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# 国防科技大学2023—2024学年秋季学期《线性代数》考试试卷（A）卷
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考试形式：闭卷
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考试时间：150分钟
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满分：100分
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| 题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 总分 |
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| 得分 | | | | | | | | | |
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**注意**：
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1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。
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2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。
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## 一、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
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1. 设矩阵$A_{4\times 4} = [\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}\alpha_{4}]$，$B_{4\times 4} = [2\alpha_{1}\alpha_{2}3\alpha_{3}\alpha_{4}]$，$\left|A\right| = 6$，$\left|B\right| = 12$，则下列命题中错误的是 【】
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A.$\left|A + B\right| = 216$
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B.$\left|A^{-1}B\right| = 2$
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C.$\left|A - B\right| = 0$
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D.$\left|AB\right| = 72$
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2. 下列命题中错误的是 【】
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A. 设$A,B$均为$n$阶方阵，若$A^{2} = A,B^{2} = B,(A + B)^{2} = A + B$，则$AB = BA = 0$
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B. 对换$n$阶可逆矩阵$A$的第$i,j$两行后得到矩阵$B$，则$AB^{-1} = P(j,i)$
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C. 设$A,B$均为$n$阶可逆矩阵，且$A + B$也可逆，则$A^{-1} + B^{-1}$不一定可逆
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D. 设$n$阶矩阵$A$满足$A^{2} - 3A + 2E = 0$，则$\mathrm{rank}(A - 2E) + \mathrm{rank}(A - E) = n$
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3. 若向量组$\alpha_{1} = (6,k + 1,3)^{\mathrm{T}},\alpha_{2} = (k,2, - 2)^{\mathrm{T}},\alpha_{3} = (k,1,0)^{\mathrm{T}}$线性无关，则$k$的取值为【】
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A.$k = - 4$或$k = \frac{3}{2}$
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B.$k\neq - 4$且$k\neq \frac{3}{2}$
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C.$k = - 4$或$k\neq \frac{3}{2}$
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D.$k\neq - 4$或$k = \frac{3}{2}$
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4. 设$A,B$均为$n$阶实对称矩阵，下列选项正确的是 【】
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$①$若$A\sim B$，则$A\equiv B$
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$②$若$A\equiv B$，则$Ax = 0$与$Bx = 0$为同解方程组
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$③$若$A\sim B$，则$A = B$
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$④$若$A\equiv B$，则$A\sim B$
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A.$①$$②$
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B.$①$$③$
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C.$②$$④$
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D.$③$$④$
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5. 设方阵$A$的每行元素之和均为3，下列命题错误的是 【】
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A.$A x = 3x$一定有非零解
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B.$A^{2} - A$的每行元素之和均为6
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C.$A^{\mathrm{T}}x = 3x$一定有非零解
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D.$A x = 3x$和$A^{\mathrm{T}}x = 3x$一定有公共的非零解
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6. 已知$\mathbb{R}^3$上的线性变换$T$在基$a_{1},a_{2},a_{3}$下矩阵为$\left[ \begin{array}{lll}1 & -1 & 2\\ 1 & 1 & 3\\ 2 & 3 & 4 \end{array} \right]$，则$T$在基$a_{3},a_{2},a_{1}$下的矩阵为 【】
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A.$\left[ \begin{array}{lll}2 & -1 & 1\\ 3 & 1 & 1\\ 4 & 3 & 2 \end{array} \right]$
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B.$\left[ \begin{array}{lll}2 & 3 & 4\\ 1 & 1 & 3\\ 1 & -1 & 2 \end{array} \right]$
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C.$\left[ \begin{array}{lll}4 & 3 & 2\\ 3 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right]$
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D.$\left[ \begin{array}{lll}1 & -1 & 2\\ 1 & 1 & 3\\ 2 & 3 & 4 \end{array} \right]$
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## 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
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1. 已知$A,B,C$均为$n$阶方阵，$\left|A\right| = -1,\left|B\right| = 2,\left|C\right| = 3$，$A,B,C$的伴随矩阵记为$A^{\ast},B^{\ast},C^{\ast}$，则$\left|A^{\ast}C B^{-1} + A^{-1}C B^{\ast}\right| =$______
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2. 矩阵$\left[ \begin{array}{lll}1 & 3 & 1 & 5\\ 2 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 3 & 2\\ 4 & 3 & 1 & 6 \end{array} \right]$的（等价）标准形是 ______
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3. 若关于$x_{1},x_{2},x_{3}$的方程组
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\left\{ \begin{array}{l}x_{1} + x_{2} + x_{3} = a - 2b + c\\ 3x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 2a + b - 3c\\ 2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} = -a + b - c \end{array} \right.
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$$
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的解集构成实数域上的向量空间，则$(a,b,c) =$______
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4. 令$\mathbb{R}^{3\times 3}$表示全体3阶实方阵构成的线性空间，令$W = \{A\in \mathbb{R}^{3\times 3}\mid A^{\mathrm{T}} = A,\mathrm{tr}(A) = 0\}$，则$\dim W =$______
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5. 已知3维列向量$a,\beta$满足$\left\| a\right\| = 1$，$\left\| \beta \right\| = 2$，$a^{\mathrm{T}}\beta = 0$，则方阵$a a^{\mathrm{T}} + \beta \beta^{\mathrm{T}}$的三个特征值分别为 ______
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6. 已知实二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3}) = a(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) + 4x_{1}x_{2} + 4x_{1}x_{3} + 4x_{2}x_{3}$的秩与正惯性指数均为1，则$a =$______
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## 三、计算题（10分）
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已知$n$阶行列式
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D_{n} = \left| \begin{array}{cccc} a_{1} & b & b & \dots & b \\ - b & a_{2} & b & \dots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ - b & - b & - b & \dots & a_{n} \end{array} \right|
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$$
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令$A_{1}, A_{2}, \dots , A_{n}$分别表示$D_{n}$的第一行元素的代数余子式，计算$A_{1} + A_{2} + \dots + A_{n}$。
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## 四、证明题（10分）
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设向量$\beta_{1} = 3a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$，$\beta_{2} = a_{1} + 3a_{2} + a_{3} + a_{4}$，$\beta_{3} = a_{1} + a_{2} + 3a_{3} + a_{4}$，$\beta_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + 3a_{4}$。证明向量组$\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$线性无关当且仅当向量组$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$线性无关。
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## 五、计算题（10分）
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已知矩阵
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A = \left[ \begin{array}{llll}5 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -25 \end{array} \right]
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$$
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求$A^{n}$，其中$n \geq 3$。
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## 六、计算题（10分）
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设关于$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$的方程组
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\left\{ \begin{array}{c}x_{1} + 2x_{3} = 1\\ 2x_{1} + px_{2} + 4x_{3} + px_{4} = p - 2\\ x_{1} + (p + 2)x_{3} = p - 1\\ - x_{1} - x_{3} + (p - 1)x_{4} = -2 \end{array} \right.
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$$
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的解集为$V$。当$p$为何值时，$V$中所含线性无关的向量个数最多，并求出此时方程组的通解。
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## 七、计算题（12分）
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设矩阵
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A = \left[ \begin{array}{lll}3 & 1 & 2\\ 0 & a & 0\\ 2 & b & 3 \end{array} \right]
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$$
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仅有两个相异特征值，且$A$相似于对角矩阵，求$a, b$，并求可逆矩阵$P$，使得$P^{- 1}AP$为对角矩阵。
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## 八、计算题（共2小题，第1小题9分，第2小题3分，共12分）
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已知实二次型
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f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 4x_{1}x_{2} + 2ax_{2}x_{3} \quad (a\geq 0)
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通过正交变换$\pmb {x} = \pmb{Q}\pmb{y}$可化为标准形$y_{1}^{2} - 2y_{2}^{2} + 4y_{3}^{2}$。
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(1) 求$a$的值及正交矩阵$\pmb{Q}$。
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(2) 当$\| \pmb {x}\| = 2$时，求解一个向量$\pmb{x}$使得$f(x_{1},x_{2},x_{3})$取最大值。
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（试卷结束）
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