|
|
|
|
@ -216,8 +216,6 @@ $$\lim_{k \to \infty}a_{4k+1} = \lim_{k \to \infty}\left(1 + \frac{1}{4k+1}\righ
|
|
|
|
|
由于子列$\{a_{4k}\}$收敛于0，子列$\{a_{4k+1}\}$收敛于1，二者极限不相等，故数列$\{a_n\}$的极限不存在。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>[!example] **例3**（海涅定理）
|
|
|
|
|
> 证明狄利克雷函数
|
|
|
|
|
$$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数时}\end{cases}$$
|
|
|
|
|
@ -232,9 +230,117 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数
|
|
|
|
|
由于$x_0$是任意一点，所以狄利克雷函数在任何点处都不存在极限。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# 考试易错点总结
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## Vol. 5:误用p级数
|
|
|
|
|
**机械地套用p级数结论，而忽视了其应用前提：指数 `p` 必须是与 `n` 无关的常数。**
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>例题1：
|
|
|
|
|
>$$判定\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}}的敛散性$$
|
|
|
|
|
#### ❌ 经典错误思路
|
|
|
|
|
1. 形式像 `1/n^p`
|
|
|
|
|
2. "指数"是 `1 + 1/n`
|
|
|
|
|
3. 因为 `1/n > 0`，所以 `p = 1 + 1/n > 1` 恒成立，误判为收敛
|
|
|
|
|
#### ✅ 正确分析与解法
|
|
|
|
|
**错误原因**：`pₙ = 1 + 1/n` 不是常数，其极限为1。
|
|
|
|
|
使用比值审敛法与调和级数 `∑ 1/n` 比较：
|
|
|
|
|
$$\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}} }{ \frac{1}{n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/n}} = 1$$
|
|
|
|
|
可知两级数敛散性相同，且调和级数发散 ⇒ 原级数**发散**。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
---
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 例题2：
|
|
|
|
|
>$$判定\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln n}的敛散性$$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#### ❌ 经典错误思路
|
|
|
|
|
无法直接套用p级数，因多了一个 `ln n` 因子。错误地认为 `1/(n ln n) < 1/n`，认为原级数收敛
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#### ✅ 正确分析与解法(超纲，仅供拓展)
|
|
|
|
|
**正确解法**（积分判别法）：
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x \ln x} = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{du}{u} = \infty
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
该积分发散 ⇒ 原级数**发散**。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
---
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
## Vol. 6: 条件收敛、绝对收敛、发散
|
|
|
|
|
**仅当利用比值/根值判别法判断出$\sum |a_n|$发散时$\Rightarrow$$\sum a_n$发散
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#### 基本定义
|
|
|
|
|
给定一个实数（或复数）项级数 $\sum a_n$，其中 $a_n \in \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$。
|
|
|
|
|
1. **绝对值级数**：$\sum |a_n|$，即每一项取绝对值后的新级数
|
|
|
|
|
2. **绝对收敛**：如果 $\sum |a_n|$ 收敛，则称 $\sum a_n$ **绝对收敛**
|
|
|
|
|
3. **条件收敛**：如果 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 发散，则称 $\sum a_n$ **条件收敛**
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#### 正确分析：
|
|
|
|
|
仅有$\sum |a_n|$ 收敛 ⇒ $\sum a_n$收敛
|
|
|
|
|
**证明**：
|
|
|
|
|
- 使用柯西收敛准则。对于任意 $\varepsilon > 0$：
|
|
|
|
|
因为 $\sum |a_n|$ 收敛，由柯西准则，存在 $N$，使得当 $m > n \geq N$ 时：
|
|
|
|
|
$$|a_{n+1}| + |a_{n+2}| + \cdots + |a_m| < \varepsilon$$ 由三角不等式:
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_m| \leq |a_{n+1}| + |a_{n+2}| + \cdots + |a_m| < \varepsilon
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
因此 $\sum a_n$ 满足柯西准则 ⇒ 收敛。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
同理， $\sum a_n$ 发散 ⇒ $\sum |a_n|$发散
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#### 概念辨析：
|
|
|
|
|
1. $\sum a_n$ 收敛 ⇒ $\sum |a_n|$收敛？
|
|
|
|
|
❌ 经典错误思路
|
|
|
|
|
**反例**：交错调和级数 $\sum (-1)^{n+1}/n$
|
|
|
|
|
2. $\sum |a_n|$ 发散 ⇒ $\sum a_n$发散？
|
|
|
|
|
❌ 经典错误思路
|
|
|
|
|
**反例**：交错调和级数 $\sum (-1)^{n+1}/n$
|
|
|
|
|
3. $\sum |a_n|$ 收敛 ⇒ $\sum a_n$收敛
|
|
|
|
|
✅ 正确分析
|
|
|
|
|
4. $\sum a_n$ 发散 ⇒ $\sum |a_n|$发散
|
|
|
|
|
✅ 正确分析
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#### 附典型例子
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 级数 | $\sum a_n$ | $\sum \|a_n\|$ | 分类 |
|
|
|
|
|
| --------------------------- | ---------- | -------------------------------------------------------- | ---- |
|
|
|
|
|
| $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ | 收敛 | 收敛 | 绝对收敛 |
|
|
|
|
|
| $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ | 收敛 | 发散 | 条件收敛 |
|
|
|
|
|
| $\sum \frac{1}{n}$ | 发散 | 发散 | 发散 |
|
|
|
|
|
| $\sum (-1)^n$ | 发散（震荡） | $\sum 1$ 发散 | 发散 |
|
|
|
|
|
| $\sum \frac{\sin n}{n^2}$ | 收敛 | $\sum \frac{\|\sin n\|}{n^2} \leq \sum \frac{1}{n^2}$ 收敛 | 绝对收敛 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
---
|
|
|
|
|
#### 前情提要
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
##### 比值判别法 (D'Alembert Ratio Test)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
对于一般项 $a_n$，定义：
|
|
|
|
|
$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- **若 $L < 1$**：则 $\sum |a_n|$ 收敛 ⇒ $\sum a_n$ **绝对收敛**。
|
|
|
|
|
- **若 $L > 1$**：则 $|a_n|$ 不趋于 0 ⇒ $\sum a_n$ **发散**。
|
|
|
|
|
- **若 $L = 1$**：判别法**失效**，需用其他方法判断。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
##### 根值判别法 (Cauchy Root Test)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
对于一般项 $a_n$，定义：
|
|
|
|
|
$$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- **若 $L < 1$**：则 $\sum |a_n|$ **收敛**。
|
|
|
|
|
- **若 $L > 1$**：则 $|a_n|$ 不趋于 0 ⇒ $\sum a_n$ **发散**。
|
|
|
|
|
- **若 $L = 1$**：判别法**失效**，需用其他方法判断。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#### 结论:
|
|
|
|
|
**如果利用比值判别法或根值判别法得到$\sum |a_n|$发散，则$\sum a_n$发散**
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#### 证明：
|
|
|
|
|
- 若比值判别法或根值判别法给出L>1
|
|
|
|
|
- 那意味着 $∣a_n∣$ 不趋于 0（实际上 $∣a_n∣$ 递增并且远离 0），
|
|
|
|
|
- 因此 $a_n$ 也不趋于 0，
|
|
|
|
|
- 所以$a_n$ 发散。
|
|
|
|
|
## Vol. 9: 反函数求导
|
|
|
|
|
易错：变量混淆。反函数的导数 = 原函数导数的倒数，但**自变量和因变量角色互换**。
|
|
|
|
|
这一点，大家都明白，但是一写在答题卡上就错了😂。
|
|
|
|
|
|
unknown
4 months ago