@ -2,81 +2,8 @@
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- 编写小组
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# Vol. 1:漏写dx
>[!example] 例1
>设函数 $y = \ln(1 + \sin^2 x)$，求其微分 $dy$。
**解**：
对方程 $y = \ln(1 + \sin^2 x)$ 两边关于 $x$ 求导。
$$ y’
根据微分的定义，$dy = y’
$$ dy = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx $$
注意：不要漏写 $dx$ ！
# Vol. 3:可去间断点的说明
>[!example] 例2
>求曲线 $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 3x + 2}$ 的所有渐近线。
**解**：
函数在分母为零的点无定义。令 $x^2 - 3x + 2 = 0$，解得 $x = 1$ 和 $x = 2$。
**注：必须对这两个点分别进行讨论**。
在 $x = 1$ 处：
$$ \lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+3}{x-2} = -4 $$
极限存在且为有限值，故 $x = 1$ 是**可去间断点**，该点处**没有**铅直渐近线。
在 $x = 2$ 处：
$$ \lim_{x \to 2} y = \lim_{x \to 2} \frac{x+3}{x-2} = \infty $$
故 $x = 2$ 处有一条**铅直渐近线** $x = 2$。
**求水平(& 斜)渐近线**：
$$ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 1 $$
因此，曲线有一条**水平渐近线** $y = 1$，无**斜渐近线**
**结论**：曲线的渐近线为 $x = 2$ 和 $y = 1$。
# Vol. 4:正项级数的判别法勿滥用
>[!example] 例3
>判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$ 的敛散性（绝对收敛、条件收敛或发散）。
**错误做法示范**：观察级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$，若直接对其使用比值判别法：
$$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 / 3^{n+1}}{n^2 / 3^n} = \frac{1}{3} < 1 $$
若由此断言“原级数收敛”，则犯了**滥用判别法**的错误。因为比值判别法（及比较、根值判别法）仅
在判定**正项级数**时，其结论（收敛）才直接适用于原级数本身。
**正确解法**：
这是一个**任意项级数**（具体为交错级数）。
判断其敛散性，应先考察其是否**绝对收敛**。即，考虑由各项绝对值构成的**正项级数**：
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} $$
对上述**正项级数**使用比值判别法（此时使用是完全正确的）：
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3} < 1 $$
故该正项级数收敛。
根据定义，若一个级数的绝对值级数收敛，则该级数**绝对收敛**。绝对收敛的级数必然收敛。
**内部资料，禁止传播**
**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：程奕铭 韩魏 刘柯妤 卢吉辚 王轲楠 支宝宁 郑哲航
# 子数列及其相关定理
@ -311,7 +238,7 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数
## Vol. 5:误用p级数
**机械地套用p级数结论， ： `p` 必须是与 `n` 无关的常数。**
>例题1：
> [!example] 例题1：
>$$判定\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}}的敛散性$$
#### ❌ 经典错误思路
1. 形式像 `1/n^p`
@ -325,7 +252,7 @@ $$\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}} }{ \frac{1}{n} } = \l
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> 例题2：
> [!example] 例题2：
>$$判定\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln n}的敛散性$$
@ -426,13 +353,16 @@ $y=f^{-1}(x)$，即$x = f(y)$，求$f^{-1'}$就是在求$\frac{dy}{dx}$，而$\f
为什么？$f^{-1'}$最后应该是一个关于$x$的函数，$\frac{dy}{dx}$应当用$x$来表示。
所以，我们还需要将$y = f^{-1}(x)$代入，即：
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
> [!example] 示例1
> [!example] 例1
> 求$d(\arcsin x)$
解：设$y=\arcsin x$，即$x=\sin y$，
作辅助三角形
![[易错点9-1.png]]
得$\cos y=\sqrt{1-x^2}$，综上，$dy=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$，即$d(\arcsin x)=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$
## Vol. 10: 无界与无穷大的辨析
很多人都觉得无界和无穷大是同一个概念，因为它们的实在是太像了：画在坐标系上都是“直指苍穹🚀”或者“飞流直下三千尺”嘛！但是，“无界”准确来说不完全是这样。要准确辨析它们，需要回到它们的**定义**上：
无穷大的定义：$\forall M > 0, \exists \delta>0$，当$0< |x-x_0|< \delta $时有$| f ( x )| > M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无穷大量
@ -440,14 +370,15 @@ $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
$\forall \delta>0, \exists x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$有 $|f(x)|>M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无界量
**核心区别**：无穷大是**存在某**去心邻域内**任意**$x$都大于$M$，无界是需要对**任意**邻域**存在**一个$x$使得$|f(x)|>M$
**联系**：无穷大一定是无界量，但是无界量不一定是无穷大。
> [!example] 示例1
> [!example] 例1
> 无穷震荡$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}}$
![[易错点10-1.png]]
这个并不是无穷大——不管取的邻域有多小，我总能找到一个令$\sin\frac{1}{x}=0$的$x$，此时$\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}=0$。
那这个是有界的吗？也不是。这就是典型的**不是无界量的无穷大**。
> [!example] 示 例2
> [!example] 例2
> 双子数列$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{n\cos n\pi}$
总结：无穷大是在邻域内“一直都很大”，无界是邻域内“有很大的”
@ -458,4 +389,66 @@ $\forall \delta>0, \exists x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$有 $|f(x)|>M$，称$f
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>[!example] 例2
>求曲线 $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 3x + 2}$ 的所有渐近线。
**解**：
函数在分母为零的点无定义。令 $x^2 - 3x + 2 = 0$，解得 $x = 1$ 和 $x = 2$。
**注：必须对这两个点分别进行讨论**。
在 $x = 1$ 处：
$$ \lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+3}{x-2} = -4 $$
极限存在且为有限值，故 $x = 1$ 是**可去间断点**，该点处**没有**铅直渐近线。
在 $x = 2$ 处：
$$ \lim_{x \to 2} y = \lim_{x \to 2} \frac{x+3}{x-2} = \infty $$
故 $x = 2$ 处有一条**铅直渐近线** $x = 2$。
**求水平(& 斜)渐近线**：
$$ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 1 $$
因此，曲线有一条**水平渐近线** $y = 1$，无**斜渐近线**
**结论**：曲线的渐近线为 $x = 2$ 和 $y = 1$。
>[!example] 例3
>判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$ 的敛散性（绝对收敛、条件收敛或发散）。
**错误做法示范**：观察级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$，若直接对其使用比值判别法：
$$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 / 3^{n+1}}{n^2 / 3^n} = \frac{1}{3} < 1 $$
若由此断言“原级数收敛”，则犯了**滥用判别法**的错误。因为比值判别法（及比较、根值判别法）仅
在判定**正项级数**时，其结论（收敛）才直接适用于原级数本身。
**正确解法**：
这是一个**任意项级数**（具体为交错级数）。
判断其敛散性，应先考察其是否**绝对收敛**。即，考虑由各项绝对值构成的**正项级数**：
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} $$
对上述**正项级数**使用比值判别法（此时使用是完全正确的）：
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3} < 1 $$
故该正项级数收敛。
根据定义，若一个级数的绝对值级数收敛，则该级数**绝对收敛**。绝对收敛的级数必然收敛。
>>>>>>> origin/develop
unknown
4 months ago