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素材/整合素材/正交及二次型.md

@@ -22,7 +22,7 @@
 
 >[!note] **解析**
 解题思路
-正交矩阵的定义是：若矩阵 H 满足 $H^T H = E$（其中 $E$ 为单位矩阵），则 $H$ 为正交矩阵。我们从这个定义出发推导条件。
+正交矩阵的定义是：若矩阵 $H$ 满足 $H^T H = E$（其中 $E$ 为单位矩阵），则 $H$ 为正交矩阵。我们从这个定义出发推导条件。
 >步骤1：写出 $H^T$
 >已知 $H = E - l\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T$，转置得
 $$H^T = (E - l\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T)^T = E^T - l(\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T)^T = E - l\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T$$
@@ -43,7 +43,7 @@ H^T H &= (E - l\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T)(E - l\boldsymbol \alpha\b
 >若  $\boldsymbol \alpha \neq \boldsymbol 0（即 k \neq 0）$，则$\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T \neq O$，因此系数必须为$0$：
 $$-2l + l^2 k^2 = 0 \implies l(l k^2 - 2) = 0$$
 >解得$l = 0$ 或 $l = \dfrac{2}{k^2}$。
->若 $\boldsymbol \alpha = \boldsymbol 0（即 k = 0$），则 $H = E$，显然 ￥ 是正交矩阵，此时对任意$l \in \mathbb{R}$ 均成立。
+>若 $\boldsymbol \alpha = \boldsymbol 0（即 k = 0$），则 $H = E$，显然 $H$ 是正交矩阵，此时对任意$l \in \mathbb{R}$ 均成立。
 >最终结论$$\begin{aligned}
 &1.\ \text{当}\ k = 0\ \text{时，对任意实数}\ l,\ H\ \text{为正交矩阵；} \\
 &2.\ \text{当}\ k \neq 0\ \text{时，}l = 0\ \text{或}\ l = \dfrac{2}{k^2}\ \text{时，}H\ \text{为正交矩阵。}
@@ -52,7 +52,6 @@ $$-2l + l^2 k^2 = 0 \implies l(l k^2 - 2) = 0$$
 >[!example] 例题2
 >已知 $A$ = $[a_{ij}]_{n \times n}$为 $n\,(n \ge 2)$ 阶正交矩阵，证明：$A_{ij} = \pm a_{ij}\;(i,j=1,2,\dots,n)$，其中 $A_{ij}$ 为行列式 $|A|$  中 $a_{ij}$ 的代数余子式。
 
-
 >[!note] **解析**
 >设 $A$为 $n$阶正交矩阵（$n\ge2$），则 ${A}^T{A}={E}$
 >又由伴随矩阵与逆矩阵的关系：$A^{-1} = \frac{1}{|A|}{A}^*$
@@ -73,6 +72,10 @@ $$\begin{align*}
 单位化过程
 $$\boldsymbol{\varepsilon}_k = \frac{\boldsymbol{u}_k}{\|\boldsymbol{u}_k\|},\quad 
 k=1,2,3,\dots,p$$
+还有另一个更加常用的正交化法：$$\begin{aligned}
+\boldsymbol u_1&=\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\varepsilon_1=\dfrac{\boldsymbol u_1}{\|\boldsymbol u_1\|},\\
+\boldsymbol u_k&=\boldsymbol\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\langle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\alpha_i\rangle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\varepsilon_k=\dfrac{\boldsymbol u_k}{\|\boldsymbol u_k\|}(k=2,3,\cdots,n).
+\end{aligned}$$
 
 ### **例子**
 >[!example] **例3**
@@ -165,19 +168,19 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2
 合同变换法直接对实对称矩阵 $A$ 进行初等变换，通过“初等行变换+同步初等列变换”，将 $A$ 化为对角阵 $\Lambda$ ，同步记录初等列变换得到可逆矩阵 $C$，本质是直接构造 $C^TAC=\Lambda$ 。
 
 >[!tip] 核心步骤：
->1. 构造分块矩阵 $\begin{bmatrix}A\\I\end{bmatrix}$ （I为单位矩阵）；
+>1. 构造分块矩阵 $\begin{bmatrix}A\\E\end{bmatrix}$ （$E$为单位矩阵）；
 >2. 对 $A$ 施行初等行变换的同时，对整个分块矩阵的列施行相同的初等列变换，使 $A$ 化为对角阵 $\Lambda$ ；
->3. 此时下方单位矩阵I同步化为可逆矩阵 $C$，满足 $C^TAC=\Lambda$ ，对应线性代换 $X=CY$ ，二次型化为标准型 $f=\Lambda_{11}y_1^2+\Lambda_{22}y_2^2+...+\Lambda_{nn}y_n^2$ 。
+>3. 此时下方单位矩阵 $E$ 同步化为可逆矩阵 $C$，满足 $C^TAC=\Lambda$ ，对应线性代换 $X=CY$ ，二次型化为标准型 $f=\lambda_{11}y_1^2+\lambda_{22}y_2^2+...+\lambda_{nn}y_n^2$ 。
 
 **特点**：直接关联矩阵合同关系，**直观体现二次型化标准型的本质**；标准型系数不唯一，C由初等变换直接得到；适用于需明确合同矩阵的场景，计算量介于配方法与正交变换法之间。
 #### （三）**正交变换法（特殊可逆代换，保几何度量）**
 
-正交变换法利用实对称矩阵可正交对角化的性质，构造正交矩阵Q（满足 $Q^T=Q^{-1}$ ），使 $Q^TAQ=\Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 的对角元为A的特征值，对应的线性代换 $X=QY$ 为正交变换。
+正交变换法利用实对称矩阵可正交对角化的性质，构造正交矩阵 $Q$（满足 $Q^T=Q^{-1}$ ），使 $Q^TAQ=\Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 的对角元为 $A$ 的特征值，对应的线性代换 $X=QY$ 为正交变换。
 >[!tip] 核心步骤：
->1.求二次型对应实对称矩阵 $A$ 的全部特征值 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ 
+>1. 求二次型对应实对称矩阵 $A$ 的全部特征值 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ 
 >对每个特征值，求对应的特征向量，并将属于同一特征值的特征向量正交化；
->2.将所有正交化后的特征向量单位化，得到正交矩阵 $Q$；
->3作正交变换 $X=QY$ ，二次型化为标准型$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n^2$ 。
+>2. 将所有正交化后的特征向量单位化，得到正交矩阵 $Q$；
+>3. 作正交变换 $X=QY$ ，二次型化为标准型$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n^2$ 。
 
 **特点**：标准型系数为 $A$ 的特征值，具有唯一性（不计顺序）；正交变换保持向量长度、夹角不变，几何意义明确（如旋转、反射变换）；但计算量较大，需求解特征值和特征向量。