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编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md

@@ -73,7 +73,7 @@ k=1,2,3,\dots,p$$
 \boldsymbol u_1&=\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\varepsilon_1=\dfrac{\boldsymbol u_1}{\|\boldsymbol u_1\|},\\
 \boldsymbol u_k&=\boldsymbol\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\langle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\alpha_k\rangle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\varepsilon_k=\dfrac{\boldsymbol u_k}{\|\boldsymbol u_k\|}(k=2,3,\cdots,p).
 \end{aligned}$$
-### **例子**
+### **例题**
 >[!example] **例3**
 已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$ 为欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad
 \boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4,\quad
@@ -96,7 +96,7 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3
 试求一个$\boldsymbol{\alpha}_1$ 和一个 $\boldsymbol{\alpha}_2$。
 
 >[!note] **解析**
->$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$必须与 $\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$都正交，且$\boldsymbol{\alpha}_1 与 \boldsymbol{\alpha}_2$ 也正交，模长为 $1$。
+>$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$必须与 $\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$都正交，且$\boldsymbol{\alpha}_1$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 也正交，模长为 $1$。
 >设 $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$，正交条件等价于方程组：
 >$$\begin{cases}
 \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{\alpha}_3\rangle = x_1 - 2x_2 + 2x_4 = 0\\
@@ -206,8 +206,8 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3
 
 >[!note] 解：
 > 二次型的矩阵为 $A=\begin{bmatrix}2&1&-1\\1&2&-1\\-1&-1&2\end{bmatrix}$
-> 其特征多项式为 $|\lambda E-A|=\begin{bmatrix}\lambda-2&-1&1\\-1&\lambda-2&1\\1&1&\lambda-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda-1&-1&1\\1-\lambda&\lambda-2&1\\0&1&\lambda-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda-1&-1&1\\0&\lambda-3&2\\0&1&\lambda-2\end{bmatrix}$
-> 即为 $(\lambda-1)^2(\lambda-4)$
+> 其特征多项式为 
+> $$\begin{aligned}|\lambda E-A|&=\begin{vmatrix}\lambda-2&-1&1\\-1&\lambda-2&1\\1&1&\lambda-2\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}\lambda-1&-1&1\\1-\lambda&\lambda-2&1\\0&1&\lambda-2\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}\lambda-1&-1&1\\0&\lambda-3&2\\0&1&\lambda-2\end{vmatrix}\\&=(\lambda-1)^2(\lambda-4)\end{aligned}$$
 > 故 $A$ 的特征值为 $1,1,4$
 > 当 $\lambda=1$ 时，解方程 $(E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对方程组的系数矩阵进行初等行变换：$E-A=\begin{bmatrix}-1&-1&1\\-1&-1&1\\1&1&-1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$
 > 得特征向量 $\boldsymbol\alpha_1=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix},\boldsymbol\alpha_2=\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}$.
@@ -223,9 +223,9 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3
 
 >[!note] 解：
 >二次型的矩阵为 $\displaystyle \boldsymbol A=\begin{bmatrix}1&0&b\\0&2&0\\b&0&-2\end{bmatrix}$，设其特征值分别为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$, 则有$$\begin{aligned}\lambda_1\lambda_2\lambda_3=|\boldsymbol A|=2(-2a&-b^2)=-12,\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=a+2-2=1\\&\implies a=1,b=2.\end{aligned}$$从而有$\displaystyle|\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol A|=(\lambda-2)^2(\lambda-3)=0\implies \lambda_1=\lambda_2=2,\lambda_3=-3.$
->考虑 $\lambda=2$，则 $\displaystyle 2\boldsymbol E-\boldsymbol A=\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&0&0\\-2&0&4\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$, 于是特征值 $2$ 的几何重数为 $2$, 对应的线性无关的特征向量可以为 $\displaystyle\xi_1=(2,0,1)^T,\xi_2=(0,1,0)^T$.
->考虑 $\lambda=-3$，则 $\displaystyle -3\boldsymbol E-\boldsymbol A=\begin{bmatrix}-4&0&-2\\0&-5&0\\-2&0&-1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}2&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，则特征值 $-3$ 几何重数为 $1$, 对应的特征向量为 $\xi_3=(-1,0,2)^T$.
->对上述三个特征向量正交化得 $\varepsilon_1=(\frac{2}{\sqrt{5}},0,\frac{1}{\sqrt{5}})^T,\varepsilon_2=(0,1,0)^T,\varepsilon_3=(-\frac{1}{\sqrt{5}},0,\frac{2}{\sqrt{5}})^T$，故正交变换为 $\boldsymbol C=\begin{bmatrix}\frac{2}{\sqrt{5}}&0&\frac{1}{\sqrt{5}}\\0&1&0\\-\frac{1}{\sqrt{5}}&0&\frac{2}{\sqrt{5}}\end{bmatrix},$ 标准型为 $\displaystyle f=2y_1^2+2y_2^2-3y_3^2.$
+>考虑 $\lambda=2$，则 $\displaystyle 2\boldsymbol E-\boldsymbol A=\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&0&0\\-2&0&4\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$, 于是特征值 $2$ 的几何重数为 $2$, 对应的线性无关的特征向量可以为 $\displaystyle\boldsymbol\xi_1=(2,0,1)^T,\boldsymbol\xi_2=(0,1,0)^T$.
+>考虑 $\lambda=-3$，则 $\displaystyle -3\boldsymbol E-\boldsymbol A=\begin{bmatrix}-4&0&-2\\0&-5&0\\-2&0&-1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}2&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，则特征值 $-3$ 几何重数为 $1$, 对应的特征向量为 $\boldsymbol\xi_3=(-1,0,2)^T$.
+>对上述三个特征向量正交化得 $\boldsymbol\varepsilon_1=(\frac{2}{\sqrt{5}},0,\frac{1}{\sqrt{5}})^T,\boldsymbol\varepsilon_2=(0,1,0)^T,\boldsymbol\varepsilon_3=(-\frac{1}{\sqrt{5}},0,\frac{2}{\sqrt{5}})^T$，故正交变换为 $\boldsymbol C=\begin{bmatrix}\frac{2}{\sqrt{5}}&0&\frac{1}{\sqrt{5}}\\0&1&0\\-\frac{1}{\sqrt{5}}&0&\frac{2}{\sqrt{5}}\end{bmatrix},$ 标准型为 $\displaystyle f=2y_1^2+2y_2^2-3y_3^2.$
 
 >[!example] 例题
 >已知二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+ax_3^2+2x_1x_3$ 经可逆线性变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol P \boldsymbol y$ 化为 $\displaystyle y_1^2+y_2^2$.