vault backup: 2025-12-26 00:48:50

conflict-files-obsidian-git.md

@@ -1,17 +0,0 @@
-# Conflicts
-Please resolve them and commit them using the commands `Git: Commit all changes` followed by `Git: Push`
-(This file will automatically be deleted before commit)
-[[#Additional Instructions]] available below file list
-
-- [[子数列问题&考试易错点汇总（解析版）]]
-
-# Additional Instructions
-I strongly recommend to use "Source mode" for viewing the conflicted files. For simple conflicts, in each file listed above replace every occurrence of the following text blocks with the desired text.
-
-```diff
-<<<<<<< HEAD
-    File changes in local repository
-=======
-    File changes in remote repository
->>>>>>> origin/main
-```

编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md

@@ -5,6 +5,7 @@ tags:
 **内部资料，禁止传播**
 **编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：程奕铭   韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王轲楠   支宝宁  郑哲航
 
+
 # 子数列及其相关定理
 
 ## 一、子数列的概念与性质
@@ -235,6 +236,66 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数
 
 # 考试易错点总结
 
+# Vol. 3:可去间断点的说明
+
+>[!example] 例2
+ >求曲线 $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 3x + 2}$ 的所有渐近线。
+
+**解**：
+
+函数在分母为零的点无定义。令 $x^2 - 3x + 2 = 0$，解得 $x = 1$ 和 $x = 2$。
+
+**注：必须对这两个点分别进行讨论**。
+
+在 $x = 1$ 处：
+
+$$ \lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+3}{x-2} = -4 $$
+
+极限存在且为有限值，故 $x = 1$ 是**可去间断点**，该点处**没有**铅直渐近线。
+
+在 $x = 2$ 处：
+
+$$ \lim_{x \to 2} y = \lim_{x \to 2} \frac{x+3}{x-2} = \infty $$
+
+故 $x = 2$ 处有一条**铅直渐近线** $x = 2$。
+
+**求水平(&斜)渐近线**：
+
+$$ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 1 $$
+
+因此，曲线有一条**水平渐近线** $y = 1$，无**斜渐近线**
+
+**结论**：曲线的渐近线为 $x = 2$ 和 $y = 1$。
+
+# Vol. 4:正项级数的判别法勿滥用
+>[!example] 例3
+ >判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$ 的敛散性（绝对收敛、条件收敛或发散）。
+
+**错误做法示范**：观察级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$，若直接对其使用比值判别法：
+
+    $$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 / 3^{n+1}}{n^2 / 3^n} = \frac{1}{3} < 1 $$
+
+
+若由此断言“原级数收敛”，则犯了**滥用判别法**的错误。因为比值判别法（及比较、根值判别法）仅
+
+在判定**正项级数**时，其结论（收敛）才直接适用于原级数本身。
+
+**正确解法**：
+
+这是一个**任意项级数**（具体为交错级数）。
+
+ 判断其敛散性，应先考察其是否**绝对收敛**。即，考虑由各项绝对值构成的**正项级数**：
+
+$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} $$
+
+对上述**正项级数**使用比值判别法（此时使用是完全正确的）：
+
+$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3} < 1 $$
+
+故该正项级数收敛。
+
+根据定义，若一个级数的绝对值级数收敛，则该级数**绝对收敛**。绝对收敛的级数必然收敛。
+
 ## Vol. 5:误用p级数
 **机械地套用p级数结论，而忽视了其应用前提：指数 `p` 必须是与 `n` 无关的常数。**