第六组 第一次小组作业

组员：叶之帆，孙晨寅，吴浩洋

分工：

叶之帆：题一，题二的Grover和理解Oracle部分，报告撰写

孙晨寅：HHL算法

吴浩洋：题二的DJ算法

[toc]

题一

参照Quantum Fourier Transform的线路，通过QPanda实现，以OriginIR形式打印并检查。 要求：需要实现1~N位的所有情况

程序见：QFTtoIR.cpp

此处，假定对3位量子比特进行QFT变换，输出OriginIR如下：

QINIT 3
CREG 3
//以下为QFT线路
H q[0]
CR q[1],q[0],(1.5707963)
CR q[2],q[0],(0.78539815)
H q[1]
CR q[2],q[1],(1.5707963)
H q[2]
//对输出的3个量子比特交换次序
CNOT q[0],q[2]
CNOT q[2],q[0]
CNOT q[0],q[2]
//测量输出
MEASURE q[0],c[0]
MEASURE q[1],c[1]
MEASURE q[2],c[2]

题二

对于Application文件夹中的DJ_Algorithm, Grover_Algorithm, HHL_Algorithm中所执行的量子程序，打印为OriginIR形式（可以打印不同情况下的量子程序并对比）。 写出DJ_Oracle、Grover_Oracle在线路中处于什么位置

DJ_Algorithm

程序见：DJtoIR.cpp

对于函数 f(x) ，以下分别打印了 f(x) 在四种情况下的 DJ 算法的量子线路：

f(0)=0
f(1)=0
OriginIR:QINIT 2
CREG 1
X q[1]
H q[0]
H q[1]
//映射 Oracle 为空
H q[0]
MEASURE q[0],c[0]

f(0)=0
f(1)=1
OriginIR:QINIT 2
CREG 1
X q[1]
H q[0]
H q[1]
CNOT q[0],q[1]	//映射 Oracle 为 CNOT 门
H q[0]
MEASURE q[0],c[0]

f(0)=1
f(1)=0
OriginIR:QINIT 2
CREG 1
X q[1]
H q[0]
H q[1]
CNOT q[0],q[1]	//映射 Oracle 为 CNOT 门后接 X 门
X q[1]
H q[0]
MEASURE q[0],c[0]

f(0)=1
f(1)=1
OriginIR:QINIT 2
CREG 1
X q[1]
H q[0]
H q[1]
X q[1]			//映射 Oracle 为 X 门
H q[0]
MEASURE q[0],c[0]

Grover_Algorithm

输出 OriginIR 的程序见GrovertoIR.cpp

OriginIR 的输出见GroverIR.txt

分析 GrovertoIR 构建量子线路部分的源码，分析知其中 Oracle 的部分如下，共被重复使用4次：

OrginIR版：GroverOracleOriginIR.txt

量子线路打印版：GroverOracleImg.txt

HHL_Algorithm

输出HHL算法的OringinIR的程序见：HHLtoIR

输出见：HHL_IR

如何理解Oracle

关于Oracle的理解参考了关于DJ、Grover算法和Oracle的介绍

Oracle是一段量子线路，它实现了：

对输入|x>|y>，输出为|x>|y+f(x)>，其中加法是一个模加运算。

1. 举例来说，在DJ算法中，若f(x)恒为0，则映射Oracle为空；若f(x)恒为1，则映射Oracle为X门，作用于y上；若f(1)=0而f(0)=1，则先以x为控制比特在y上加CNOT门；再将y通过一个x门；若f(1)=1且f(0)=0，则以x为控制比特在y上加CNOT门。

2. 而在上述Grover算法的示例程序中，定义了这样的一个f(x)：

   对数组A的元素进行编号0～15，可以用4个量子比特表示这16个位置，f(x1,x2,x3,x4)是一个四元函数，当且仅当

   
   A[x_1*8+x_2*4+x_3*2+x_4]=6
   

   时，f(x1,x2,x3,x4)=1。

   而Grover算法中复杂的Oracle线路恰实现了

|x_1>|x_2>|x_3>|x_4>|y> ==> |x_1>|x_2>|x_3>|x_4>|y+f(x_1,x_2,x_3,x_4)>

​ 这一功能。

选做题

HHL算法是一个关于量子线性方程组求解的算法，请写出方程本身是怎么编码到量子线路中的。

上图是HHL算法量子线路图，下面介绍如何将Ax = b中的A和b编码进电路中。

b的编码（b -> |b>）

将 b 向量归一化成:

|b> = \begin{pmatrix}\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ . \\ . \\ . \\ \alpha_{2^n-1} \end{pmatrix}

然后借助以下电路进行编码：

其中：

A的编码

1. 若A是厄米的，则直接将其编码成：

   
   e^{iAt}
   

2. 若A是非厄米的，则令：

   
   C = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^+ & 0 \end{pmatrix}
   

   编码：

   
   e^{iCt}
   

3. 由单比特门和受控非门的完备性，则实现e^{iAt}或e^{iCt}门的量子线路可由这两种门组成