # 圆的周长为 2π
+        self.assertEqual(result, 2*math.pi)
+
+    def test_second_kind_curve_integration(self):
+        """测试第二类曲线积分"""
+        t = sp.symbols('t')
+        r = (sp.cos(t), sp.sin(t))
+        t_range = (0, 2*math.pi)
+        P = "-y"
+        Q = "x"
+        result = second_kind_curve_integration(P, Q, r, t_range)
+        # 环量为 2π
+        self.assertEqual(result, 2*math.pi)
+
+    def test_first_kind_surface_integration(self):
+        """测试第一类曲面积分"""
+        u, v = sp.symbols('u v')
+        r = (sp.cos(u)*sp.sin(v), sp.sin(u)*sp.sin(v), sp.cos(v))
+        u_range = (0, 2*math.pi)
+        v_range = (0, math.pi)
+        function = "1"
+        result = first_kind_surface_integration(r, u_range, v_range, function)
+        # 单位球的表面积为 4π
+        self.assertEqual(result, 4*math.pi)
+
+    def test_second_kind_surface_integration(self):
+        """测试第二类曲面积分"""
+        u, v = sp.symbols('u v')
+        r = (sp.cos(u)*sp.sin(v), sp.sin(u)*sp.sin(v), sp.cos(v))
+        u_range = (0, 2*math.pi)
+        v_range = (0, math.pi)
+        P = "x"
+        Q = "y"
+        R = "z"
+        result = second_kind_surface_integration(P, Q, R, r, u_range, v_range)
+        # 流量为 4π
+        self.assertEqual(result, 4*math.pi)
+
+    def test_divergence(self):
+        """测试散度计算"""
+        P = "x"
+        Q = "y"
+        R = "z"
+        result = divergence(P, Q, R)
+        self.assertEqual(result, 3)
+
+    def test_curl(self):
+        """测试旋度计算"""
+        P = "x"
+        Q = "y"
+        R = "z"
+        result = curl(P, Q, R)
+        self.assertEqual(result, (0, 0, 0))
+
+
+def UI():
+    while True:
+        command = input('请选择将要进行的操作：1.第一类曲线积分 2.第二类曲线积分 3.第一类曲面积分 4.第二类曲面积分 5.环量计算 6.流量计算 7.散度计算 8.旋度计算 9.退出（所有积分区间请以元组或列表的形式给出）')
+        if command == '1':
+            r = input('请输入曲线的参数方程，以元组形式给出 (x(t), y(t)) 或 (x(t), y(t), z(t))：')
+            t_range = input('请输入参数 t 的积分区间：')
+            function = input('请输入被积函数，用参数 t 表示：')
+            print('第一类曲线积分值：', first_kind_curve_integration(r, t_range, function))
+        if command == '2':
+            P = input('请输入向量场的 P 分量，用参数 t 表示：')
+            Q = input('请输入向量场的 Q 分量，用参数 t 表示：')
+            r = input('请输入曲线的参数方程，以元组形式给出 (x(t), y(t))：')
+            t_range = input('请输入参数 t 的积分区间：')
+            print('第二类曲线积分值：', second_kind_curve_integration(P, Q, r, t_range))
+        if command == '3':
+            r = input('请输入曲面的参数方程，以元组形式给出 (x(u, v), y(u, v), z(u, v))：')
+            u_range = input('请输入参数 u 的积分区间：')
+            v_range = input('请输入参数 v 的积分区间：')
+            function = input('请输入被积函数，用参数 u 和 v 表示：')
+            print('第一类曲面积分：', first_kind_surface_integration(r, u_range, v_range, function))
+        if command == '4':
+            P = input('请输入向量场的 P 分量，用参数 u 和 v 表示：')
+            Q = input('请输入向量场的 Q 分量，用参数 u 和 v 表示：')
+            R = input('请输入向量场的 R 分量，用参数 u 和 v 表示：')
+            r = input('请输入曲面的参数方程，以元组形式给出 (x(u, v), y(u, v), z(u, v))：')
+            u_range = input('请输入参数 u 的积分区间：')
+            v_range = input('请输入参数 v 的积分区间：')
+            print('第二类曲面积分：', second_kind_surface_integration(P, Q, R, r, u_range, v_range))
+        if command == '5':
+            P = input('请输入向量场的 P 分量，用参数 t 表示：')
+            Q = input('请输入向量场的 Q 分量，用参数 t 表示：')
+            r = input('请输入曲线的参数方程，以元组形式给出 (x(t), y(t))：')
+            t_range = input('请输入参数 t 的积分区间：')
+            print('环量：', circulation(P, Q, r, t_range))
+        if command == '6':
+            P = input('请输入向量场的 P 分量，用参数 u 和 v 表示：')
+            Q = input('请输入向量场的 Q 分量，用参数 u 和 v 表示：')
+            R = input('请输入向量场的 R 分量，用参数 u 和 v 表示：')
+            r = input('请输入曲面的参数方程，以元组形式给出 (x(u, v), y(u, v), z(u, v))：')
+            u_range = input('请输入参数 u 的积分区间：')
+            v_range = input('请输入参数 v 的积分区间：')
+            print('流量：', flux(P, Q, R, r, u_range, v_range))
+        if command == '7':
+            P = input('请输入向量场的 P 分量，用 x, y, z 表示：')
+            Q = input('请输入向量场的 Q 分量，用 x, y, z 表示：')
+            R = input('请输入向量场的 R 分量，用 x, y, z 表示：')
+            print('散度：', divergence(P, Q, R))
+        if command == '8':
+            P = input('请输入向量场的 P 分量，用 x, y, z 表示：')
+            Q = input('请输入向量场的 Q 分量，用 x, y, z 表示：')
+            R = input('请输入向量场的 R 分量，用 x, y, z 表示：')
+            print('旋度：', curl(P, Q, R))
+        if command == '9':
+            break
+
+
+if __name__ == "__main__":
+    UI()
+    unittest.main(exit=False)
+
+
+
+
+
+
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