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素材/整合素材/二次型与合同题目.md

@@ -28,6 +28,7 @@
 >记 $\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T,\boldsymbol y=(y_1,y_2,y_3)^T,\boldsymbol z=(z_1,z_2,z_3)^T,\boldsymbol C=\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&2\\0&2&1\end{bmatrix}$，于是 $\boldsymbol x=\boldsymbol{Cy},\boldsymbol x=\boldsymbol C\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol z$，从而$$\boldsymbol x=\boldsymbol C\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}=\boldsymbol C\begin{bmatrix}-z_2\\-z_1\\z_3\end{bmatrix},$$于是此变换下标准型为$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=4(-z_2)^2-\frac{1}{2}(-z_1)^2=-\frac{1}{2}z_1^2+4z_2^2.$
 
 **题后总结：** 此题关键在于理解<span style='color:orange'>可逆矩阵与初等变换之间的关系</span>。如果能看到前一个线性变换和后一个线性变换之间<span style='color:orange'>只差了两次初等变换</span>，把初等变换写成矩阵的形式，并运用矩阵乘法的结合律，就能够解出这道题了。
+**补充：** 如果<span style='color:orange'>两个变换矩阵之间的关系不那么明显</span>，可以采用如下机械化的方法：记 $\boldsymbol x=C_1\boldsymbol y,\boldsymbol x=C_2\boldsymbol z$, 则 $C_1\boldsymbol y=C_2\boldsymbol z\Rightarrow \boldsymbol y=C_1^{-1}C_2\boldsymbol z$, 然后根据已有的标准型转化为要求的标准型。
 
 >[!example] 例题
 >把二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2^2+6x_2x_3+100x_3^2$ 通过配方法化为标准型。

试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md

@@ -16,7 +16,7 @@ $$
    1 & 0 & 1
    \end{bmatrix},
 $$
-   且正整数$n \geq 2$，则$A^n - 2A^{n - 1} =$__________。
+   且正整数$n \geq 2$，则$A^n - 2A^{n - 1} =\underline{\qquad}$。
 
 2. 已知矩阵$A$的逆矩阵  
 $$
@@ -26,15 +26,15 @@ $$
    5 & 2 & 0
    \end{bmatrix},
 $$
-   则$\left(\dfrac{1}{2} A^*\right)^{-1} =$__________。
+   则$\left(\dfrac{1}{2} A^*\right)^{-1} =\underline{\qquad}$__________。
 
-3. 已知4阶矩阵$A$和$B$的列向量组分别为$a_1, a_2, a_3, a_4$和$\beta , a_2, a_3, a_4$，且$|A| = 4$，$|B| = 1$，则$|A + B| =$__________。
+3. 已知4阶矩阵$A$和$B$的列向量组分别为$a_1, a_2, a_3, a_4$和$\beta , a_2, a_3, a_4$，且$|A| = 4$，$|B| = 1$，则$|A + B| =$$\underline{\qquad}$。
 
-4. 设$A = [a_{ij}]_{3\times 3}$是正交矩阵，且$b = (1,0,0)^T$，$a_{11} = 1$，则$Ax = b$有一个解是 __________。
+4. 设$A = [a_{ij}]_{3\times 3}$是正交矩阵，且$b = (1,0,0)^T$，$a_{11} = 1$，则$Ax = b$有一个解是$\underline{\qquad}$。
 
-5. 设$n$阶实对称矩阵$A$的特征值为$\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots , 1$，则当$\lambda$__________ 时，$A - \lambda E$为正定矩阵。
+5. 设$n$阶实对称矩阵$A$的特征值为$\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots , 1$，则当$\lambda\underline{\qquad}$时，$A - \lambda E$为正定矩阵。
 
-6. 线性空间$V = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A \text{ 为反对称矩阵} \}$的维数为 __________。
+6. 线性空间$V = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A \text{ 为反对称矩阵} \}$的维数为$\underline{\qquad}$。
 
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