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@ -257,7 +257,8 @@ $$f(\xi) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)$$
由于 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续,而 $[x_1, x_n] \subset (a,b)$,所以 $f(x)$ 在闭区间 $[x_1, x_n]$ 上连续。根据闭区间上连续函数的最值定理,$f(x)$ 在 $[x_1, x_n]$ 上能取到最大值 $M$ 和最小值 $m$。
对于任意 $x_i \in [x_1, x_n]$,有 $m \leq f(x_i) \leq M$,因此
$m≤$$f(\xi) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i$)$≤M.$
$m≤$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i$)$≤M.$
由连续函数的介值定理,存在 $\xi \in [x_1, x_n]$,使得
$$f(\xi) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)$$
证毕。

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