Update 部分和判别法.md

Chapter 2 极限/部分和判别法.md

@@ -29,9 +29,8 @@
 
 ## **例子**
 
-**例1**
-
-判定级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}$的敛散性，若收敛求其和
+>[!example] **例1**
+>判定级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}$的敛散性，若收敛求其和
 
 解析
 
@@ -49,13 +48,8 @@
 
 4.  结论：该级数 **收敛**，和为 \( 1 \)
 
-**例2**
-
-判断级数
-
- $\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{2\pi}{6} + \cdots + \sin \frac{n\pi}{6} + \cdots$
-
-的敛散性
+>[!example] **例2**
+判断级数$\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{2\pi}{6} + \cdots + \sin \frac{n\pi}{6} + \cdots$的敛散性
 
 解析：
 
@@ -211,7 +205,7 @@ $S_N = (\sqrt{N+2} - \sqrt{N+1}) - (\sqrt{2} - 1)$
 
 当 $N \to \infty，\sqrt{N+2} - \sqrt{N+1} \to 0$，所以
 
-\$lim_{N\to\infty} S_N = 1 - \sqrt{2}$
+$lim_{N\to\infty} S_N = 1 - \sqrt{2}$
 
 \]  
 
@@ -219,9 +213,9 @@ $S_N = (\sqrt{N+2} - \sqrt{N+1}) - (\sqrt{2} - 1)$
 
 答案：B
 
-**级数运算性质判别法**
+# **级数运算性质判别法**
 
-**原理**
+## **原理**
 
 1. 线性运算性质的应用
 
@@ -245,7 +239,7 @@ $S_N = (\sqrt{N+2} - \sqrt{N+1}) - (\sqrt{2} - 1)$
 
 若正项级数 $\sum u_n$ 收敛，任意重排其项得到的新级数仍收敛，且和不变。
 
-**适用情况**
+## **适用情况**
 
 1. 待判定级数可拆分为两个或多个已知敛散性的级数的线性组合（如 $\sum (u_n\pm v_n)、\sum ku_n）$。
 
@@ -253,27 +247,22 @@ $S_N = (\sqrt{N+2} - \sqrt{N+1}) - (\sqrt{2} - 1)$
 
 3. 已知级数多为基础类型（等比级数、$p$-级数、调和级数等），便于直接套用性质。
 
-**优势**
+## **优势**
 
 1. 快捷高效：无需计算极限或构造不等式，直接利用已知结论推导，步骤简洁。
 
 2. 既适用于正项级数，也适用于任意项级数（如交错级数）。
 
-**劣势**
+## **劣势**
 
 1. 依赖性强：必须依赖已知敛散性的“参考级数”，若无法拆分或无合适参考级数，则无法使用。
 
 2. 有局限性：对于 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 均发散的情况，$\sum (u_n\pm v_n)$ 的敛散性无法直接判定，性质失效。
 
-**例子**
-
-**例1**
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-判断级数
-
-$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$
+## **例子**
 
-的敛散性。
+>[!example] **例1**
+>判断级数$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$的敛散性。
 
 解析：
 
@@ -325,8 +314,7 @@ $S = \underbrace{\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}}_{\text{条件收
 
 因此 $S$ 是 条件收敛的级数
 
-**例2**
-
+>[!example] **例2**
 讨论级数$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}$的敛散性
 
 解析：先对通项有理化变形，再拆分为两个级数的和，结合级数运算性质判断