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编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md

@@ -75,34 +75,19 @@ k=1,2,3,\dots,p$$
 \end{aligned}$$
 ### **例子**
 >[!example] **例3**
-已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_4$ 为欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad
+已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$ 为欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad
 \boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4,\quad
 \boldsymbol{\beta}_3 = 2\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3,$$
 $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$, 求 $U$ 的一个标准正交基。
 
->[!note] **解析**：
- >施密特正交化
->步骤1：正交化
->取$$ \boldsymbol{\gamma}_1=\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\ \ 
-\boldsymbol{\gamma}_2=\boldsymbol{\beta}_2-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}\boldsymbol{\gamma}_1$$$$\langle\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=1,\quad
-\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=2$$
->$$\boldsymbol{\gamma}_2=\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4$$
->$$\boldsymbol{\gamma}_3=\boldsymbol{\beta}_3-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}\boldsymbol{\gamma}_1-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_2,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}\boldsymbol{\gamma}_2$$
->$$\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=3,\quad
-\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle=0$$
->$$\boldsymbol{\gamma}_3=-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4$$
->步骤2：单位化
-$$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\dfrac{\boldsymbol{\gamma}_1}{\|\boldsymbol{\gamma}_1\|}=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}}$$
-$$\|\boldsymbol{\gamma}_2\|=\sqrt{\dfrac{5}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_2=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}}$$
-$$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{15},\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4}{\sqrt{19}}$$
->$U$ 的标准正交基为
->$$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}},\quad
-\boldsymbol{\varepsilon}_2=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}},\quad
-\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4}{\sqrt{19}}$$
-
->[!note] 另解
->我们可以用另一种正交化的方法，再利用基和坐标的关系简化步骤。
->易知 $\boldsymbol \beta_1,\boldsymbol \beta_2,\boldsymbol \beta_3$ 在基 $\boldsymbol \alpha_1,\boldsymbol \alpha_2,\boldsymbol \alpha_3,\boldsymbol \alpha_4$ 下的坐标分别为 $\boldsymbol x_1=(1,0,1,0)^\text T,\boldsymbol x_2=(1,-1,0,1)^\text T,\boldsymbol x_3=(2,1,1,0)^\text T$
+>[!note] 解析
+>用第二种正交化的方法，再利用基和坐标的关系简化步骤。
+>易知 $\boldsymbol \beta_1,\boldsymbol \beta_2,\boldsymbol \beta_3$ 在基 $\boldsymbol \alpha_1,\boldsymbol \alpha_2,\boldsymbol \alpha_3,\boldsymbol \alpha_4$ 下的坐标分别为 $\boldsymbol x_1=(1,0,1,0)^\text T,\boldsymbol x_2=(1,-1,0,1)^\text T,\boldsymbol x_3=(2,1,1,0)^\text T$。
+>用施密特正交化法：$$\begin{aligned}
+>&\boldsymbol u_1=\boldsymbol x_1,\quad\boldsymbol\varepsilon_1=\dfrac{\boldsymbol u_1}{\|\boldsymbol u_1\|}=\dfrac{1}{\sqrt2}(1,0,1,0)^\text T;\\
+>&\boldsymbol u_2=\boldsymbol x_2-\langle\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol x_2\rangle\boldsymbol\varepsilon_1,\quad\boldsymbol\varepsilon_2=\dfrac{\boldsymbol u_2}{\|\boldsymbol u_2\|}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}(1,-2,-1,2)^\text T;\\
+>&\boldsymbol u_3=\boldsymbol x_3-\langle\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol x_3\rangle\boldsymbol\varepsilon_1-\langle\boldsymbol\varepsilon_2,\boldsymbol x_3\rangle\boldsymbol\varepsilon_2,\quad\boldsymbol\varepsilon_3=\dfrac{\boldsymbol u_3}{\|\boldsymbol u_3\|}=\dfrac{1}{\sqrt{35}}(3,4,-3,1)^\text T.
+>\end{aligned}$$于是 $U$ 的标准正交基可以为$$\boldsymbol \xi_1=\dfrac{\boldsymbol \alpha_1+\boldsymbol \alpha_2}{\sqrt2},\boldsymbol \xi_2=\dfrac{\boldsymbol \alpha_1-2\boldsymbol \alpha_2-\boldsymbol \alpha_3+2\boldsymbol \alpha_4}{\sqrt{10}},\boldsymbol \xi_3=\dfrac{3\boldsymbol \alpha_1+4\boldsymbol \alpha_2-3\boldsymbol \alpha_3+\boldsymbol \alpha_4}{\sqrt{35}}.$$
 
 >[!example] **例4**
 >已知 $A$ $=$ $[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3\ \boldsymbol{\alpha}_4]$ 为正交矩阵，其中