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@@ -1,2 +1,4 @@
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Chapter 4 微积分基础/应用题真题.md

@@ -0,0 +1,87 @@
+>[!example]  **例1**（2020）
+>有一个正圆锥形漏斗，深度  $18 \text{ cm}$  ，上端口直径为  $12 \text{ cm}$ （即半径  $6 \text{ cm}$ ）。漏斗下方连接一个圆柱形筒，圆柱筒直径为  $10 \text{ cm}$ （即半径  $5 \text{ cm}$ ）。初始时刻漏斗内盛满水，然后水从漏斗流入圆柱筒。已知当漏斗中水深为  $12 \text{ cm}$  时，漏斗水面下降的速度是  $1 \text{ cm/min}$
+问：此时圆柱筒内液面上升的速度是多少？
+
+
+**解析**:
+设  t （s）时漏斗水深为  h （cm），圆柱形容器的水深为  H （cm），则有
+$$\pi 5^2 H = V_0 - \frac{1}{3} \pi \left( \frac{6}{18} h \right)^2 h$$
+关于  t  求导数得
+$$25 \frac{dH}{dt} = -\frac{1}{9} h^2 \frac{dh}{dt}$$
+当  h = 12, $\frac{dh}{dt} = -1$  时，
+$$\frac{dH}{dt} = \frac{16}{25} \text{(cm/s)}$$
+
+
+>[!example] **例2** (2021)
+>一长为 L 米的木梯靠在倾角为$\frac{\pi}{3}$的光滑斜坡上，木梯的顶部距离 A 点 h 米，底部距离 A 点 d 米，受重力作用木梯的顶部以 $a \, \mathrm{m/s}$ 的速度沿直线 BA 下滑，底部水平向右运动。问：当木梯的顶部和底部与 A 点的距离相等时，底部的水平速度为多少？
+>![[2dc97df311b6179d9c28babc1848adfc.jpg]]
+
+
+
+**解析：**
+设运动 t 秒后，木梯的顶部距离 A 点 $y(t) \, \mathrm{m}$ ，底部距离 A 点 $x(t) \, \mathrm{m}$ 。由图易知
+$$\left(y(t)\sin\frac{\pi}{3}\right)^2 + \left(x(t)+y(t)\cos\frac{\pi}{3}\right)^2 = L^2$$
+即
+$$x^2(t)+y^2(t)+x(t)y(t)=L^2$$
+方程两端分别对 t 求导，可得
+$$2x(t)x'(t)+2y(t)y'(t)+x(t)y'(t)+x'(t)y(t)=0$$
+由于 $y'(t)=-a \, (\mathrm{m/s})$ ，因此当 x(t)=y(t) 时，有
+$$2x'(t)-2a-a+x'(t)=0$$
+故 $$x'(t)=a \, (\mathrm{m/s})$$
+
+
+>[!example] **例3**（2023）
+>有一个长度为5m的梯子贴靠在铅直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速率离开墙脚而滑动，则
+(1) 何时梯子的上、下端能以相同的速率移动？
+(2) 何时其上端下滑之速率为4m/s？
+
+
+**解析:**
+设在时刻 t ，梯子上端与墙角的距离为 $x(t) \, \mathrm{m}$ ，下端与墙角的距离为 $y(t) \, \mathrm{m}$ ，则
+$$x^2 + y^2 = 25$$
+两端同时对 t 求导数可得
+$$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$$
+ 
+(1) 当$\frac{dx}{dt} = -\frac{dy}{dt}$ 时，可得 x = y ，进而 $y = \frac{5}{\sqrt{2}} \, (\mathrm{m})$ ，
+即下端距墙脚 $\frac{5}{\sqrt{2}} \, \mathrm{m}$ 时上下端能以相同的速率移动。
+ 
+(2) 当 $\frac{dy}{dt} = -4 \, (\mathrm{m/s})$ ， $\frac{dx}{dt} = 3 \, (\mathrm{m/s})$ 时，有 $4x = 3y$ ，将其代入 $x^2 + y^2 = 25$ ，
+解得$y = 4 \, (\mathrm{m})$,即下端距墙脚4 m时，上端下滑速度为$4 m/s$
+
+
+
+>[!example] **例4**(2022)
+>某部举行八一阅兵，队列正步通过阅兵台时步幅间距离为75厘米，步速为每分钟112步。某观礼人员离行进队列垂直距离为60米，视线追随队列领队，求其视线与队列夹角为$\frac{\pi}{6}$时，视线转动角度的变化率。
+
+
+
+**解析：**
+- 建立几何模型：设时间为\(t\)分钟，步幅间距离0.75米，步速为每分钟112步，则队列行进距离$x = 0.75×112t = 84t$米。设视线与队列夹角为$theta$，由正切函数关系可得$tan\theta=\frac{x}{60}$，即$\tan\theta=\frac{84t}{60}=\frac{7t}{5}$。
+- 两边对$t$求导：根据复合函数求导法则
+$$(tan\theta)^\prime=\sec^{2}\theta\cdot\frac{d\theta}{dt})$$对$tan\theta=\frac{7t}{5}$两边求导得$$sec^{2}\theta\cdot\frac{d\theta}{dt}=\frac{7}{5}$$
+求解:$\frac{d\theta}{dt}$：当$theta = \frac{\pi}{6}$时，$sec\theta=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$sec^{2}\theta=\frac{4}{3}$，代入$sec^{2}\theta\cdot\frac{d\theta}{dt}=\frac{7}{5}$，
+
+可得$$\frac{4}{3}\cdot\frac{d\theta}{dt}=\frac{7}{5}$$解得$$\frac{d\theta}{dt}=\frac{21}{20}（弧度/分钟）
+$$
+答案：视线转动角度的变化率为\(\frac{21}{20}\)弧度/分钟。本题主要考察了利用导数解决实际问题中的变化率问题，关键在于建立正确的函数关系并准确求导，易错点是复合函数求导法则的运用。
+
+
+>[!example] **例5**（2024）
+>一架巡逻直升机在距离地面3km的高度以120km/h的速度沿着一条水平笔直的高速公路向前飞行。飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车的距离为5km，同时此距离以160km/h的速率在减少。试求此时汽车行进的速度。
+
+
+
+**解析**：
+
+如图建立直角坐标系，设时刻 t直升机位于 A点 (x1​(t),3)，汽车位于 B点 (x2​(t),0)，直升机与汽车的距离为 z(t)，则
+
+$$(x2​(t)−x1​(t))2+32=z2(t)$$
+
+方程两端分别对 t求导，可得
+$$(x2​(t)−x1​(t))(x2′​(t)−x1′​(t))=z(t)z′(t)$$
+
+由于 $z(t)=5$时，$x2​(t)−x1​(t)=4$，$z′(t)=−160$，$x1′​(t)=120$，有
+
+$$4(x2′​(t)−120)=5×(−160)$$
+
+故 $x2′​(t)=−80$，即汽车行进的速度为 $80km/h$。

Chapter 4 微积分基础/相关变化率.md

@@ -0,0 +1,150 @@
+# 飞机航空摄影问题
+
+## 问题描述
+
+一飞机在离地面2 km的高度，以200 km/h的速度水平飞行到某目标上空，以便进行航空摄影。试求飞机飞至该目标正上方时，摄影机转动的角速率。
+
+## 解析
+
+### 建立坐标系
+
+目标位置：原点 $O(0,0)$  
+飞机位置：$P(x,2)$  
+飞机高度：$h = 2$ km  
+水平速度：$\frac{dx}{dt} = -200$ km/h
+
+### 角度关系
+
+$\theta = \arctan\left(\frac{x}{2}\right)$  
+$\tan\theta = \frac{x}{2}$
+
+### 角速率计算
+
+$\frac{d\theta}{dt} = \frac{d\theta}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$
+
+$\frac{d\theta}{dx} = \frac{d}{dx} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{x^2 + 4}$
+
+$\frac{d\theta}{dt} = \frac{2}{x^2 + 4} \cdot (-200) = -\frac{400}{x^2 + 4}$ rad/h
+
+### 目标正上方时的角速率
+
+当 $x = 0$ 时：
+
+$\left. \frac{d\theta}{dt} \right|_{x=0} = -\frac{400}{0 + 4} = -100$ rad/h
+
+转换单位：
+
+$100$ rad/h $= 100 \times \frac{180}{\pi}$ °/h $= \frac{18000}{\pi}$ °/h
+
+$\frac{18000}{\pi}$ °/h $\times \frac{1}{3600}$ h/s $= \frac{5}{\pi}$ °/s $\approx 1.59$ °/s
+
+## 答案
+
+飞机飞至目标正上方时，摄影机转动的角速率为 $\frac{5}{\pi}$ °/s（约1.59 °/s）。
+
+---
+
+# 人拉船问题
+
+## 问题描述
+
+人在河岸用绳经过定滑轮以速度 $v$、加速度 $a$ 拉船。绳与水平面夹角为 $\theta$。求此时船的加速度 $a'$。
+![[Pasted image 20251223173057.png]]
+## 解析
+
+### 变量定义
+
+$h$：滑轮高度（定值）  
+$x$：船到河岸的水平距离  
+$l$：绳长  
+$v = -\frac{dl}{dt}$：人拉绳的速度  
+$a = -\frac{d^2l}{dt^2}$：人拉绳的加速度  
+$u = -\frac{dx}{dt}$：船的水平速度  
+$a' = -\frac{d^2x}{dt^2}$：船的加速度  
+$\theta$：绳与水平面夹角
+
+### 几何关系
+
+$l^2 = h^2 + x^2$
+
+### 一阶导数关系
+
+对几何关系求导：$2l\frac{dl}{dt} = 2x\frac{dx}{dt}$
+
+$l\frac{dl}{dt} = x\frac{dx}{dt}$
+
+代入速度定义：$l(-v) = x(-u)$
+
+$u = \frac{l}{x}v = \frac{v}{\cos\theta}$，其中 $\cos\theta = \frac{x}{l}$
+
+### 二阶导数关系
+
+对一阶关系求导：$\frac{d}{dt}\left(l\frac{dl}{dt}\right) = \frac{d}{dt}\left(x\frac{dx}{dt}\right)$
+
+$\left(\frac{dl}{dt}\right)^2 + l\frac{d^2l}{dt^2} = \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + x\frac{d^2x}{dt^2}$
+
+$(-v)^2 + l(-a) = (-u)^2 + x(-a')$
+
+$v^2 - la = u^2 - xa'$
+
+### 求解 $a'$
+
+$xa' = u^2 - v^2 + la$
+
+$a' = \frac{u^2 - v^2 + la}{x}$
+
+代入 $u = \frac{v}{\cos\theta}$, $x = h\tan\theta$, $l = \frac{h}{\cos\theta}$：
+
+$a' = \frac{\left(\frac{v}{\cos\theta}\right)^2 - v^2 + \left(\frac{h}{\cos\theta}\right)a}{h\tan\theta}$
+
+$a' = \frac{v^2\left(\frac{1}{\cos^2\theta} - 1\right)}{h\tan\theta} + \frac{\frac{h}{\cos\theta}a}{h\tan\theta}$
+
+$a' = \frac{v^2\tan^2\theta}{h\tan\theta} + \frac{a}{\cos\theta\tan\theta}$
+
+$a' = \frac{v^2\tan\theta}{h} + \frac{a}{\sin\theta}$
+
+## 答案
+
+此时船的加速度为：  
+$a' = \frac{v^2\tan\theta}{h} + \frac{a}{\sin\theta}$
+
+---
+
+# 动点曲线运动问题
+
+## 问题描述
+
+已知动点 $P$ 在曲线 $y = \sqrt{x}$ 上运动，记坐标原点 $O$ 与 $P$ 间的距离为 $l$。若点 $P$ 横坐标随时间的变化率为常数 $v$，则当点 $P$ 运动到点 $(1, 1)$ 时，$l$ 对时间的变化率是多少？
+
+## 解析
+
+### 变量关系
+
+点 $P$ 坐标：$(x, y)$, $y = \sqrt{x}$
+
+原点 $O$ 与 $P$ 间的距离：  
+$l = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (\sqrt{x})^2} = \sqrt{x^2 + x}$
+
+已知：$\frac{dx}{dt} = v$（常数）
+
+### 距离变化率计算
+
+$\frac{dl}{dt} = \frac{d}{dt} \sqrt{x^2 + x} = \frac{d}{dt} (x^2 + x)^{1/2}$
+
+$\frac{dl}{dt} = \frac{1}{2}(x^2 + x)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dt}(x^2 + x)$
+
+$\frac{dl}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + x}} \cdot (2x + 1) \frac{dx}{dt}$
+
+$\frac{dl}{dt} = \frac{2x + 1}{2\sqrt{x^2 + x}} \cdot v$
+
+### 在点 $(1, 1)$ 处的变化率
+
+当 $x = 1$ 时：
+
+$\left. \frac{dl}{dt} \right|_{x=1} = \frac{2\cdot 1 + 1}{2\sqrt{1^2 + 1}} \cdot v = \frac{3}{2\sqrt{2}} \cdot v = \frac{3v}{2\sqrt{2}}$
+
+有理化：$\frac{3v}{2\sqrt{2}} = \frac{3v\sqrt{2}}{4}$
+
+## 答案
+
+当点 $P$ 运动到点 $(1, 1)$ 时，$l$ 对时间的变化率为 $\frac{3v\sqrt{2}}{4}$。

Chapter 4 微积分基础/隐函数与参数方程求导.md

@@ -0,0 +1,154 @@
+
+
+## 隐函数求导
+
+### 原理
+
+设方程 $F(x, y) = 0$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数 $y = y(x)$，则对方程两边关于 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数），再解出 $y'$ 即可。
+
+### **适用情况**
+
+适用于方程中 $x$ 与 $y$ 混合在一起，无法或不易解出 $y = f(x)$ 的情况，如：
+- 圆的方程：$x^2 + y^2 = 1$
+- 椭圆方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
+- 一般隐式方程：$e^{x+y} + \ln(xy) = 0$
+
+### **优势**
+1. 不必显式解出 $y = f(x)$，可直接求导；
+2. 适用于复杂关系式，尤其是含有 $x$、$y$ 混合的函数形式。
+
+### **劣势**
+1. 求导过程中需注意 $y$ 是 $x$ 的函数，常需使用链式法则；
+2. 最终表达式中可能仍含有 $y$，需结合原方程化简。
+
+### **例子**
+
+> [!example] 例1  
+求由方程 $x^2 + y^2 = 1$ 确定的隐函数 $y = y(x)$ 的导数。
+
+**解析**  
+两边对 $x$ 求导：
+$$
+2x + 2y \cdot y' = 0
+$$
+解得：
+$$
+y' = -\frac{x}{y}
+$$
+
+---
+
+## 参数方程求导
+
+### 原理
+
+设曲线由参数方程
+$$
+\begin{cases}
+x = x(t) \\
+y = y(t)
+\end{cases}
+$$
+给出，则 $y$ 关于 $x$ 的导数为：
+$$
+\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)}
+$$
+前提是 $x'(t) \neq 0$。
+
+### **适用情况**
+适用于曲线由参数形式给出，尤其是：
+- 物理中的运动轨迹；
+- 极坐标、摆线、旋轮线等曲线；
+- 复杂曲线的简化表示。
+
+### **优势**
+1. 形式简洁，直接利用两个导数作商；
+2. 适用于参数化表示，便于计算高阶导数。
+
+### **劣势**
+1. 要求 $x'(t) \neq 0$，否则导数不存在；
+2. 高阶导数计算需重复使用公式，略显繁琐。
+
+### **例子**
+
+> [!example] 例2  
+求参数方程
+$$
+\begin{cases}
+x = a\cos t \\
+y = b\sin t
+\end{cases}
+$$
+所确定的函数 $y = y(x)$ 的导数。
+
+**解析**  
+计算：
+$$
+\frac{dx}{dt} = -a\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = b\cos t
+$$
+因此：
+$$
+\frac{dy}{dx} = \frac{b\cos t}{-a\sin t} = -\frac{b}{a}\cot t
+$$
+
+---
+
+## 习题
+
+> [!example] **习题1**  
+设 $y$ 由方程 $e^{x+y} = xy$ 确定，则 $y'$ 在点 $(1,0)$ 处的值为  
+A. $0$  
+B. $1$  
+C. $-1$  
+D. 不存在  
+
+**解析**  
+两边对 $x$ 求导：
+$$
+e^{x+y}(1 + y') = y + x y'
+$$
+代入 $(1,0)$：
+$$
+e^{1+0}(1 + y') = 0 + 1 \cdot y'
+$$
+即：
+$$
+e(1 + y') = y'
+$$
+解得：
+$$
+y' = \frac{e}{1 - e}
+$$
+该值不为选项中所列，故判断为“不存在直接匹配”，但若只允许选 ABCD，则可能选 D。  
+实际应说明：$y' = \frac{e}{1-e}$ 是一个确定数值。
+
+---
+
+> [!example] **习题2**  
+参数方程
+$$
+\begin{cases}
+x = t^2 + 1 \\
+y = t^3 - t
+\end{cases}
+$$
+在 $t = 1$ 处的导数 $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{t=1}$ 为  
+A. $1$  
+B. $2$  
+C. $3$  
+D. $4$
+
+**解析**  
+计算：
+$$
+\frac{dx}{dt} = 2t, \quad \frac{dy}{dt} = 3t^2 - 1
+$$
+则：
+$$
+\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2 - 1}{2t}
+$$
+代入 $t = 1$：
+$$
+\left. \frac{dy}{dx} \right|_{t=1} = \frac{3 \cdot 1^2 - 1}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1
+$$
+答案：A

小测/12.22/课前测.md

@@ -0,0 +1,33 @@
+1.级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}$收敛
+A.正确
+B.错误
+
+
+2.级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$的和为
+
+A. 0
+
+B. 1
+
+C. 2
+
+D. 不存在（发散）
+
+
+
+3.级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{5^n}$ 收敛
+A.正确
+B.错误
+
+
+
+
+4.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{3^n}.$收敛
+A.正确
+B.错误
+
+
+
+5.级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^n}$ 收敛
+A.正确
+B.错误

小测/12.22/课前测解析版.md

@@ -0,0 +1,68 @@
+1.级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}$收敛
+A.正确
+B.错误
+由于  
+$a_n = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} < \frac{1}{n \cdot 2\sqrt{n}} = \frac{1}{2n^{3/2}}$，  
+而 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$ 收敛，故由比较判别法知原级数收敛。
+
+
+
+2.级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$的和为
+
+A. 0
+
+B. 1
+
+C. 2
+
+D. 不存在（发散）
+解：
+
+观察
+
+$\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}$
+
+部分和：
+
+$S_N = \sum_{n=1}^N \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right] = 1 - \frac{1}{(N+1)^2} \to 1$
+
+收敛到 1。
+
+
+3.级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{5^n}$ 收敛
+A.正确
+B.错误
+**解析**
+$$a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2 \cdot 5^n}$$
+
+$$\frac{a_{n+1}}{a_n}
+
+= \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2 \cdot 5^{n+1}} \cdot \frac{(n!)^2 \cdot 5^n}{(2n)!}$$
+化简：
+$$\frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1)$$
+$$\frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}$$
+
+$$\frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac15$$
+所以
+
+$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} \cdot \frac15
+= \frac{2(2n+1)}{n+1} \cdot \frac15$$
+$$\lim_{n\to\infty} \frac{4n+2}{5(n+1)} = \frac{4}{5} < 1$$
+所以收敛。
+
+答案：A
+
+
+
+4.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{3^n}.$收敛
+A.正确
+B.错误
+$n(n-1)/2的奇偶性与n正好相反，所以级数也是交错级数，容易证明是收敛$
+
+5.级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^n}$ 收敛
+A.正确
+B.错误
+当 $n > e^2$ 时，$\ln n > 2$，从而 $\frac{1}{(\ln n)^n} < \frac{1}{2^{,n}}$。  
+由于 $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{,n}}$ 收敛，由比较判别法知原级数收敛。
+
+

小测/12.23/课后测解析版.md

@@ -0,0 +1,94 @@
+---
+tags:
+  - 编写小组
+---
+1.已知 $b_n = \sqrt[n]{2^n + 3^n + 4^n}$，则 $\lim_{n \to \infty} b_n = ?$
+
+A. 2
+
+B. 3
+
+C. 4
+
+D. 9
+
+答案：C
+
+解析： 利用夹逼定理，提取最大项：
+
+· 显然 $4^n \leq 2^n + 3^n + 4^n \leq 3 \cdot 4^n$。
+
+· 因此：
+
+$$4 \leq \sqrt[n]{2^n + 3^n + 4^n} \leq \sqrt[n]{3} \cdot 4$$
+
+· 因为 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3} = 1$，所以右边极限为 $4$。
+
+· 由夹逼定理，极限为 $4$。
+  
+
+   
+2.计算 $$\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2[\ \arctan\ (n+1) - \arctan n]$$A. $\infty$
+
+B. 1
+
+C. $\tan1$
+
+D. 0
+
+答案：B
+
+由 $\arctan x \sim x$ 得？注意此时 $n\to\infty$。
+
+$$\begin{aligned}\text{原式} 
+&= \lim_{n \to \infty} n^2 \left[ \arctan \frac{(n+1)-n}{1+(n+1)n} \right] \\[1em]
+&= \lim_{n \to \infty} n^2 \left[ \arctan \frac{1}{n^2 + n + 1} \right] \\[1em]
+&= \lim_{n \to \infty} n^2 \cdot \frac{1}{n^2 + n + 1} \quad (\text{因为 } \arctan x \sim x \text{ 当 } x \to 0) \\[1em]
+&= 1
+\end{aligned}$$
+
+   
+  
+  
+3.计算
+$$\lim\limits_{x\to\pi/2}(sinx)^{tanx}$$A. $\frac{\pi}{2}$
+
+B. $\frac{\pi}{4}$
+
+C. $-\frac{\pi}{2}$
+
+D. $1$
+
+答案：D
+
+原式=$\lim\limits_{x\to\pi/2}(1+sinx-1)^{\frac{1}{sinx-1}\frac{sinx(sinx-1)}{cosx}}=e^{\lim\limits_{x\to\pi/2}\frac{sinx(sinx-1)}{cosx}}$
+
+令$t=\pi/2-x$，则原式=$e^{\lim\limits_{t\to0}\frac{cost(cost-1)}{sint}}=e^{\lim\limits_{t\to0}\frac{cost(-t^2/2)}{t}}=e^0=1$
+  
+
+  
+4.设 $$f(x) = (1+x^2)\cos\left(\frac{1}{x^3}\right)$$则 $\lim_{x \to \infty} f(x)$
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+A. 为 0
+
+B. 为 1
+
+C. 为-1
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+D. 无穷大
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+答案：C
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+解析： 注意这里 $x \to \infty$。虽然可以用夹逼：
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+$$-(1+x^2) \leq f(x) \leq (1+x^2)$$
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+但两边的极限 $\lim_{x \to \infty} (1+x^2) = \infty$，不相等（且不是有限数），因此夹逼定理不适用。实际上，由于 $\cos(1/x^3) 在 x \to \infty$ 时振荡趋于 $\cos 0 = 1$，而 $1+x^2 \to \infty$，所以函数值在振荡中趋于无穷大，极限不存在。
+  
+  
+  
+5.设$$f(x)=\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{4/x}}+\frac{sinx}{|x|}$$则$x=0$是 $f(x)$ 的（）
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+（A）可去间断点  （B）跳跃间断点   （C）无穷间断点  （D）震荡间断点
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+答案：A